人教版数学八上14.2 乘法公式 备课资料（典型例题）

这是一份人教版数学八上14.2 乘法公式 备课资料（典型例题），共7页。


14.2　乘法公式
典型例题
题型一　平方差公式的运用
例1　计算：(1)(3a-2b)(2b+3a)；
(2)；
(3)(-2y-3x)(2y-3x).
分析：先变形为两数和与两数差的积的形式，然后套用平方差公式.
解：(1)(3a-2b)(2b+3a)＝(3a-2b)(3a+2b)
＝(3a)2-(2b)2＝9a2-4b2.
(2)＝
＝(y)2-＝y2-.
(3)(-2y-3x)(2y-3x)＝(-3x-2y)(-3x+2y)
＝(-3x)2-(2y)2
＝9x2-4y2.
例2　计算：
(1)x-x+x2+；
(2)(2x+1)(4x2+1)(2x-1)(16x4+1).
分析：本题主要考查平方差公式的重复使用.首先观察各式是否具备平方差公式的结构，若具备，则直接套用(a+b)(a-b)＝a2-b2进行简便计算.
解：(1)x-x+x2+
＝x2-x2+＝x4-.
(2)(2x+1)(4x2+1)(2x-1)(16x4+1)
＝(2x+1)(2x-1)(4x2+1)(16x4+1)
＝(4x2-1)(4x2+1)(16x4+1)
＝(16x4-1)(16x4+1)
＝256x8-1.
点拨：运用平方差公式的前提是两个因式具有两数和与两数差的积的形式，有的要经过适当变形才具有上述特征，因此在计算前应仔细观察.
题型二　完全平方公式的运用
例3　计算：(1)(3a+b)2；(2)(-3+2a)2；
(3)(x-2y)2；(4)(-2x-3y)2.
分析：例3都可利用完全平方公式计算，区别在于是选“和”还是“差”的完全平方公式.(1)选用“和”的完全平方公式，(2)(3)选用“差”的完全平方公式，(4)两种方法都可以.
解：(1)(3a+b)2＝(3a)2+2·3a·b+b2＝9a2+ 6ab+b2.
(2)(-3+2a)2＝(2a-3)2＝(2a)2-2·2a·3+32＝4a2-12a+9.
(3)(x-2y)2＝x2-2·x·2y+(2y)2＝x2-4xy+4y2.
(4)(-2x-3y)2＝[-(2x+3y)]2＝(2x+3y)2＝(2x)2+ 2·2x·3y+(3y)2＝4x2+12xy+9y2.
例4　运用乘法公式计算：
(1)(x+2y+z)2；(2)(2x-3y-4z)2.
分析：此例题是完全平方公式的推广应用.做(1)题时首先运用整体思想的方法，把其中的x+2y看作一项，然后利用公式，也可以把2y+z看作一项，再利用公式.两种方法得出的结果是一样的.第(2)题的解法与第(1)题相同.
解：(1)方法1：(x+2y+z)2＝[x+(2y+z)]2
＝x2+2x(2y+z)+(2y+z)2
＝x2+4xy+2xz+4y2+4yz+z2.
方法2：(x+2y+z)2＝[(x+2y)+z]2
＝(x+2y)2+2(x+2y)z+z2
＝x2+4xy+4y2+2xz+4yz+z2.
(2)方法1：(2x-3y-4z)2＝[2x-(3y+4z)]2
＝(2x)2-2·(2x)·(3y+4z)+(3y+4z)2
＝4x2-4x(3y+4z)+(9y2+24yz+16z2)
＝4x2-12xy-16xz+9y2+24yz+16z2.
方法2：(2x-3y-4z)2＝[(2x-3y)-4z]2
＝(2x-3y)2-2(2x-3y)·4z+(4z)2
＝4x2-12xy+9y2-16xz+24yz+16z2.
方法归纳
1.在运用完全平方公式时要注意运用以下规律：当所给的二项式符号相同时，结果中三项的符号都为正；当所给的二项式符号相反时，结果中两平方项为正，乘积项的符号为负.
2.注意(-a-b)2＝(a+b)2，(a-b)2＝(b-a)2.
3.如果用完全平方公式计算的多项式超过两项，要运用整体思想方法进行解决：将其中的项分成两个整体，再利用完全平方公式进行计算.
题型三　运用乘法公式巧计算
例5　运用乘法公式巧计算.
(1)102×98；(2)1022；(3)992；
(4)2 0202-2 019×2 021.
分析：此例题主要考查灵活运用乘法公式计算.(1)中，102×98＝(100+2)×(100-2)；
(2)中，1022＝(100+2)2；
(3)中，992＝(100-1)2；(4)中，2 0202-2 019×2 021＝2 0202 - (2 020-1)(2 020+1).
解：(1)102×98＝(100+2)(100-2)＝1002-22＝10 000-4＝9 996.
(2)1022＝(100+2)2＝1002+2×100×2+22＝10 000 +400+4＝10 404.
(3)992＝(100-1)2＝1002-2×100×1+12＝10 000 -200+1＝9 801.
(4)2 0202-2 019×2 021＝2 0202-(2 020-1)(2 020+1)＝2 0202-(2 0202-1)＝2 0202-2 0202+1＝1.
点拨：解此类题目的关键在于将所给题目化成符合公式的形式，这样计算较简便.
例6　计算：3(22+1)(24+1)(28+1)+1.
分析：观察(22+1)(24+1)(28+1)可知，直接计算较麻烦，由22+1，24+1，28+1可知若将3变为22-1即可使计算简便.
解：3(22+1)(24+1)(28+1)+1＝(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)+1
＝(24-1)(24+1)(28+1)+1
＝(28-1)(28+1)+1＝216-1+1＝216.
题型四　整式的化简求值
例7　 (2020·北京中考)已知5x2-x-1＝0，求代数式(3x+2)(3x-2)+x(x-2)的值.
解：(3x+2)(3x-2)+x(x-2)
＝9x2-4+x2-2x
＝10x2-2x-4.
由5x2-x-1＝0可知5x2-x＝1，
∴ 10x2-2x＝2，
∴ 原式＝2-4＝-2.
例8　(2019·四川凉山中考)先化简，再求值：
(a+3)2-(a+1)(a-1)-2(2a+4)，其中a＝-.
分析：先利用完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式的法则计算，再合并化简，最后将给出的a值代入求得结果.
解：原式＝a2+6a+9-a2+1-4a-8
＝2a+2，
当a＝-时，
原式＝2×+2＝-1+2＝1.
题型五　乘法公式在解方程和不等式组中的应用
例9　解方程：(x+1)2+3(x+2)(x-2)＝(4x+1)(x-1).
分析：按照解一元一次方程的一般步骤解此方程.
解：x2+2x+1+3(x2-4)＝4x2-4x+x-1，
x2+2x+1+3x2-12＝4x2-3x-1，
4x2-4x2+2x+3x＝-1-1+12，
5x＝10，∴ x＝2.
点拨：先利用完全平方公式和平方差公式、多项式乘法法则把方程的左、右两边分别展开，然后整理转化为一元一次方程.
例10　解不等式组：
分析：先利用平方差公式与单项式乘多项式法则分别把两个不等式展开、化简，并求出每个不等式的解集，然后确定不等式组的解集.
解：
由①得x2-9-x2+2x>1，2x>10，x>5.
由②得(-5)2-(2x)2<4x-4x2，
25-4x2<4x-4x2，x> .
∴ 不等式组的解集为x>.
注意：去括号时不要出现符号错误及漏乘项.
题型六　应用完全平方公式求值
例11　设m+n＝10，mn＝24，求m2+n2和(m-n)2的值.
分析：应将m2+n2，(m-n)2变形为含m+n，mn的式子，然后将已知整体代入计算即可.
解：m2+n2＝(m+n)2-2mn，
(m-n)2＝(m+n)2-4mn，
将m+n＝10，mn＝24分别代入上面两式，得
m2+n2＝102-2×24＝52，
(m-n)2＝102-4×24＝4.
例12　已知a+＝10，求：
(1)a2+的值；(2)的值.
分析：将a2+变形为-2，变形为-4，然后将a+＝10代入求值.
解：(1)a2+＝-2＝102-2＝98.
(2)＝-4＝102-4＝96.
点拨：解决此类题目应先将要求值的代数式利用公式进行恒等变形，然后整体代入求值.
题型七　综合运用乘法公式计算
例13　运用乘法公式计算：
(1)(a-b+c)(a+b-c)；
(2)(2x-y+1)(y-1+2x)；
(3)(2a+3b)2-(2a-3b)2；
(4)(x+2y)2(x-2y)2.
解：(1)(a-b+c)(a+b-c)＝[ a-(b-c)][a+(b-c)]
＝a2-(b-c)2＝a2-(b2-2bc+c2)
＝a2-b2+2bc-c2.
(2)(2x-y+1)(y-1+2x)
＝[2x-(y-1)][2x+(y-1)]＝(2x)2-(y-1)2
＝4x2-(y2-2y+1)＝4x2-y2+2y-1.
(3)方法1：(2a+3b)2-(2a-3b)2
＝(4a2+12ab+9b2)-(4a2-12ab+9b2)
＝4a2+12ab+9b2-4a2+12ab-9b2
＝24ab.
方法2：(2a+3b)2-(2a-3b)2
＝[(2a+3b)+(2a-3b)][(2a+3b)-(2a-3b)]
＝(2a+3b+2a-3b)(2a+3b-2a+3b)
＝4a×6b＝24ab.
(4)(x+2y)2(x-2y)2＝[(x+2y)(x-2y)]2
＝(x2-4y2)2＝(x2)2-2·x2·4y2+(4y2)2
＝x4-8x2y2+16y4.
题型八　利用乘法公式证明
例14　证明：无论a，b为何值，多项式a2+b2-2a-6b+12的值恒为正.
分析：利用完全平方公式中的完全平方式a2+2ab+b2恒为非负数解题.
证明：a2+b2-2a-6b+12＝a2-2a+1+b2-6b+9+2＝(a-1)2 +(b-3)2+2.
∵ (a-1)2≥0，(b-3)2≥0，
∴ a2+b2-2a-6b+12>0.
即无论a，b为何值，多项式a2+b2-2a-6b+12的值恒为正.
方法归纳
把完全平方式a2+2ab+b2，a2-2ab+b2分别配成(a+ b)2，(a-b)2，应用其为非负数解题.
例15　对任意整数n，整式(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)是不是10的倍数？为什么？
分析：要判断整式(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)是不是10的倍数，只要看化简后的结果，是否有因数10即可.
解：(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)是10的倍数.
理由：(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)
＝(3n)2-1-(32-n2)＝9n2-1-9+n2＝10n2-10
＝10(n2-1).
∵ 10(n2-1)是10的倍数，∴ 原式是10的倍数.
点拨：此题中逆用乘法的分配律，使结果含有因数10.判断是不是10的倍数，只要判断化简后的结果是否含有因数10即可.
题型九　规律探究题
例16　仔细观察下列各式：
12+(1×2)2+22＝(1×2+1)2；
22+(2×3)2+32＝(2×3+1)2；
32+(3×4)2+42＝(3×4+1)2；
….
请你根据以上规律，写出第n(n为自然数)个式子，并说明理由.
分析：通过观察各式可以发现：各式等号左边是两个连续自然数的平方与两数乘积的平方的和；各式等号右边是这两个自然数的乘积与1的和的平方.
解：n2+[n(n+1)]2+(n+1)2＝[n(n+1)+1]2.
理由：因为n2+[n(n+1)]2+(n+1)2
＝n2+(n2+n)2+n2+2n+1＝n2+n4+2n3+n2+n2+2n+1
＝n4+2n3+3n2+2n+1，
[n(n+1)+1]2＝[n(n+1)]2+2n(n+1)+1
＝(n2+n)2+2n2+2n+1＝n4+2n3+n2+2n2+2n+1＝n4+2n3+3n2+2n+1，
所以n2+[n(n+1)]2+(n+1)2＝[n(n+1)+1]2.
点拨：解答规律探究问题，一般先从题目所给的几个等式出发找到存在的共同规律，再根据这个规律得到一般性的结论，有时还需要验证其正确性.
拓展资料
贾宪三角
中国的数学发展到宋元时期，终于走到了它的高峰.在这个数学创新的黄金时期中，各种数学成果层出不穷，令人目不暇接.其中特别引人注目的，当首推北宋数学家贾宪创制的“贾宪三角”了.
由于史书没有贾宪的传记，所以我们今天对这位数学家的生平事迹已经无法搞清楚了.只知道他曾经当过宋代“左班殿直”的小官，是当时天文数学家楚衍的学生，还写过两部数学著作，可惜这两部著作现在都失传了.幸亏南宋数学家杨辉在他的书中引述了贾宪的许多数学思想资料，才使我们今天得以了解贾宪在数学上的重大贡献.
贾宪最著名的数学成绩，是他创制了一幅数字图式，即“开方作法本源图”(如图14-2-1所示).这幅图现见于杨辉的书中，但杨辉在引用了这幅图后特意说明：“贾宪用此术”.所以过去我国数学界把这幅图称为“杨辉三角”，实际上是不妥当的，应该称为“贾宪三角”才最为恰当.

图14-2-1
末位数字是5的两位数平方的速算法则
你能很快算出752吗？我们一起来探索一下，末位数字是5的两位数的平方有什么规律.
请你用计算器计算下列算式：
152＝　　　　；252＝　　　　；352＝　　　　；
452＝　　　　；552＝　　　　；652＝　　　　；
752＝　　　　；852＝　　　　；952＝　　　　.
从这些计算结果中，你能发现什么？
我们发现了一个速算法则：
末位数字是5的两位数的平方，可以先写出它的十位数字与其下一个自然数的乘积，再在末尾接着写上25.
例如，计算752.因为7×8＝56，所以752＝5 625.
这是什么道理呢？我们可以应用两数和的平方公式来说明：
设一个两位数的个位数字是5，十位数字是n，则这个两位数等于10n+5，所以(10n+5)2＝100n2+100n+25＝100n(n+1)+25.
上面得到的等式，对于任意的正整数n都是成立的.因此，对于个位数是5的三位数、四位数等，这个速算法则同样适用.
例如，计算1952.因为19×20＝380，所以1952＝38 025.
平方数的速算技巧
速算是一种优秀的素质，是可以人工培训的.经常运用的话，人也可以变得越来越聪明.
为什么有些人一口气能说出一些两位数的平方，而且不需要任何工具(算盘、计算器、电脑等)？
原来，对某些自然数区间来说，有些心算法能非常快速而有效地报出它的平方数，例如要求40到60之间自然数的平方，可以用25加上超过50的“过剩数”或不足50的“亏损数”，并在此结果的后面串联上过剩数或亏损数的平方.比如，对54而言，此时的过剩数是4，加上25以后得出29，再在其后面串联上4的平方，于是马上得出2 916，它就是54的平方了.
类似地，再来求57的平方.此时有25+7＝32，而72＝49，从而立即得出3 249.
若过剩数的平方只有一位数，则要在前面添个0，以凑足两位数.例如在算532时，要在25+3＝28后面添写09，便得2 809.
这种快速心算窍门，之所以能够成立，理由很明显，这是由于(50±x)2＝2 500±100x+x2＝(25±x)×100+x2.
用100去乘(25±x)意味着在积的十位与个位上留出空位，正好用表示两位数的x2来填补.注意，此公式中并没有排斥x大于或等于10的情况，但这时x2将不止两位，操作时就必须注意，可能要“越位”到前面来了.例如对632来说，将有25+13，后面再添写132，即相应地得到38与169，而这个1就必须与前面的8相加，最后得出3 969.一旦同学们熟练了，操作起来会觉得很方便.