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初中数学人教版八年级上册14.1.4 整式的乘法精品练习
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这是一份初中数学人教版八年级上册14.1.4 整式的乘法精品练习，共6页。试卷主要包含了1 整式的乘法等内容，欢迎下载使用。
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.1 整式的乘法
典型例题
题型一 幂的乘法运算
例1 计算：
(1)①103×104；②a·a3·a5；③a4·(-a)3；
④(m+n)2·(m+n)3；⑤(a-b)3·(b-a)2.
(2)①(103)5；②(b3)4；③-(x4)2.
(3)①(2b)3；②(-2×103)3；③(x4)5·x7.
分析：本题主要考查三个公式：am·an＝am+n，(am)n＝amn，(ab)n＝anbn，其中m，n均为正整数.
解：(1)①103×104＝103+4＝107.
②a·a3·a5＝a1+3+5＝a9.
③a4·(-a)3＝a4·(-a3)＝-a4+3＝-a7.
④(m+n)2·(m+n)3＝(m+n)2+3＝(m+n)5.
⑤(a-b)3·(b-a)2＝(a-b)3·(a-b)2
＝(a-b)3+2＝(a-b)5.
(2)①(103)5＝103×5＝1015.
②(b3)4＝b3×4＝b12.
③-(x4)2＝-x4×2＝-x8.
(3)①(2b)3＝23b3＝8b3.
②(-2×103)3＝(-2)3×(103)3＝-8×109.
③(x4)5·x7＝x20·x7＝x27.
例2 (2020 ·湖南株洲中考)下列运算正确的是( )
A.a·a3＝a4 B.2a-a＝2
C.(a2)5＝a7 D.(-3b)2＝6b2
解析：根据同底数幂的乘法法则可得a·a3＝a4，选项A正确；
根据合并同类项法则可得2a-a＝a，选项B错误；
根据幂的乘方的运算法则可得(a2)5＝a10，选项C错误；
根据积的乘方的运算法则可得(-3b)2＝9b2，选项D错误.
答案：A
题型二 整式的乘法运算
例3 计算：(1)(-8ab2)·(-3abc)；
(2)3x2y·(-2xy+4xy2-3x2y2)；
(3)(a-2b)(5a-3b).
分析：整式的乘法应按照法则进行运算，注意符号问题.
解：(1)原式＝(-8)×(-3)(a·a)(b2·b)c
＝24a2b3c.
(2)原式＝3x2y·(-2xy)+3x2y·4xy2+3x2y·(-3x2y2)＝-6x3y2+12x3y3-9x4y3.
(3)＝a·5a-a·3b-2b·5a+2b·3b
＝5a2-3ab-10ab+6b2＝5a2-13ab+6b2.
规律总结
1.整式乘法运算要熟练整式的乘法法则，注意运算符号，有同类项的要合并同类项.
2.用“箭头法”解多项式乘多项式的问题：多项式与多项式相乘，为了做到不重不漏，可以用“箭头法”标注求解，如第(3)题.
题型三 整式的除法运算
例4 (河北中考)若2n+2n+2n+2n＝2，则n＝( )
A.-1 B.-2 C.0 D.
解析：因为2n+2n+2n+2n＝2，
所以4·2n＝2，2·2n＝1，即21+n＝1，
所以1+n＝0，n＝-1.
答案：A
例5 计算：(1)(-6a3b3c2)÷(-2ab2)；
(2)(-15x2y3+5xy2-10x2y)÷(-5xy).
分析：本题应遵循整式除法法则进行计算.
解：(1)原式＝[(-6)÷(-2)](a3÷a)(b3÷b2)c2＝3a2bc2.
(2)原式＝(-15x2y3)÷(-5xy)+5xy2÷(-5xy)-10x2y ÷(-5xy)＝3xy2-y+2x.
注意：(1)多项式除以单项式，在进行计算时注意不要漏写字母，也不要看错符号，尤其是当除式的系数为负数时，多项式的每一项除以除式的结果都要变号，当被除式的某一项与除式相同时，其商为1.(2)多项式除以单项式是单项式乘多项式的逆运算，因此除法可用乘法进行检验.
题型四 整式的混合运算
例6 计算：
(1)(a+b)(a-2b)-(a+2b)(a-b)；
(2)5x(x2+2x+1)-(2x+3)(x-5)；
(3)(江苏南通中考)[x(x2y2-xy)-y(x2-x3y)]÷x2y.
分析：本题考查整式加减与整式乘法的混合运算，要依据先乘法、后加减的顺序计算.
解：(1)(a+b)(a-2b)-(a+2b)(a-b)
＝(a2-ab-2b2)-(a2+ab-2b2)
＝a2-ab-2b2-a2-ab+2b2
＝-2ab.
(2)5x(x2+2x+1)-(2x+3)(x-5)
＝(5x3+10x2+5x)-(2x2-7x-15)
＝5x3+10x2+5x-2x2+7x+15
＝5x3+8x2+12x+15.
(3)[x(x2y2-xy)-y(x2-x3y)]÷x2y
＝[(x3y2-x2y)-(x2y-x3y2)]÷x2y
＝(x3y2-x2y-x2y+x3y2)÷x2y
＝(2x3y2-2x2y)÷x2y
＝2xy-2.
方法归纳
1.整式的混合运算顺序是：先乘除，后加减，有括号的先算括号内的，乘积的结果放在括号里，有同类项的要合并同类项.
2.在确定积的每一项的符号时，要按照“同号得正，异号得负”的原则.
3.不要漏乘任何一项，特别是常数项为±1时，更不要漏乘.
题型五 幂的运算法则的逆向运用
例7 计算：·.
分析：利用积的乘方的逆运算：anbn＝(ab)n(n为正整数)进行解题.
解：·＝
＝(-1)2 020＝1.
例8 已知3m＝6，9n＝2，求32m+4n的值.
分析：若把3m，9n分别作为一个整体，可以把32m+4n化为32m+4n＝32m·34n＝(3m)2·(32n)2＝(3m)2·(9n)2，再代入3m，9n的值即可求解.
解：32m+4n＝32m·34n＝(3m)2·(32n)2
＝(3m)2·(9n)2＝62×22
＝36×4＝144.
例9 (2019·四川绵阳中考)已知4m＝a，8n＝b，其中m，n为正整数，则22m+6n＝( )
A.ab2 B.a+b2
C.a2b3 D.a2+b3
解析：方法1：因为4m＝a，8n＝b，
所以22m+6n＝22m×26n＝(22)m×(23)2n＝4m×82n＝4m× (8n)2＝ab2.
方法2：因为4m＝a，8n＝b，
所以22m＝a，23n＝b，
所以22m+6n＝22m·26n＝22m·(23n)2＝ab2.
答案：A
点拨：考查幂的性质的逆用，由am·an＝am+n (a≠0)，得am+n＝am·an(a≠0).由(am)n＝amn，得amn＝(am)n＝(an)m.
方法归纳
逆用幂的有关性质时，若指数中出现加法，则要考虑用同底数幂的乘法；若指数中出现减法，则要考虑用同底数幂的除法；若指数中出现乘法，则要考虑幂的乘方.
题型六 利用整式运算法则解方程或不等式
例10 解方程：(3x-2)(2x-3)＝(6x+5)(x-1).
分析：本题考查利用整式乘法解方程，解方程时，有括号的要先去括号.
解：(3x-2)(2x-3)＝(6x+5)(x-1)，
6x2-13x+6＝6x2-x-5，
6x2-13x-6x2+x＝-5-6，
-12x＝-11，
x＝.
例11 解不等式：(3x+4)(3x-4)>9(x-2)(x+3).
分析：本题考查利用整式乘法解不等式.解不等式，系数化为1时，若系数是负数，则不等号要改变方向.
解：(3x+4)(3x-4)>9(x-2)(x+3)，
9x2-16>9(x2+x-6)，
9x2-16>9x2+9x-54，
9x2-9x2-9x>16-54，
-9x>-38，
x<.
点拨：本题先运用多项式与多项式的乘法法则去括号，然后移项、合并同类项，再按照解一元一次不等式的步骤求出解集.
题型七 运用比较系(指)数法求值
例12 (苏州中考)若3×9m×27m＝321，则m的值是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
解析：将等式左边化成以3为底的幂的形式，由指数相等列一元一次方程求解.
3×32m×33m＝35m+1＝321，∴ 5m+1＝21，∴ m＝4.
答案：B
例13 已知(-2x3y2)3÷＝-mx7y p，求n，m，p的值.
分析：先计算积的乘方，再结合单项式除以单项式的除法法则，利用等式关系求m，n，p的值.
解：∵ (-2x3y2)3÷＝-mx7y p，
∴ (-8x9y6)÷＝-mx7y p，
16x9-ny4＝-mx7y p.
依题意列方程组得解得
题型八 整式的化简求值
例14 (山东威海中考)已知x2-2＝y，则x(x-3y)+y(3x-1)-2的值是( )
A.-2 B.0 C.2 D.4
解析：原式＝x2-3xy+3yx-y-2＝x2-y-2.因为x2-2＝y，所以原式＝0.
答案：B
例15 当y＝-时，求代数式y(y2-6y+9)-y(y2-8y-15)+2y(3-y)的值.
分析：先去括号，再合并同类项，然后代入求值.
解：y(y2-6y+9)-y(y2-8y-15)+2y(3-y)
＝y3-6y2+9y-y3+8y2+15y+6y-2y2
＝30y，
当y＝-时，原式＝30y＝30×＝-5.
点拨：(1)化简求值题应该先按整式的运算法则进行化简，然后代入求值.
(2)在求整式的值时，代入负数时应用括号括起来.
题型九 运用幂的运算法则比较大小
例16 比较大小：
(1)1625与290；(2)2100与375.
分析：比较两个正数幂的大小，一种是指数相同，比较底数大小；另一种是底数相同，比较指数大小.
解：(1)∵ 1625＝(24)25＝2100，且100>90，
∴ 2100>290，即1625>290.
(2)∵ 2100＝(24)25＝1625，375＝(33)25＝2725，且16<27，∴ 1625<2725，即2100<375.
点拨：将不同底数幂比较大小的问题转化为同底数幂比较大小的问题，体现了数学的转化思想.
方法归纳
1.当a>1时，m>n，则am>an；当0n，则ambn(n为正整数).
题型十 整式乘法中的开放探究问题
例17 已知(x2+px+8)(x2-3x+q)的积中不含x3和x项，求p，q的值.
分析：多项式中不含几次项，说明这个几次项的系数为0.
解：(x2+px+8)(x2-3x+q)＝x4+(p-3)x3+(8+q-3p)x2+(pq-24)x+8q.
∵ 它不含x3和x项，∴ p-3＝0且pq-24＝0，∴ p＝3，q＝8.
例18 先阅读，再填空解题：
(x+2)(x+3)＝x2+5x+6；
(x-2)(x+3)＝x2+x-6；
(x+2)(x-3)＝x2-x-6；
(x-2)(x-3)＝x2-5x+6.
(1)乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项有何关系？
(2)根据以上各式出现的规律，用公式表示出来；
(3)直接写出结果：①(a+5)(a-6)＝ ；
②(y-3)(y-5)＝ .
(4)若(x+p)(x+q)＝x2+mx+6(p，q均为整数)，求m的值.
分析：这是一道阅读与探索猜想结合在一起的新题，多观察、分析找出一般规律.
解：(1)两因式中常数项的和等于乘积式中一次项的系数，常数项的积等于乘积式中的常数项.
(2)(x+a)(x+b)＝x2+(a+b)x+ab
(3)①a2-a-30；②y2-8y+15
(4)pq＝6＝1×6＝2×3＝(-1)×(-6)＝(-2)×(-3)，
∴ m＝p+q＝±7或±5.
方法归纳
(x+p)(x+q)＝x2+(p+q)x+pq是常见的一次式与一次式相乘的公式，要理解其实质.
题型十一 整式乘除法在实际问题中的应用
例19 张叔叔刚分到一套新房，其结构如图14-1-1所示(单位：米)，他打算除卧室外，其余部分都铺地砖.
图14-1-1
(1)至少需要多少平方米地砖？
(2)如果铺的这种地砖的价格为m元/平方米，那么张叔叔至少要花多少元钱？
分析：计算各小长方形的面积之和S总＝S客厅+S卫生间+S厨房，所花钱数＝S总×价格.
解：(1)S总＝2a·4b+a(4b-2b)+b(4a-2a-a)
＝8ab+2ab+ab＝11ab(平方米).
答：至少需要11ab平方米地砖.
(2)m·11ab＝11abm(元).
答：张叔叔至少要花11abm元钱.
点拨：此类型题目多与计算面积有关，列出式子后依据整式的乘法运算法则计算即可.
例20 某农科所要在长为1.2×105 cm，宽为2.4×104 cm的试验基地上培育新品种粮食，现培育每种新品种需要一块边长为1.2×104 cm的正方形试验田，那么这块试验基地最多能培育几种新品种粮食？
分析：本题的实质是探究在大长方形中能找到多少个符合要求的小正方形.
解：[(1.2×105)×(2.4×104)]÷(1.2×104)2＝(2.88×109)÷(1.44×108)＝2×10＝20，
所以最多能培育20种新品种粮食.
点拨：利用运算法则解决实际问题，突出了数学服务于生产、生活实际的功能，培养了探究问题的能力和应用意识.
拓展资料
幂的由来
幂的概念的形成是相当曲折和缓慢的.
我国古代，幂字至少有10种不同的写法，最简单的是“冖”.“幂”作为名词是用来覆盖食物的巾，作为动词就是用巾来覆盖.《说文解字》解释说：“冖，覆也，从一下垂也.”
用一块方形的布盖东西，四角垂下来，就成“冖”的形状.将这意义加以引申，凡是方形的东西也可叫做幂.再进一步推广，矩形面积或两数的积(特别是一个数自乘的结果)也叫做幂.这种推广是从刘徽开始的.
刘徽在263年为《九章算术》作注，在“方田”章求矩形面积法则下面写道：“此谓田幂”.他还说，长和宽相乘的积叫幂.这是在数学文献中第一次出现幂.在“勾股”章中，刘徽表述勾股定理为：“勾股幂合以成弦幂.”这里幂是指边自乘的结果或正方形面积.
300多年以后，李淳风重注《九章算术》，他不同意刘徽这样使用幂字.到了明朝，有些数学书中完全不使用幂字.
1607年，利玛窦和徐光启合译欧几里得《几何原本》，在译本中徐光启重新使用了幂字.他说：“自乘之数曰幂.”这是第一次给幂这个概念下定义.
另一方面，幂的概念的形成还受到国外的影响.1591年，法国数学家韦达的代数名著《分析方法入门》中曾经用拉丁文字表达“幂”，以后译成英文相当于“power”.1935年，我国出版《数学名词》，把“power”译成“幂”，这个术语从此才算确定下来.
“盘古开天辟地”的故事
据说很久很久以前，没有天没有地，整个宇宙是混沌的，突然间窜出来一个巨人，他的名字叫盘古，他手握一把巨斧，用力一劈，把混沌的宇宙劈成两半，上面是天，下面是地，从此宇宙有了天地之分，盘古完成了这样一个壮举，累死了，他的左眼变成了太阳，右眼变成了月亮，毛发变成了森林和草原，骨头变成了高山和高原，肌肉变成了平原与谷地，血液变成了河流.
盘古的左眼变成了太阳，那么太阳离我们多远呢？
光的速度为3×105千米/秒，太阳光照射到地球大约需要5×102秒，你能计算出地球距离太阳大约有多远吗？
可以列出算式：3×105×5×102＝15×105×102＝15ד？”.
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.1 整式的乘法
典型例题
题型一 幂的乘法运算
例1 计算：
(1)①103×104；②a·a3·a5；③a4·(-a)3；
④(m+n)2·(m+n)3；⑤(a-b)3·(b-a)2.
(2)①(103)5；②(b3)4；③-(x4)2.
(3)①(2b)3；②(-2×103)3；③(x4)5·x7.
分析：本题主要考查三个公式：am·an＝am+n，(am)n＝amn，(ab)n＝anbn，其中m，n均为正整数.
解：(1)①103×104＝103+4＝107.
②a·a3·a5＝a1+3+5＝a9.
③a4·(-a)3＝a4·(-a3)＝-a4+3＝-a7.
④(m+n)2·(m+n)3＝(m+n)2+3＝(m+n)5.
⑤(a-b)3·(b-a)2＝(a-b)3·(a-b)2
＝(a-b)3+2＝(a-b)5.
(2)①(103)5＝103×5＝1015.
②(b3)4＝b3×4＝b12.
③-(x4)2＝-x4×2＝-x8.
(3)①(2b)3＝23b3＝8b3.
②(-2×103)3＝(-2)3×(103)3＝-8×109.
③(x4)5·x7＝x20·x7＝x27.
例2 (2020 ·湖南株洲中考)下列运算正确的是( )
A.a·a3＝a4 B.2a-a＝2
C.(a2)5＝a7 D.(-3b)2＝6b2
解析：根据同底数幂的乘法法则可得a·a3＝a4，选项A正确；
根据合并同类项法则可得2a-a＝a，选项B错误；
根据幂的乘方的运算法则可得(a2)5＝a10，选项C错误；
根据积的乘方的运算法则可得(-3b)2＝9b2，选项D错误.
答案：A
题型二 整式的乘法运算
例3 计算：(1)(-8ab2)·(-3abc)；
(2)3x2y·(-2xy+4xy2-3x2y2)；
(3)(a-2b)(5a-3b).
分析：整式的乘法应按照法则进行运算，注意符号问题.
解：(1)原式＝(-8)×(-3)(a·a)(b2·b)c
＝24a2b3c.
(2)原式＝3x2y·(-2xy)+3x2y·4xy2+3x2y·(-3x2y2)＝-6x3y2+12x3y3-9x4y3.
(3)＝a·5a-a·3b-2b·5a+2b·3b
＝5a2-3ab-10ab+6b2＝5a2-13ab+6b2.
规律总结
1.整式乘法运算要熟练整式的乘法法则，注意运算符号，有同类项的要合并同类项.
2.用“箭头法”解多项式乘多项式的问题：多项式与多项式相乘，为了做到不重不漏，可以用“箭头法”标注求解，如第(3)题.
题型三 整式的除法运算
例4 (河北中考)若2n+2n+2n+2n＝2，则n＝( )
A.-1 B.-2 C.0 D.
解析：因为2n+2n+2n+2n＝2，
所以4·2n＝2，2·2n＝1，即21+n＝1，
所以1+n＝0，n＝-1.
答案：A
例5 计算：(1)(-6a3b3c2)÷(-2ab2)；
(2)(-15x2y3+5xy2-10x2y)÷(-5xy).
分析：本题应遵循整式除法法则进行计算.
解：(1)原式＝[(-6)÷(-2)](a3÷a)(b3÷b2)c2＝3a2bc2.
(2)原式＝(-15x2y3)÷(-5xy)+5xy2÷(-5xy)-10x2y ÷(-5xy)＝3xy2-y+2x.
注意：(1)多项式除以单项式，在进行计算时注意不要漏写字母，也不要看错符号，尤其是当除式的系数为负数时，多项式的每一项除以除式的结果都要变号，当被除式的某一项与除式相同时，其商为1.(2)多项式除以单项式是单项式乘多项式的逆运算，因此除法可用乘法进行检验.
题型四 整式的混合运算
例6 计算：
(1)(a+b)(a-2b)-(a+2b)(a-b)；
(2)5x(x2+2x+1)-(2x+3)(x-5)；
(3)(江苏南通中考)[x(x2y2-xy)-y(x2-x3y)]÷x2y.
分析：本题考查整式加减与整式乘法的混合运算，要依据先乘法、后加减的顺序计算.
解：(1)(a+b)(a-2b)-(a+2b)(a-b)
＝(a2-ab-2b2)-(a2+ab-2b2)
＝a2-ab-2b2-a2-ab+2b2
＝-2ab.
(2)5x(x2+2x+1)-(2x+3)(x-5)
＝(5x3+10x2+5x)-(2x2-7x-15)
＝5x3+10x2+5x-2x2+7x+15
＝5x3+8x2+12x+15.
(3)[x(x2y2-xy)-y(x2-x3y)]÷x2y
＝[(x3y2-x2y)-(x2y-x3y2)]÷x2y
＝(x3y2-x2y-x2y+x3y2)÷x2y
＝(2x3y2-2x2y)÷x2y
＝2xy-2.
方法归纳
1.整式的混合运算顺序是：先乘除，后加减，有括号的先算括号内的，乘积的结果放在括号里，有同类项的要合并同类项.
2.在确定积的每一项的符号时，要按照“同号得正，异号得负”的原则.
3.不要漏乘任何一项，特别是常数项为±1时，更不要漏乘.
题型五 幂的运算法则的逆向运用
例7 计算：·.
分析：利用积的乘方的逆运算：anbn＝(ab)n(n为正整数)进行解题.
解：·＝
＝(-1)2 020＝1.
例8 已知3m＝6，9n＝2，求32m+4n的值.
分析：若把3m，9n分别作为一个整体，可以把32m+4n化为32m+4n＝32m·34n＝(3m)2·(32n)2＝(3m)2·(9n)2，再代入3m，9n的值即可求解.
解：32m+4n＝32m·34n＝(3m)2·(32n)2
＝(3m)2·(9n)2＝62×22
＝36×4＝144.
例9 (2019·四川绵阳中考)已知4m＝a，8n＝b，其中m，n为正整数，则22m+6n＝( )
A.ab2 B.a+b2
C.a2b3 D.a2+b3
解析：方法1：因为4m＝a，8n＝b，
所以22m+6n＝22m×26n＝(22)m×(23)2n＝4m×82n＝4m× (8n)2＝ab2.
方法2：因为4m＝a，8n＝b，
所以22m＝a，23n＝b，
所以22m+6n＝22m·26n＝22m·(23n)2＝ab2.
答案：A
点拨：考查幂的性质的逆用，由am·an＝am+n (a≠0)，得am+n＝am·an(a≠0).由(am)n＝amn，得amn＝(am)n＝(an)m.
方法归纳
逆用幂的有关性质时，若指数中出现加法，则要考虑用同底数幂的乘法；若指数中出现减法，则要考虑用同底数幂的除法；若指数中出现乘法，则要考虑幂的乘方.
题型六 利用整式运算法则解方程或不等式
例10 解方程：(3x-2)(2x-3)＝(6x+5)(x-1).
分析：本题考查利用整式乘法解方程，解方程时，有括号的要先去括号.
解：(3x-2)(2x-3)＝(6x+5)(x-1)，
6x2-13x+6＝6x2-x-5，
6x2-13x-6x2+x＝-5-6，
-12x＝-11，
x＝.
例11 解不等式：(3x+4)(3x-4)>9(x-2)(x+3).
分析：本题考查利用整式乘法解不等式.解不等式，系数化为1时，若系数是负数，则不等号要改变方向.
解：(3x+4)(3x-4)>9(x-2)(x+3)，
9x2-16>9(x2+x-6)，
9x2-16>9x2+9x-54，
9x2-9x2-9x>16-54，
-9x>-38，
x<.
点拨：本题先运用多项式与多项式的乘法法则去括号，然后移项、合并同类项，再按照解一元一次不等式的步骤求出解集.
题型七 运用比较系(指)数法求值
例12 (苏州中考)若3×9m×27m＝321，则m的值是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
解析：将等式左边化成以3为底的幂的形式，由指数相等列一元一次方程求解.
3×32m×33m＝35m+1＝321，∴ 5m+1＝21，∴ m＝4.
答案：B
例13 已知(-2x3y2)3÷＝-mx7y p，求n，m，p的值.
分析：先计算积的乘方，再结合单项式除以单项式的除法法则，利用等式关系求m，n，p的值.
解：∵ (-2x3y2)3÷＝-mx7y p，
∴ (-8x9y6)÷＝-mx7y p，
16x9-ny4＝-mx7y p.
依题意列方程组得解得
题型八 整式的化简求值
例14 (山东威海中考)已知x2-2＝y，则x(x-3y)+y(3x-1)-2的值是( )
A.-2 B.0 C.2 D.4
解析：原式＝x2-3xy+3yx-y-2＝x2-y-2.因为x2-2＝y，所以原式＝0.
答案：B
例15 当y＝-时，求代数式y(y2-6y+9)-y(y2-8y-15)+2y(3-y)的值.
分析：先去括号，再合并同类项，然后代入求值.
解：y(y2-6y+9)-y(y2-8y-15)+2y(3-y)
＝y3-6y2+9y-y3+8y2+15y+6y-2y2
＝30y，
当y＝-时，原式＝30y＝30×＝-5.
点拨：(1)化简求值题应该先按整式的运算法则进行化简，然后代入求值.
(2)在求整式的值时，代入负数时应用括号括起来.
题型九 运用幂的运算法则比较大小
例16 比较大小：
(1)1625与290；(2)2100与375.
分析：比较两个正数幂的大小，一种是指数相同，比较底数大小；另一种是底数相同，比较指数大小.
解：(1)∵ 1625＝(24)25＝2100，且100>90，
∴ 2100>290，即1625>290.
(2)∵ 2100＝(24)25＝1625，375＝(33)25＝2725，且16<27，∴ 1625<2725，即2100<375.
点拨：将不同底数幂比较大小的问题转化为同底数幂比较大小的问题，体现了数学的转化思想.
方法归纳
1.当a>1时，m>n，则am>an；当0
题型十 整式乘法中的开放探究问题
例17 已知(x2+px+8)(x2-3x+q)的积中不含x3和x项，求p，q的值.
分析：多项式中不含几次项，说明这个几次项的系数为0.
解：(x2+px+8)(x2-3x+q)＝x4+(p-3)x3+(8+q-3p)x2+(pq-24)x+8q.
∵ 它不含x3和x项，∴ p-3＝0且pq-24＝0，∴ p＝3，q＝8.
例18 先阅读，再填空解题：
(x+2)(x+3)＝x2+5x+6；
(x-2)(x+3)＝x2+x-6；
(x+2)(x-3)＝x2-x-6；
(x-2)(x-3)＝x2-5x+6.
(1)乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项有何关系？
(2)根据以上各式出现的规律，用公式表示出来；
(3)直接写出结果：①(a+5)(a-6)＝ ；
②(y-3)(y-5)＝ .
(4)若(x+p)(x+q)＝x2+mx+6(p，q均为整数)，求m的值.
分析：这是一道阅读与探索猜想结合在一起的新题，多观察、分析找出一般规律.
解：(1)两因式中常数项的和等于乘积式中一次项的系数，常数项的积等于乘积式中的常数项.
(2)(x+a)(x+b)＝x2+(a+b)x+ab
(3)①a2-a-30；②y2-8y+15
(4)pq＝6＝1×6＝2×3＝(-1)×(-6)＝(-2)×(-3)，
∴ m＝p+q＝±7或±5.
方法归纳
(x+p)(x+q)＝x2+(p+q)x+pq是常见的一次式与一次式相乘的公式，要理解其实质.
题型十一 整式乘除法在实际问题中的应用
例19 张叔叔刚分到一套新房，其结构如图14-1-1所示(单位：米)，他打算除卧室外，其余部分都铺地砖.
图14-1-1
(1)至少需要多少平方米地砖？
(2)如果铺的这种地砖的价格为m元/平方米，那么张叔叔至少要花多少元钱？
分析：计算各小长方形的面积之和S总＝S客厅+S卫生间+S厨房，所花钱数＝S总×价格.
解：(1)S总＝2a·4b+a(4b-2b)+b(4a-2a-a)
＝8ab+2ab+ab＝11ab(平方米).
答：至少需要11ab平方米地砖.
(2)m·11ab＝11abm(元).
答：张叔叔至少要花11abm元钱.
点拨：此类型题目多与计算面积有关，列出式子后依据整式的乘法运算法则计算即可.
例20 某农科所要在长为1.2×105 cm，宽为2.4×104 cm的试验基地上培育新品种粮食，现培育每种新品种需要一块边长为1.2×104 cm的正方形试验田，那么这块试验基地最多能培育几种新品种粮食？
分析：本题的实质是探究在大长方形中能找到多少个符合要求的小正方形.
解：[(1.2×105)×(2.4×104)]÷(1.2×104)2＝(2.88×109)÷(1.44×108)＝2×10＝20，
所以最多能培育20种新品种粮食.
点拨：利用运算法则解决实际问题，突出了数学服务于生产、生活实际的功能，培养了探究问题的能力和应用意识.
拓展资料
幂的由来
幂的概念的形成是相当曲折和缓慢的.
我国古代，幂字至少有10种不同的写法，最简单的是“冖”.“幂”作为名词是用来覆盖食物的巾，作为动词就是用巾来覆盖.《说文解字》解释说：“冖，覆也，从一下垂也.”
用一块方形的布盖东西，四角垂下来，就成“冖”的形状.将这意义加以引申，凡是方形的东西也可叫做幂.再进一步推广，矩形面积或两数的积(特别是一个数自乘的结果)也叫做幂.这种推广是从刘徽开始的.
刘徽在263年为《九章算术》作注，在“方田”章求矩形面积法则下面写道：“此谓田幂”.他还说，长和宽相乘的积叫幂.这是在数学文献中第一次出现幂.在“勾股”章中，刘徽表述勾股定理为：“勾股幂合以成弦幂.”这里幂是指边自乘的结果或正方形面积.
300多年以后，李淳风重注《九章算术》，他不同意刘徽这样使用幂字.到了明朝，有些数学书中完全不使用幂字.
1607年，利玛窦和徐光启合译欧几里得《几何原本》，在译本中徐光启重新使用了幂字.他说：“自乘之数曰幂.”这是第一次给幂这个概念下定义.
另一方面，幂的概念的形成还受到国外的影响.1591年，法国数学家韦达的代数名著《分析方法入门》中曾经用拉丁文字表达“幂”，以后译成英文相当于“power”.1935年，我国出版《数学名词》，把“power”译成“幂”，这个术语从此才算确定下来.
“盘古开天辟地”的故事
据说很久很久以前，没有天没有地，整个宇宙是混沌的，突然间窜出来一个巨人，他的名字叫盘古，他手握一把巨斧，用力一劈，把混沌的宇宙劈成两半，上面是天，下面是地，从此宇宙有了天地之分，盘古完成了这样一个壮举，累死了，他的左眼变成了太阳，右眼变成了月亮，毛发变成了森林和草原，骨头变成了高山和高原，肌肉变成了平原与谷地，血液变成了河流.
盘古的左眼变成了太阳，那么太阳离我们多远呢？
光的速度为3×105千米/秒，太阳光照射到地球大约需要5×102秒，你能计算出地球距离太阳大约有多远吗？
可以列出算式：3×105×5×102＝15×105×102＝15ד？”.
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