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人教版数学八上15.2 分式的运算 备课资料（典型例题）
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这是一份人教版数学八上15.2 分式的运算 备课资料（典型例题），共15页。
15.2 分式的运算
典型例题
题型一 分式的乘除运算
例1 (1)化简-÷的结果是( )
A.-a-1 B.-a+1 C.-ab+1 D.-ab+b
(2)(2019·四川乐山中考)化简：÷ .
分析：利用分式的除法法则进行计算，能分解因式的先进行因式分解.
(1)解析：÷＝·
＝-(a-1)＝-a+1.
答案：B
(2)解：原式＝÷＝· ＝.
例2 计算：(1)·；(2)÷.
分析：利用分式乘法法则与除法法则解题，结果要化为最简分式.
解：(1)·＝-·＝-.
(2)÷＝·
＝-＝-.
点拨：分式乘除法的符号法则与有理数乘除法的符号法则相同.
例3 计算：÷·.
分析：本题中出现了分式的乘法和除法的混合运算，在运算顺序上它们属于同一级运算，没有括号时，直接从左往右运算即可.
解：÷·
＝÷·
＝··＝.
点拨：(1)运算顺序：分式的乘除混合运算要从左到右依次进行.(2)在进行分式的乘除混合运算时，分式的分子和分母能分解因式的，先分解因式，同时把除法转化成乘法，再进行分式的乘法运算.
题型二 分式的乘方
例4 计算：(1)；(2).
分析：先运用分式乘方法则，将分子、分母分别乘方，再综合运用幂的乘方和积的乘方法则计算.
解：(1)＝＝.
(2)＝＝＝-.
点拨：在本例中，分式乘方时也可以先确定符号，再将分子、分母分别乘方.
例5 计算：
(1)÷·；
(2)·÷(-ab4).
分析：先算乘方，再算乘除.
解：(1)÷·
＝÷·
＝÷·
＝··＝.
(2)·÷(-ab4)
＝·÷(-ab4)
＝·÷(-ab4)
＝··＝.
点拨：(1)分式的乘方法则反过来也成立，即＝(b≠0).(2)注意运算顺序，先乘方再乘除；注意运算符号，分清负号在括号内还是在括号外.
题型三 分式的加减法运算
例6 (1)(2020·天津中考)计算的结果是( )
A. B. C.1 D.x+1
(2)(2019·浙江衢州中考)计算：+＝ .
解析：(1).
(2)+＝.
答案：(1)A (2)
例7 计算：
(1)++；
(2)-+.
分析：按照同分母分式运算法则进行计算.
解：(1)++＝＝.
(2)-+
＝
＝＝2.
点拨：同分母分式相加减时，要特别注意符号问题，分子相加减时，要把原来的分子用括号括起来，再加减.
例8 (2020·山西中考)下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务.
＝……第一步
＝……第二步
＝……第三步
＝……第四步
＝……第五步
＝……第六步
任务一：填空：
①以上化简步骤中，第 步是进行分式的通分，通分的依据是 ，或填为 .
②第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 .
任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果.
任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议.
解：任务一：①三 分式的基本性质 分式的分子分母都乘(或除以)同一个不为0的整式，分式的值不变
②五 括号前面是“-”，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号
任务二：
＝……第一步
＝……第二步
＝……第三步
＝……第四步
＝……第五步
＝……第六步.
任务三：答案不唯一，如：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程.
例9 计算：
(1)-+；(2)-+.
分析：按照异分母分式的运算法则进行计算.
解：(1)-+
＝-+
＝-+
＝＝＝.
(2)-+＝-+＝.
例10 (1)(2020·武汉中考)计算的结果是 .
(2)(湖北十堰中考)化简：++2.
分析：(1)把分母m2- n2分解为(m+n)(m-n)，确定最简公分母为(m+n)(m-n)，通分把异分母分式的加减运算转化为同分母分式的加减运算，结果化为最简分式或整式的形式.
(2)先把第一个分式的分子、分母分解因式后约分，再通分，最后根据分式的加减法法则运算即可.
(1)解析：∵ m2-n2＝(m+n)(m-n),
∴
＝
＝
答案：
(2)解：++2
＝++2
＝++2
＝++
＝
＝.
点拨：(1)异分母分式相加减，关键是通分，即找最简公分母；(2)若加减法运算中含有整式，则把整式的分母看做1.
题型四 分式的混合运算
例11 (1)(2020·湖北黄冈中考)计算的结果是 .
(2)(2019·重庆中考)计算：m-1+÷ .
(1)解析：
答案：
(2)分析：先按照除法法则进行除法运算，再进行加减运算.
解：m-1+÷
＝m-1+÷
＝m-1+·＝m-1+
＝＝＝.
题型五 分式的化简求值
例12 (2019·北京中考)如果m+n＝1，那么代数式·(m2-n2)的值为( )
A.-3 B.-1 C.1 D.3
解析：·(m2-n2)
＝·(m+n)(m-n)
＝(m+n)(m-n)＝3(m+n).
∵ m+n＝1，∴ 原式＝3×1＝3.
答案：D
例13 (2019·广东深圳中考)先化简÷ ，再将x＝-1代入求值.
分析：先把括号内的式子进行减法运算，再把除式的分母分解因式，最后利用分式的乘除法法则进行化简.
解：原式＝×＝x+2.
当x＝-1时，原式＝-1+2＝1.
点拨：对于分式求值问题，一般是先化简，再求值，即先按顺序进行计算，将分式化成最简分式或整式，再代入求值.
例14 (2019·广西桂林中考)先化简，再求值：÷-，其中x＝2+，y＝2.
分析：先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x，y的值代入计算可得.
解：原式＝×+＝+＝.
当x＝2+，y＝2时，
原式＝＝.
例15 (2019·贵州遵义中考)化简式子 ÷，并在-2，-1，0，1，2中选取一个合适的数作为a的值代入求值.
分析：将分式化简为最简分式，再选择不能使分母为0的数作为a的值代入即可.
解：原式＝÷
＝÷＝×＝.
∵ a≠-1，0，1，2，
∴ a＝-2.
当a＝-2时，原式＝1.
例16 已知x+＝5，求：
(1)x2+的值；
(2)的值.
分析：将所求式子变形为含的式子，代入计算即可.
解：(1)∵ x2+＝-2，
∴ x2+＝52-2＝23.
(2)∵ ＝x2++
＝+，
∴ 原式＝×23+＝35.
点拨：第(1)题是运用完全平方公式的变形公式a2+b2＝(a+b)2-2ab进行变形的；第(2)题是逆用同分母的分式加减法法则进行变形的，再将第(1)题的结果代入求值.
题型六 条件分式求值
对于特殊分式求值时，有时不能化简，也不能直接代入求值，需要变形转化.
例17 已知a，b，c为实数，且＝，＝，＝，求
的值.
解法1：∵ ＝，＝，＝，
∴ ＝3，＝4，＝5，
则+＝3，+＝4，+＝5.
将这三个等式两边分别相加，得
＝12，
∴ ++＝6.
∴ ＝
＝＝.
解法2：∵ ＝，＝，＝，
∴ ＝3，＝4，＝5，
∴ ++＝3+4+5＝12，
即++＝＝12，
∴ ＝6，
∴ ＝.
点拨：本题解法的巧妙之处在于先将已知条件取倒数，再进行变形，大幅度地降低了题目的难度和计算量，很巧妙地求得分式的值.
例18 已知++＝1，且x+y+z ≠0，求++的值.
解：因为x+y+z≠0，
所以原等式两边同乘(x+y+z)，得
++＝x+y+z，
即+++++ ＝x+y+z，
所以+++(x+y+z)＝x+y+z，
所以++＝0.
点拨：条件分式的求值，如需把已知条件或所求分式变形，必须依据题目自身的特点，这样才能得到事半功倍的效果.条件分式的求值问题体现了数学中的整体思想和转化思想.
例19 已知＝＝＝k，求的值.
分析：本题只要求出k的值即可得解.由已知条件可得a+b＝ck，b+c＝ak，a+c＝bk，将这三个等式两边分别相加后得到2(a+b+c)＝k(a+b+c)，再通过讨论得到k的值.
解：由已知得a+b＝ck，b+c＝ak，a+c＝bk，
三式两边分别相加，得2(a+b+c)＝k(a+b+c)，
即(2-k)(a+b+c)＝0.
所以2-k＝0或a+b+c＝0，
即k＝2或a+b+c＝0.
当a+b+c＝0时，a+b＝-c，
此时＝-1，即k＝-1.
所以k＝2或k＝-1.
当k＝2时，＝＝；
当k＝-1时，＝＝-.
点拨：在得到2(a+b+c)＝k(a+b+c)后，因为a+b+c也可能等于零，所以方程两边不能同时除以a+b+c，否则会丢解，应进行整理，用分解因式来解决.
题型七 分式运算的实际应用
例20 小明从甲地到乙地的速度是a，从乙地返回甲地的速度是b(a≠b)；小彬从甲地到乙地，又从乙地返回甲地的速度一直是.往返全程，谁用的时间短？
分析：本题是关于速度、时间、路程之间的关系的问题，先表示出小明、小彬往返的时间，然后作差比较.
解：设甲、乙两地之间的路程为s.由题意得
-2s÷＝-2s·
＝＝＝.
∵ a>0，b>0，s>0，a≠b，∴ >0.
由此可知，往返全程，小彬用的时间短.
例21 在如图15-2-1所示的电路中，已测定CAD支路的电阻是R1欧姆，又知CBD支路的电阻R2比R1大50欧姆，根据电学有关定律可知总电阻R与R1，R2满足关系式＝+，试用含R1的式子表示总电阻R.
图15-2-1
分析：并联电路是一种基本电路，并联电路总电阻R与各支路电阻R1，R2，…，Rn的关系是＝++…+ ，则由＝+得到R的表达式即可.
解：因为＝+，R2＝R1+50，
所以＝+＝+
＝，
所以R＝＝.
点拨：此题是物理中的电学知识和数学知识结合的综合题，应用分式运算规则的同时考查了物理知识.
题型八 负整数指数幂的运算
例22 计算：
(1)(a-1b2c-3)3；(2)a-2b3·(a2b-2) -3；
(3)(2ab2c-3) -2÷(a-2b)3；
(4)(3×10-5)2÷(3×10-2)2.
分析：引入负整数指数幂后，指数的取值范围就扩大到了全体整数，以前所学的正整数指数幂的运算性质，对于整数指数幂仍然适用.
解：(1)(a-1b2c-3)3＝(a-1)3(b2)3(c-3)3
＝a-3b6c-9＝.
(2)a-2b3·(a2b-2) -3＝a-2b3·a-6b6＝a-8b9＝.
(3)(2ab2c-3) -2÷(a-2b)3＝(2-2a-2b-4c6)÷(a-6b3)
＝2-2a4b-7c6＝.
(4)(3×10-5)2÷(3×10-2)2＝(9×10-10)÷(9×10-4)
＝10-6＝.
点拨：整数指数幂的运算结果一般要用正整数指数幂来表示，如(1)题中的结果得到a-3b6c-9后，还要化为.
例23 已知3m＝，＝16，求mn的值.
分析：先将变形为底数为3的幂，16变形为底数为的幂，然后确定m，n的值，最后代入求mn的值.
解：∵ 3m＝＝＝3-3，即3m＝3-3，∴ m＝-3.
又∵ ＝16＝24＝＝，
即＝，∴ n＝-4.
∴ mn＝(-3) -4＝＝.
例24 已知2-m＝，32n＝6，求23m-10n的值.
解：∵ 2-m＝(2m) -1＝，∴ 2m＝3，
∴ 23m＝(2m)3＝33＝27.
∵ 32n＝(25)n＝25n＝6，
∴ 210n＝(25n)2＝62＝36.
∴ 23m-10n＝23m+(-10n)＝23m·2-10n
＝23m·(210n) -1＝27×36-1＝27×＝.
点拨：运用负整数指数幂的意义解决这类题目时，要将已知式子两边化为同底数或同指数的形式，然后构造方程，并通过解方程确定指数或底数中的待定字母的值.
题型九 用科学记数法表示绝对值小于1的数
例25 用科学记数法表示下列各数：
(1)0.000 03；(2)0.000 000 567；(3)0.000 04；
(4)0.003 4；(5)(3×10-8)×(4×103)；
(6)(3×10-5)2×(3×10-9)2.
分析：对于小于1的正数可以用科学记数法表示为a×10-n的形式，其中1≤a<10，n为原数第1个不为0的数字前面所有0(包括小数点前面的一个0)的个数.
解：(1)0.000 03＝3×10-5.
(2)0.000 000 567＝5.67×10-7.
(3)0.000 04＝4×10-5.
(4)0.003 4＝3.4×10-3.
(5)(3×10-8)×(4×103)＝12×10-5＝1.2×10-4.
(6)(3×10-5)2×(3×10-9)2＝9×10-10×9×10-18
＝81×10-28＝8.1×10-27.
点拨：用科学记数法表示小于1的正数时，要注意小数点位置的变化，即小数点向右移了几位，10的指数就是负几.
例26 计算：
(1)(3×10-7)×(2×103)；
(2)(2×10-4)2×(5×10-3)；
(3)(6×106)÷(3×10-2)；
(4)(2×10-2)3÷(4×10-3) -2.
分析：将10看成字母a，则本题实质上就是单项式的相关运算，按照单项式和幂的运算法则进行计算.第(2)(4)小题涉及含乘方的混合运算，应当先算乘方，再算乘除.
解：(1)原式＝(3×2)×(10-7×103)＝6×10-4.
(2)原式＝(4×10-8)×(5×10-3)
＝(4×5)×(10-8×10-3)
＝20×10-11＝2×10-10.
(3)原式＝(6÷3)×106- (-2)＝2×108.
(4)原式＝(8×10-6)÷
＝128×10-12＝1.28×10-10.
点拨：(1)用科学记数法表示的数字的计算问题，其结果仍然要用科学记数法表示，例如第(2)题得到20×10-11时，20大于10，不符合科学记数法的要求，因此不能作为最后结果.(2)用科学记数法表示数字可使运算简便.
例27 微电子技术的不断进步，使半导体材料的精细加工尺寸大幅度缩小.某种电子元件的面积大约为0.000 000 53 mm2，用科学记数法表示为 m2.
解析：0.000 000 53 mm2＝5.3×10-7 mm2＝5.3×10-13 m2 (1 mm2＝10-6 m2).
答案：5.3×10-13
点拨：本题还可以先将0.000 000 53 mm2化为0.000 000 000 000 53 m2，再用科学记数法表示.
例28 一块900 mm2的芯片上能集成10亿个元件.
(1)每个这样的元件约占多少平方毫米？
(2)每个这样的元件约占多少平方米？
分析：注意面积单位、计数单位的换算：1亿＝108， 1 m2＝106 mm2.
解：(1)∵ 10亿＝10×108＝109，
＝＝9×10-7(mm2)，
∴ 每个这样的元件约占9×10-7 mm2.
(2)∵ 1 m2＝106 mm2，
∴ 9×10-7÷106＝9×10-13(m2).
∴ 每个这样的元件约占9×10-13 m2.
点拨：指数的范围由正整数扩充到整数时，幂的运算性质同样适用，负整数指数幂转化为正整数指数幂时，a-n＝(a≠0，n为正整数).
题型十 利用等式性质求分式中的待定系数
例29 若＝+，其中A，B为有理数，求A，B的值.
分析1：对等号右边的代数式进行通分，得到，进而求解.
分析2：本题除了可以利用上述方法以外，也可以利用待定系数法求解.＝+对于任意的x≠±2都成立，我们可以选取x的特殊值代入进而求解，由于本题中存在两个待定系数，因此需要选取两个x的特殊值，建立两个关于A，B的方程，联立得到关于A，B的方程组，进而求出A，B.
解法1：∵ +
＝+
＝
＝，
∴ ＝.
∴ 解得
解法2：令x＝0，则＝-+，得B-A＝1.①
令x＝1，则-＝-A+，得3A-B＝5. ②
联立①②得
点拨：这里待定系数A，B可看成未知数，x可看成已知数.
题型十一 分式的大小比较
比较分式的大小，往往通过对分式进行化简或对分式进行通分解决.方法是将它们化为分母相同或分子相同的分式来比较大小.
例30 已知a，b为实数，且ab＝1，设M＝+ ，N＝+，则M，N的大小关系是( )
A.M >N B.M＝N C.M
方法1：∵ ab＝1，∴ M＝+＝+ ＝+＝N.
方法2：∵ a b＝1，∴ M＝+＝ ＝＝，
N＝+ ＝＝，∴ M＝N.
答案：B
规律总结：分式的大小比较问题主要是通过化简或计算，对分式进行恒等变形，然后通过比较变形后的结果得出结论.有时也可以通过计算得到M-N的符号来进行判断.
题型十二 规律性问题
例31 方程 x+＝＝的解为x1＝2，x2＝；
方程 x+＝＝的解为x1＝3，x2＝；
方程 x+＝＝的解为x1＝4，x2＝.
(1)请写出第7个方程： ，它的解为x1＝ ，x2＝ ；
(2)请写出第(n-1)个方程： ，它的解为x1＝ ，x2＝ .
解析：通过观察发现第n个方程右端式子的分母是(n+1)，分子是(n+1)2+1，方程的解为
x1＝n+1，x2＝.
答案：(1)x+＝＝ 8
(2)x+＝＝n+ n
点拨：发现符号和数字的变化特点是探索此类问题的关键.
拓展资料
按遗嘱分马
传说有一位老人，他有3个儿子，老人临终前对他的3个儿子说：“我的遗产只有17匹马，我把17匹马全部分给你们.我死后，老大分一半，老二分三分之一，老三分九分之一.马是有灵性的，分马时一定不能让马受到伤害”.
老人去世后，三兄弟为按遗嘱分马的事发了愁.他们不会将17匹马按进行分配.因为17×，17×，17×都不是整数.老人还交代不能让马受到伤害.这可怎么分呀？
于是他们就去请教当地一位知名的智者.这位智者知道缘由后说：“这好办，我这里有一匹马，借给你们，等按遗嘱分完了马，再把马还给我就行了”.
老人原有17匹马，加上智者借给他们的1匹，一共18匹.于是三兄弟按照遗嘱的安排，老大分得9匹，老二分得6匹，老三分得2匹，分完后正好剩1匹，是智者借给他们的1匹，还给智者，分马难题就这样解决了.
但是，这个分配方案并不符合遗嘱的分配要求.因为9，6，2不是17的和，而是18的和.这里有一个奥秘，由可以看出，按照遗嘱并没有把全部遗产分完，还留下1-，这就给借马、还马留下了空间.因为的分子比分母小1，所以有17匹马时，再借1匹就可以完成分马任务.
如果由，我们就可以编一个“将11匹马按甲、乙、丙三人各分的分马问题”.此时借1匹马，就可以完成11匹马的分马问题.
三个不同的单位分数的和，等于一个分子比分母小1的分数的情况只有下面的7种：
，
，
，
，
，
，
.
因此，借1匹马参加分配，分配完后再将这匹马还回去的问题，只有以上7种.
如果不借马分马，老人的遗嘱还能实现吗？
老人的遗嘱实质是按∶∶的比例分配问题.
将这个连比式化简可得
∶∶＝∶∶＝9∶6∶2.
这里恰好有9+6+2＝17.可见，分给老大9匹，老二6匹，老三2匹，正好把17匹马全部分完，又符合∶∶的比例，又没伤害马匹，完全符合老人遗嘱的要求.
用数学的思维方式看待生活中的问题
——为什么少挣了20元钱
某商店新运来一批苹果，每筐重30千克，其中一级苹果每1千克卖10元钱，二级苹果每1.5千克卖10元钱.第一天两种苹果各卖了1筐，共收款500元.第二天店主为了省事，将两种苹果各1筐混合在一起，按每2.5千克苹果卖20元钱的方式出售.当她卖完这些苹果后，发现只收了480元钱，这大大出乎她的预料.然而她想了很久也没弄明白，怎么会比第一天少卖20元钱呢？
事实上，第一天所卖苹果的平均单价是
(元) ，
第二天所卖苹果的单价是＝8(元)，
这样，每卖出1千克苹果时，第二天就比第一天少得
(元).
卖出两筐苹果共少得×(30+30)＝20(元).
一般地，设有两筐不同级别的苹果，每筐质量相同，且设一级苹果每a千克卖1元，二级苹果每b千克卖1元，其中b>a.
当分开卖时，平均每千克的售价是元，
当两种苹果按质量比1∶1混合在一起卖时，若按每(a+b)千克卖2元的方式出售，则每千克的售价是元，
两种卖法每千克售价相差
＝（元）.
由于a，b为正数，且b>a，所以>0，即分开卖赚钱多，混合卖赚钱少.
15.2 分式的运算
典型例题
题型一 分式的乘除运算
例1 (1)化简-÷的结果是( )
A.-a-1 B.-a+1 C.-ab+1 D.-ab+b
(2)(2019·四川乐山中考)化简：÷ .
分析：利用分式的除法法则进行计算，能分解因式的先进行因式分解.
(1)解析：÷＝·
＝-(a-1)＝-a+1.
答案：B
(2)解：原式＝÷＝· ＝.
例2 计算：(1)·；(2)÷.
分析：利用分式乘法法则与除法法则解题，结果要化为最简分式.
解：(1)·＝-·＝-.
(2)÷＝·
＝-＝-.
点拨：分式乘除法的符号法则与有理数乘除法的符号法则相同.
例3 计算：÷·.
分析：本题中出现了分式的乘法和除法的混合运算，在运算顺序上它们属于同一级运算，没有括号时，直接从左往右运算即可.
解：÷·
＝÷·
＝··＝.
点拨：(1)运算顺序：分式的乘除混合运算要从左到右依次进行.(2)在进行分式的乘除混合运算时，分式的分子和分母能分解因式的，先分解因式，同时把除法转化成乘法，再进行分式的乘法运算.
题型二 分式的乘方
例4 计算：(1)；(2).
分析：先运用分式乘方法则，将分子、分母分别乘方，再综合运用幂的乘方和积的乘方法则计算.
解：(1)＝＝.
(2)＝＝＝-.
点拨：在本例中，分式乘方时也可以先确定符号，再将分子、分母分别乘方.
例5 计算：
(1)÷·；
(2)·÷(-ab4).
分析：先算乘方，再算乘除.
解：(1)÷·
＝÷·
＝÷·
＝··＝.
(2)·÷(-ab4)
＝·÷(-ab4)
＝·÷(-ab4)
＝··＝.
点拨：(1)分式的乘方法则反过来也成立，即＝(b≠0).(2)注意运算顺序，先乘方再乘除；注意运算符号，分清负号在括号内还是在括号外.
题型三 分式的加减法运算
例6 (1)(2020·天津中考)计算的结果是( )
A. B. C.1 D.x+1
(2)(2019·浙江衢州中考)计算：+＝ .
解析：(1).
(2)+＝.
答案：(1)A (2)
例7 计算：
(1)++；
(2)-+.
分析：按照同分母分式运算法则进行计算.
解：(1)++＝＝.
(2)-+
＝
＝＝2.
点拨：同分母分式相加减时，要特别注意符号问题，分子相加减时，要把原来的分子用括号括起来，再加减.
例8 (2020·山西中考)下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务.
＝……第一步
＝……第二步
＝……第三步
＝……第四步
＝……第五步
＝……第六步
任务一：填空：
①以上化简步骤中，第 步是进行分式的通分，通分的依据是 ，或填为 .
②第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 .
任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果.
任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议.
解：任务一：①三 分式的基本性质 分式的分子分母都乘(或除以)同一个不为0的整式，分式的值不变
②五 括号前面是“-”，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号
任务二：
＝……第一步
＝……第二步
＝……第三步
＝……第四步
＝……第五步
＝……第六步.
任务三：答案不唯一，如：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程.
例9 计算：
(1)-+；(2)-+.
分析：按照异分母分式的运算法则进行计算.
解：(1)-+
＝-+
＝-+
＝＝＝.
(2)-+＝-+＝.
例10 (1)(2020·武汉中考)计算的结果是 .
(2)(湖北十堰中考)化简：++2.
分析：(1)把分母m2- n2分解为(m+n)(m-n)，确定最简公分母为(m+n)(m-n)，通分把异分母分式的加减运算转化为同分母分式的加减运算，结果化为最简分式或整式的形式.
(2)先把第一个分式的分子、分母分解因式后约分，再通分，最后根据分式的加减法法则运算即可.
(1)解析：∵ m2-n2＝(m+n)(m-n),
∴
＝
＝
答案：
(2)解：++2
＝++2
＝++2
＝++
＝
＝.
点拨：(1)异分母分式相加减，关键是通分，即找最简公分母；(2)若加减法运算中含有整式，则把整式的分母看做1.
题型四 分式的混合运算
例11 (1)(2020·湖北黄冈中考)计算的结果是 .
(2)(2019·重庆中考)计算：m-1+÷ .
(1)解析：
答案：
(2)分析：先按照除法法则进行除法运算，再进行加减运算.
解：m-1+÷
＝m-1+÷
＝m-1+·＝m-1+
＝＝＝.
题型五 分式的化简求值
例12 (2019·北京中考)如果m+n＝1，那么代数式·(m2-n2)的值为( )
A.-3 B.-1 C.1 D.3
解析：·(m2-n2)
＝·(m+n)(m-n)
＝(m+n)(m-n)＝3(m+n).
∵ m+n＝1，∴ 原式＝3×1＝3.
答案：D
例13 (2019·广东深圳中考)先化简÷ ，再将x＝-1代入求值.
分析：先把括号内的式子进行减法运算，再把除式的分母分解因式，最后利用分式的乘除法法则进行化简.
解：原式＝×＝x+2.
当x＝-1时，原式＝-1+2＝1.
点拨：对于分式求值问题，一般是先化简，再求值，即先按顺序进行计算，将分式化成最简分式或整式，再代入求值.
例14 (2019·广西桂林中考)先化简，再求值：÷-，其中x＝2+，y＝2.
分析：先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x，y的值代入计算可得.
解：原式＝×+＝+＝.
当x＝2+，y＝2时，
原式＝＝.
例15 (2019·贵州遵义中考)化简式子 ÷，并在-2，-1，0，1，2中选取一个合适的数作为a的值代入求值.
分析：将分式化简为最简分式，再选择不能使分母为0的数作为a的值代入即可.
解：原式＝÷
＝÷＝×＝.
∵ a≠-1，0，1，2，
∴ a＝-2.
当a＝-2时，原式＝1.
例16 已知x+＝5，求：
(1)x2+的值；
(2)的值.
分析：将所求式子变形为含的式子，代入计算即可.
解：(1)∵ x2+＝-2，
∴ x2+＝52-2＝23.
(2)∵ ＝x2++
＝+，
∴ 原式＝×23+＝35.
点拨：第(1)题是运用完全平方公式的变形公式a2+b2＝(a+b)2-2ab进行变形的；第(2)题是逆用同分母的分式加减法法则进行变形的，再将第(1)题的结果代入求值.
题型六 条件分式求值
对于特殊分式求值时，有时不能化简，也不能直接代入求值，需要变形转化.
例17 已知a，b，c为实数，且＝，＝，＝，求
的值.
解法1：∵ ＝，＝，＝，
∴ ＝3，＝4，＝5，
则+＝3，+＝4，+＝5.
将这三个等式两边分别相加，得
＝12，
∴ ++＝6.
∴ ＝
＝＝.
解法2：∵ ＝，＝，＝，
∴ ＝3，＝4，＝5，
∴ ++＝3+4+5＝12，
即++＝＝12，
∴ ＝6，
∴ ＝.
点拨：本题解法的巧妙之处在于先将已知条件取倒数，再进行变形，大幅度地降低了题目的难度和计算量，很巧妙地求得分式的值.
例18 已知++＝1，且x+y+z ≠0，求++的值.
解：因为x+y+z≠0，
所以原等式两边同乘(x+y+z)，得
++＝x+y+z，
即+++++ ＝x+y+z，
所以+++(x+y+z)＝x+y+z，
所以++＝0.
点拨：条件分式的求值，如需把已知条件或所求分式变形，必须依据题目自身的特点，这样才能得到事半功倍的效果.条件分式的求值问题体现了数学中的整体思想和转化思想.
例19 已知＝＝＝k，求的值.
分析：本题只要求出k的值即可得解.由已知条件可得a+b＝ck，b+c＝ak，a+c＝bk，将这三个等式两边分别相加后得到2(a+b+c)＝k(a+b+c)，再通过讨论得到k的值.
解：由已知得a+b＝ck，b+c＝ak，a+c＝bk，
三式两边分别相加，得2(a+b+c)＝k(a+b+c)，
即(2-k)(a+b+c)＝0.
所以2-k＝0或a+b+c＝0，
即k＝2或a+b+c＝0.
当a+b+c＝0时，a+b＝-c，
此时＝-1，即k＝-1.
所以k＝2或k＝-1.
当k＝2时，＝＝；
当k＝-1时，＝＝-.
点拨：在得到2(a+b+c)＝k(a+b+c)后，因为a+b+c也可能等于零，所以方程两边不能同时除以a+b+c，否则会丢解，应进行整理，用分解因式来解决.
题型七 分式运算的实际应用
例20 小明从甲地到乙地的速度是a，从乙地返回甲地的速度是b(a≠b)；小彬从甲地到乙地，又从乙地返回甲地的速度一直是.往返全程，谁用的时间短？
分析：本题是关于速度、时间、路程之间的关系的问题，先表示出小明、小彬往返的时间，然后作差比较.
解：设甲、乙两地之间的路程为s.由题意得
-2s÷＝-2s·
＝＝＝.
∵ a>0，b>0，s>0，a≠b，∴ >0.
由此可知，往返全程，小彬用的时间短.
例21 在如图15-2-1所示的电路中，已测定CAD支路的电阻是R1欧姆，又知CBD支路的电阻R2比R1大50欧姆，根据电学有关定律可知总电阻R与R1，R2满足关系式＝+，试用含R1的式子表示总电阻R.
图15-2-1
分析：并联电路是一种基本电路，并联电路总电阻R与各支路电阻R1，R2，…，Rn的关系是＝++…+ ，则由＝+得到R的表达式即可.
解：因为＝+，R2＝R1+50，
所以＝+＝+
＝，
所以R＝＝.
点拨：此题是物理中的电学知识和数学知识结合的综合题，应用分式运算规则的同时考查了物理知识.
题型八 负整数指数幂的运算
例22 计算：
(1)(a-1b2c-3)3；(2)a-2b3·(a2b-2) -3；
(3)(2ab2c-3) -2÷(a-2b)3；
(4)(3×10-5)2÷(3×10-2)2.
分析：引入负整数指数幂后，指数的取值范围就扩大到了全体整数，以前所学的正整数指数幂的运算性质，对于整数指数幂仍然适用.
解：(1)(a-1b2c-3)3＝(a-1)3(b2)3(c-3)3
＝a-3b6c-9＝.
(2)a-2b3·(a2b-2) -3＝a-2b3·a-6b6＝a-8b9＝.
(3)(2ab2c-3) -2÷(a-2b)3＝(2-2a-2b-4c6)÷(a-6b3)
＝2-2a4b-7c6＝.
(4)(3×10-5)2÷(3×10-2)2＝(9×10-10)÷(9×10-4)
＝10-6＝.
点拨：整数指数幂的运算结果一般要用正整数指数幂来表示，如(1)题中的结果得到a-3b6c-9后，还要化为.
例23 已知3m＝，＝16，求mn的值.
分析：先将变形为底数为3的幂，16变形为底数为的幂，然后确定m，n的值，最后代入求mn的值.
解：∵ 3m＝＝＝3-3，即3m＝3-3，∴ m＝-3.
又∵ ＝16＝24＝＝，
即＝，∴ n＝-4.
∴ mn＝(-3) -4＝＝.
例24 已知2-m＝，32n＝6，求23m-10n的值.
解：∵ 2-m＝(2m) -1＝，∴ 2m＝3，
∴ 23m＝(2m)3＝33＝27.
∵ 32n＝(25)n＝25n＝6，
∴ 210n＝(25n)2＝62＝36.
∴ 23m-10n＝23m+(-10n)＝23m·2-10n
＝23m·(210n) -1＝27×36-1＝27×＝.
点拨：运用负整数指数幂的意义解决这类题目时，要将已知式子两边化为同底数或同指数的形式，然后构造方程，并通过解方程确定指数或底数中的待定字母的值.
题型九 用科学记数法表示绝对值小于1的数
例25 用科学记数法表示下列各数：
(1)0.000 03；(2)0.000 000 567；(3)0.000 04；
(4)0.003 4；(5)(3×10-8)×(4×103)；
(6)(3×10-5)2×(3×10-9)2.
分析：对于小于1的正数可以用科学记数法表示为a×10-n的形式，其中1≤a<10，n为原数第1个不为0的数字前面所有0(包括小数点前面的一个0)的个数.
解：(1)0.000 03＝3×10-5.
(2)0.000 000 567＝5.67×10-7.
(3)0.000 04＝4×10-5.
(4)0.003 4＝3.4×10-3.
(5)(3×10-8)×(4×103)＝12×10-5＝1.2×10-4.
(6)(3×10-5)2×(3×10-9)2＝9×10-10×9×10-18
＝81×10-28＝8.1×10-27.
点拨：用科学记数法表示小于1的正数时，要注意小数点位置的变化，即小数点向右移了几位，10的指数就是负几.
例26 计算：
(1)(3×10-7)×(2×103)；
(2)(2×10-4)2×(5×10-3)；
(3)(6×106)÷(3×10-2)；
(4)(2×10-2)3÷(4×10-3) -2.
分析：将10看成字母a，则本题实质上就是单项式的相关运算，按照单项式和幂的运算法则进行计算.第(2)(4)小题涉及含乘方的混合运算，应当先算乘方，再算乘除.
解：(1)原式＝(3×2)×(10-7×103)＝6×10-4.
(2)原式＝(4×10-8)×(5×10-3)
＝(4×5)×(10-8×10-3)
＝20×10-11＝2×10-10.
(3)原式＝(6÷3)×106- (-2)＝2×108.
(4)原式＝(8×10-6)÷
＝128×10-12＝1.28×10-10.
点拨：(1)用科学记数法表示的数字的计算问题，其结果仍然要用科学记数法表示，例如第(2)题得到20×10-11时，20大于10，不符合科学记数法的要求，因此不能作为最后结果.(2)用科学记数法表示数字可使运算简便.
例27 微电子技术的不断进步，使半导体材料的精细加工尺寸大幅度缩小.某种电子元件的面积大约为0.000 000 53 mm2，用科学记数法表示为 m2.
解析：0.000 000 53 mm2＝5.3×10-7 mm2＝5.3×10-13 m2 (1 mm2＝10-6 m2).
答案：5.3×10-13
点拨：本题还可以先将0.000 000 53 mm2化为0.000 000 000 000 53 m2，再用科学记数法表示.
例28 一块900 mm2的芯片上能集成10亿个元件.
(1)每个这样的元件约占多少平方毫米？
(2)每个这样的元件约占多少平方米？
分析：注意面积单位、计数单位的换算：1亿＝108， 1 m2＝106 mm2.
解：(1)∵ 10亿＝10×108＝109，
＝＝9×10-7(mm2)，
∴ 每个这样的元件约占9×10-7 mm2.
(2)∵ 1 m2＝106 mm2，
∴ 9×10-7÷106＝9×10-13(m2).
∴ 每个这样的元件约占9×10-13 m2.
点拨：指数的范围由正整数扩充到整数时，幂的运算性质同样适用，负整数指数幂转化为正整数指数幂时，a-n＝(a≠0，n为正整数).
题型十 利用等式性质求分式中的待定系数
例29 若＝+，其中A，B为有理数，求A，B的值.
分析1：对等号右边的代数式进行通分，得到，进而求解.
分析2：本题除了可以利用上述方法以外，也可以利用待定系数法求解.＝+对于任意的x≠±2都成立，我们可以选取x的特殊值代入进而求解，由于本题中存在两个待定系数，因此需要选取两个x的特殊值，建立两个关于A，B的方程，联立得到关于A，B的方程组，进而求出A，B.
解法1：∵ +
＝+
＝
＝，
∴ ＝.
∴ 解得
解法2：令x＝0，则＝-+，得B-A＝1.①
令x＝1，则-＝-A+，得3A-B＝5. ②
联立①②得
点拨：这里待定系数A，B可看成未知数，x可看成已知数.
题型十一 分式的大小比较
比较分式的大小，往往通过对分式进行化简或对分式进行通分解决.方法是将它们化为分母相同或分子相同的分式来比较大小.
例30 已知a，b为实数，且ab＝1，设M＝+ ，N＝+，则M，N的大小关系是( )
A.M >N B.M＝N C.M
方法1：∵ ab＝1，∴ M＝+＝+ ＝+＝N.
方法2：∵ a b＝1，∴ M＝+＝ ＝＝，
N＝+ ＝＝，∴ M＝N.
答案：B
规律总结：分式的大小比较问题主要是通过化简或计算，对分式进行恒等变形，然后通过比较变形后的结果得出结论.有时也可以通过计算得到M-N的符号来进行判断.
题型十二 规律性问题
例31 方程 x+＝＝的解为x1＝2，x2＝；
方程 x+＝＝的解为x1＝3，x2＝；
方程 x+＝＝的解为x1＝4，x2＝.
(1)请写出第7个方程： ，它的解为x1＝ ，x2＝ ；
(2)请写出第(n-1)个方程： ，它的解为x1＝ ，x2＝ .
解析：通过观察发现第n个方程右端式子的分母是(n+1)，分子是(n+1)2+1，方程的解为
x1＝n+1，x2＝.
答案：(1)x+＝＝ 8
(2)x+＝＝n+ n
点拨：发现符号和数字的变化特点是探索此类问题的关键.
拓展资料
按遗嘱分马
传说有一位老人，他有3个儿子，老人临终前对他的3个儿子说：“我的遗产只有17匹马，我把17匹马全部分给你们.我死后，老大分一半，老二分三分之一，老三分九分之一.马是有灵性的，分马时一定不能让马受到伤害”.
老人去世后，三兄弟为按遗嘱分马的事发了愁.他们不会将17匹马按进行分配.因为17×，17×，17×都不是整数.老人还交代不能让马受到伤害.这可怎么分呀？
于是他们就去请教当地一位知名的智者.这位智者知道缘由后说：“这好办，我这里有一匹马，借给你们，等按遗嘱分完了马，再把马还给我就行了”.
老人原有17匹马，加上智者借给他们的1匹，一共18匹.于是三兄弟按照遗嘱的安排，老大分得9匹，老二分得6匹，老三分得2匹，分完后正好剩1匹，是智者借给他们的1匹，还给智者，分马难题就这样解决了.
但是，这个分配方案并不符合遗嘱的分配要求.因为9，6，2不是17的和，而是18的和.这里有一个奥秘，由可以看出，按照遗嘱并没有把全部遗产分完，还留下1-，这就给借马、还马留下了空间.因为的分子比分母小1，所以有17匹马时，再借1匹就可以完成分马任务.
如果由，我们就可以编一个“将11匹马按甲、乙、丙三人各分的分马问题”.此时借1匹马，就可以完成11匹马的分马问题.
三个不同的单位分数的和，等于一个分子比分母小1的分数的情况只有下面的7种：
，
，
，
，
，
，
.
因此，借1匹马参加分配，分配完后再将这匹马还回去的问题，只有以上7种.
如果不借马分马，老人的遗嘱还能实现吗？
老人的遗嘱实质是按∶∶的比例分配问题.
将这个连比式化简可得
∶∶＝∶∶＝9∶6∶2.
这里恰好有9+6+2＝17.可见，分给老大9匹，老二6匹，老三2匹，正好把17匹马全部分完，又符合∶∶的比例，又没伤害马匹，完全符合老人遗嘱的要求.
用数学的思维方式看待生活中的问题
——为什么少挣了20元钱
某商店新运来一批苹果，每筐重30千克，其中一级苹果每1千克卖10元钱，二级苹果每1.5千克卖10元钱.第一天两种苹果各卖了1筐，共收款500元.第二天店主为了省事，将两种苹果各1筐混合在一起，按每2.5千克苹果卖20元钱的方式出售.当她卖完这些苹果后，发现只收了480元钱，这大大出乎她的预料.然而她想了很久也没弄明白，怎么会比第一天少卖20元钱呢？
事实上，第一天所卖苹果的平均单价是
(元) ，
第二天所卖苹果的单价是＝8(元)，
这样，每卖出1千克苹果时，第二天就比第一天少得
(元).
卖出两筐苹果共少得×(30+30)＝20(元).
一般地，设有两筐不同级别的苹果，每筐质量相同，且设一级苹果每a千克卖1元，二级苹果每b千克卖1元，其中b>a.
当分开卖时，平均每千克的售价是元，
当两种苹果按质量比1∶1混合在一起卖时，若按每(a+b)千克卖2元的方式出售，则每千克的售价是元，
两种卖法每千克售价相差
＝（元）.
由于a，b为正数，且b>a，所以>0，即分开卖赚钱多，混合卖赚钱少.
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