北师大版八年级数学下册第一章 三角形的证明解答题（提升题） 培优练（含解析）

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三角形的证明解答题（提升题）
北师大版八年级数学下册培优练

一、解答题
1．（2022秋·北京海淀·八年级统考期末）在中，，D为BC延长线上一点，点E为线段AC，CD的垂直平分线的交点，连接EA，EC，ED．

（1）如图1，当时，则_______°；
（2）当时，
①如图2，连接AD，判断的形状，并证明；
②如图3，直线CF与ED交于点F，满足．P为直线CF上一动点．当的值最大时，用等式表示PE，PD与AB之间的数量关系为_______，并证明．
2．（2022秋·北京西城·八年级统考期末）对于面积为S的三角形和直线l，将该三角形沿直线l折叠，重合部分的图形面积记为，定义为该三角形关于直线l的对称度．如图，将面积为S的ABC沿直线l折叠，重合部分的图形为，将的面积记为，则称为ABC关于直线l的对称度．

在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，B(－3，0)，C(3，0)．
（1）过点M(m，0)作垂直于x轴的直线，
①当时，ABC关于直线的对称度的值是 ：
②若ABC关于直线的对称度为1，则m的值是 ．
（2）过点N(0，n)作垂直于y轴的直线，求△ABC关于直线的对称度的最大值．
（3）点P(－4，0)满足，点Q的坐标为(t，0)，若存在直线，使得APQ关于该直线的对称度为1，写出所有满足题意的整数t的值．
3．（2022秋·北京石景山·八年级统考期末）点P为等边的边AB延长线上的动点，点B关于直线PC的对称点为D，连接AD．

（1）如图1，若，依题意补全图形，并直接写出线段AD的长度；
（2）如图2，线段AD交PC于点E，
①设，求的度数；
②求证：．
4．（2022秋·北京昌平·八年级统考期末）若△ABC和△ADE均为等腰三角形，且AB＝AC＝AD＝AE，当∠ABC和∠ADE互余时，称△ABC与△ADE互为“底余等腰三角形”，△ABC的边BC上的高AH叫做△ADE的“余高”．

（1）如图1，△ABC与△ADE互为“底余等腰三角形”．
①若连接BD，CE，判断△ABD与△ACE是否互为“底余等腰三角形”：_______ （填“是”或“否”） ；
②当∠BAC＝90°时，若△ADE的“余高”AH＝，则DE＝_______；
③当0°＜∠BAC＜180°时，判断DE与AH之间的数量关系，并证明；
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝60°，DA⊥BA，DC⊥BC，且DA＝DC．
①画出△OAB与△OCD，使它们互为“底余等腰三角形”；
②若△OCD的“余高”长为a，则点A到BC的距离为_______（用含a的式子表示）．
5．（2022秋·北京大兴·八年级统考期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点P给出如下定义：点P到图形上各点的最短距离为，点P到图形上各点的最短距离为，若，就称点P是图形和图形的一个“等距点”．
已知点，．
（1）在点，，中，______是点A和点O的“等距点”；
（2）在点，，中，______是线段OA和OB的“等距点”；
（3）点为x轴上一点，点P既是点A和点C的“等距点”，又是线段OA和OB的“等距点”．
①当时，是否存在满足条件的点P，如果存在请求出满足条件的点P的坐标，如果不存在请说明理由；
②若点P在内，请直接写出满足条件的m的取值范围．
6．（2022秋·北京昌平·九年级统考期末）已知∠POQ=120°，点A，B分别在OP，OQ上，OA＜OB，连接AB，在AB上方作等边△ABC，点D是BO延长线上一点，且AB=AD，连接AD
（1）补全图形；
（2）连接OC，求证：∠COP=∠COQ；
（3）连接CD，CD交OP于点F，请你写出一个∠DAB的值，使CD=OB+OC一定成立，并证明


7．（2022秋·北京房山·八年级统考期末）如图，，点C、D分别在射线OA、OB上，且满足．将线段DC绕点D顺时针旋转60°，得到线段DE．过点E作OC的平行线，交OB反向延长线于点F．
（1）根据题意完成作图；
（2）猜想DF的长并证明；
（3）若点M在射线OC上，且满足，直接写出线段ME的最小值．

8．（2022春·北京大兴·八年级统考期末）对于平面直角坐标系xOy中的点P和四边形OABC，给出如下定义：若在四边形OABC上存在一点Q，使得P，Q两点间的距离小于或等于1，则称P为四边形OABC的“关联点”．
如图，已知点，，．

(1)在点，，中，四边形OABC的关联点是______；
(2)点G为直线上一点．
①若直线过点，点G是四边形OABC的关联点，求点G的横坐标的取值范围；
②若直线上，不存在点G是四边形OABC的关联点，直接写出k的取值范围．
9．（2022秋·北京海淀·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，点，分别在线段，上，如果存在点使得且(点，，逆时针排列)，则称点是线段的“关联点”如图1．点是线段的“关联点”．

(1)如图2，已知点，，点与点重合．
①当点是线段中点时，在，中，其中是线段的“关联点”的是___________；
②已知点是线段的“关联点”，则点的坐标是_______________．
(2)如图3，已知，．

①当点与点重合，点在线段上运动时(点不与点重合)，若点是线段的“关联点”，求证：；
②当点，分别在线段，上运动时，直接写出线段的“关联点”形成的区域的周长．
10．（2022秋·北京怀柔·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，已知点，直线l是过点M且垂直于y轴的直线，点关于直线l的轴对称点Q，连接，过Q作垂直于y轴的直线与射线交于点，则称为P点的M中心对称点．

(1)如图1，当，时Q点坐标为____________，点坐标为____________；
(2)若P点的M中心对称点为，，则____________，P点的坐标为____________；
(3)在（1）中，在内部（不含边界）存在点N，使点N到和的距离相等，则N点横坐标n的取值范围是___________．
11．（2022秋·北京丰台·八年级期末）在平面中，对于点，，，若，且，则称点是点和点的“垂等点”．在平面直角坐标系中，

(1)已知点，点，则点，，中是点和点的“垂等点”的是_______；
(2)已知点，．
①若在第二象限内存在点，使得点是点和点的”垂等点”，写出点的坐标（用含的式子表示），并说明理由；
②当时，点，点是线段，上的动点（点，点不与点，，重合）．若点是点和点的”垂等点”，直接写出点的纵坐标的取值范围．
12．（2022秋·北京怀柔·八年级统考期末）康康同学在研究等边三角形，如图1，已知是等边三角形，D为边的中点，E为中线上一点（E不可取A点，可取D点），点E关于直线的对称点是点F．连接，，．

(1)①在图1中补全图形；
②他发现E点在中线上运动时，是一种特殊三角形．
请你回答是 三角形；
③利用图1证明这个结论．
(2)康康同学发现当E点在中线上运动时，的长度也有规律的变化．当为最大值时，在图2中画出点F，并连接与交于点P．
①按要求画出图形；
②在上存在一点Q，使的值最小，猜想这最小值____________（填>，<，=）；
③证明②的结论．
(3)在边上存在一点M，同时满足的值最大且的值最小，则此时与的数量关系是____________．

参考答案：
1．（1）80；（2）是等边三角形；（3）．
【分析】（1）根据垂直平分线性质可知，再结合等腰三角形性质可得，，利用平角定义和四边形内角和定理可得，由此求解即可；
（2）根据（1）的结论求出即可证明是等边三角形；
（3）根据利用对称和三角形两边之差小于第三边，找到当的值最大时的P点位置，再证明对称点与AD两点构成三角形为等边三角形，利用旋转全等模型即可证明，从而可知，再根据30°直角三角形性质可知即可得出结论．
【详解】解：（1）∵点E为线段AC，CD的垂直平 分线的交点，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）①结论：是等边三角形．
证明：∵在中，，，
∴，
由（1）得：，，
∴是等边三角形．
②结论：．
证明：如解图1，取D点关于直线AF的对称点，连接、；

∴，
∵，等号仅P、E、三点在一条直线上成立，
如解图2，P、E、三点在一条直线上，

由（1）得：，
又∵，
∴，
又∵，，
∴，
∵点D、点是关于直线AF的对称点，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴（SAS）
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形、等边三角形的性质和判定，全等三角形性质和判定等知识点，解题关键是利用对称将转化为三角形三边关系找到P的位置，并证明对称点与AD两点构成三角形为等边三角形．
2．（1）①；②0；（2）；（3）4或1或-9
【分析】（1）①作图，求出，再根据定义求值即可；②通过数形结合的思想即可得到；
（2）根据求△ABC关于直线的对称度的最大值，即是求最大值即可；
（3）存在直线，使得APQ关于该直线的对称度为1，即转变为APQ是等腰三角形，需要分类进行讨论，分；；，同时需要满足t的值为整数．
【详解】解：（1）①当时，根据题意作图如下：

，
为等腰直角三角形，
，
，
根据折叠的性质，
，
，
关于直线的对称度的值是：，
故答案是：；
②如图：

根据等腰三角形的性质，当时，有
,
ABC关于直线的对称度为1，
故答案是：0；
（2）过点N(0，n)作垂直于y轴的直线，要使得△ABC关于直线的对称度的最大值，
则需要使得最大，如下图：

当时，取到最大，
根据，可得为的中位线，
，
，
△ABC关于直线的对称度的最大值为：；
（3）若存在直线，使得APQ关于该直线的对称度为1，
即为等腰三角形即可，
①当时，为等腰三角形，如下图：

，
；
②当时，为等腰三角形，当Q在P右侧时，如下图：

，
；
同理，当Q在P左侧时，t=-9
③当时，为等腰三角形，如下图：

设，则，
根据勾股定理：，
，
解得：，
（不是整数，舍去），
综上：满足题意的整数的值为：4或1或-9．
【点睛】本题考查了三角形的折叠，对称类新概念问题、等腰三角形的性质、勾股定理，解题的关键是读懂题干信息，搞懂对称度的概念，再结合数形结合及分类讨论的思想进行求解．
3．（1）．（2）①；②证明见解析．
【分析】（1）连接DP，BD，可证明△BPD为等边三角形，再结合等腰三角形的性质和三角形外角的性质证明∠BAD=∠BDA=30°，可得∠ADP=90°，利用勾股定理即可得出结论；
（2）①连接BD与CP交于F，连接DC，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得和，从而可求得，根据轴对称图形对应点连接线段被对称轴垂直平分、三角形内角和定理、对顶角相等可求得的度数；②连接BE，在AE上截取GE=CE，可证明△GCE为等边三角形和△ACG≌△BCE，结合等量代换即可证明结论．
【详解】解：（1）补全图形如下，连接DP，BD，

∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=60°，AB=BC=2，
又∵∠BCP+∠BPC=∠ABC=60°，BC=BP，
∴∠BCP=∠BPC=30°，
∵点B关于直线PC的对称点为D，
∴BP=DP，∠BPC=∠DPC=30°，
∴∠BPD=60°，△BPD为等边三角形，
∴∠DBP=60°，DP=BD=BP=AB=2,
∴∠BAD=∠BDA，
又∵∠BAD+∠BDA=∠DBP=60°，
∴∠BAD=∠BDA=30°，
∴∠ADP=90°，
∴．
（2）①如下图所示，连接BD与CP交于F，连接DC，

由（1）可知∠ACB=60°，AC=BC，
∵点B关于直线PC的对称点为D，
∴BC=CD=AC，，∠CFD=90°，
∴,
,
∴，
∴，
②如下图，连接BE，在AE上截取GE=CE，
由①得，
∵GE=CE，
∴△GCE为等边三角形，
∴GC=CE,∠GCE=60°，
由（1）得∠ACB=60°，AC=BC，
∴∠ACG=∠BCE=60°-∠BCG，
在△ACG和△BCE中
∵,
∴△ACG≌△BCE（SAS）
∴AG=BE，
∵点B关于直线PC的对称点为D，
∴BE=DE，
∴．

【点睛】本题考查轴对称的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，三角形外角和内角的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等．（1）中能正确构造直角三角形并证明是解题关键；（2）①中掌握等边对等角定理，并能利用三角形内角和定理表示等腰三角形的底角是解题关键；③中掌握割补法是解题关键．
4．（1）①是；②；③；见解析；（2）①见解析；②
【分析】（1）①连接BD、CE，根据四边形内角和为360°，求出，即可得出答案；
②当时，是等腰直角三角形，故，求出AB，由此可知，，得出是等腰直角三角形，故可求出DE；
③过点A作交DE于点F，故，，推出，根据AAS证明，由全等三角形的性质得，即可求出DE与AH的关系；
（2）①连接BD，取BD中点为点O，连接AO、CO即可；
②过点O作交于点M，过点A作交于点N，故，由得出，求出，，推出，在中由勾股定理即可求出AN．
【详解】（1）

①如图1，连接BD、CE，
∵，
∴，，，，
∵，
∴，
∵四边形BCDE的内角和为360°，
∴，
∴与互为“底余等腰三角形”，
故答案为：是；
②当时，是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，，
∵与互为“底余等腰三角形”，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
故答案为：；
③过点A作交DE于点F，故，，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）

①如图2，连接BD，取BD中点为点O，连接AO、CO，
∵，，
∴，都是直角三角形，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
，
∴，
∴所作图形能使与互为“底余等腰三角形”；
②过点O作交于点M，过点A作交于点N，故，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
在中，，,
∴，
∴，，
故答案为：．
【点睛】本题考查几何图形的综合应用，主要涉及到全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、多边形的内角和、直角三角形的性质以及勾股定理等，掌握“底余等腰三角形”的定义是解题的关键．
5．（1）点E；（2）点H；（3）①存在，点P的坐标为（7，7）；②
【分析】（1）根据“等距点”的定义，即可求解；
（2）根据“等距点”的定义，即可求解；
（3）①根据点P是线段OA和OB的“等距点”，可设点P（x，x）且x＞0，再由点P是点A和点C的“等距点”，可得 ，从而得到 ，即可求解；
②根据点P是线段OA和OB的“等距点”， 点P在∠AOB的角平分线上，可设点P（a，a）且a＞0，根据OA=OB，可得OP平分线段AB，再由点P在内，可得 ，根据点P是点A和点C的“等距点”，可得 ，从而得到，整理得到，即可求解．
【详解】解：（1）根据题意得： ， ， ，
， ， ，
∴ ，
∴点是点A和点O的“等距点”；
（2）根据题意得：线段OA在x轴上，线段OB在y轴上，
∴点到线段OA的距离为1，到线段OB的距离为2，
点到线段OA的距离为2，到线段OB的距离为2，
点到线段OA的距离为6，到线段OB的距离为3，
∴点到线段OA的距离和到线段OB的距离相等，
∴点是线段OA和OB的“等距点”；
（3）①存在，点P的坐标为（7，7），理由如下：
∵点P是线段OA和OB的“等距点”，且线段OA在x轴上，线段OB在y轴上，
∴可设点P（x，x）且x＞0，
∵点P是点A和点C的“等距点”，
∴ ，
∵点C（8，0），，
∴ ，
解得： ，
∴点P的坐标为（7，7）；
②如图，

∵点P是线段OA和OB的“等距点”，且线段OA在x轴上，线段OB在y轴上，
∴点P在∠AOB的角平分线上，
可设点P（a，a）且a＞0，
∵，．
∴OA=OB=6，
∴OP平分线段AB，
∵点P在内，
∴当点P位于AB上时， 此时点P为AB的中点，
∴此时点P的坐标为 ，即 ，
∴ ，
∵点P是点A和点C的“等距点”，
∴ ，
∵点，，
∴，
整理得： ，
当 时，点C（6，0），
此时点C、A重合，则a=6（不合题意，舍去），
当时， ，
∴，解得： ，
即若点P在内，满足条件的m的取值范围为．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内两点间的距离，点到坐标轴的距离，等腰三角形的性质，角平分线的判定等知识，理解新定义，利用数形结合思想解答是解题的关键．
6．（1）见解析；（2）见解析；（3）∠DAB=150°，见解析
【分析】（1）依据题意作出相应图形即可；
（2）在BQ上截取BE=AO，连接CE，由等边三角形的性质得，CA=CB，∠ACB=60°
由同角的补角相等得∠CAO=∠CBE，由SAS证得△CAO和△CBE全等，即可得证；
（3）由∠DAB=150°， DA=AB，得∠ADB=∠ABD=15°，由等边三角形性质，可得∠CAB=∠CBA=∠ACB =60°，故∠CAD=150°，由等边对等角得∠ADC=∠ACD=15°，由此∠DBC=∠DCB=75°，由等角对等边得DB=DC  再由∠POQ=120°，∠BDC=30°，得∠DFO=90°，等量代换即可得证.
【详解】解：（1）如图所示：

（2）证明如下：
在BQ上截取BE=AO，连接CE，

∵△ABC为等边三角形，
∴CA=CB，∠ACB=60°
∵∠POQ=120°，
∴∠CAO+∠CBO=180°
∵∠CBO+∠CBE=180°，
∴∠CAO=∠CBE，
在△CAO和△CBE中，，
∴△CAO≌△CBE（SAS），
∴CO=CE，∠COA=∠CEB，
∴∠COE=∠CEB，
∴∠COP=∠COQ；
（3）∠DAB=150°，
如图：

∵∠DAB=150°， DA=AB，
∴∠ADB=∠ABD=15°
∵△ABC为等边三角形，
∴∠CAB=∠CBA=∠ACB =60°，
∴∠CAD=150°，
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD=15°，
∴∠DBC=∠DCB=75°，
∴DB=DC，
∵∠POQ=120°，∠BDC=30°，
∴∠DFO=90°
∵AD=AC，
∴DF=FC
∴DO=OC
∵DB=DO+OB，
∴DB=CO+OB，
∴CD= OB + OC.
【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，以及添加辅助线构造全等三角形，掌握相应的判定和性质是解答此题的关键.
7．（1）见解析；（2），证明见解析；（3）
【分析】（1）根据题意作出图形即可；
（2）在OB上截取，连接CP、CE、OE，得出、是等边三角形，根据SAS证明，由全等三角形的性质和平行线的性质得是等边三角形，可得即可；
（3）过点M作，连接，作等边，即当点E到点时，ME得最小值，由得，故可求出、，即可得出ME的最小值．
【详解】（1）根据题意作图如下所示：

（2），证明如下：

如图，在OB上截取，连接CP、CE、OE．
∵,，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
（3）

如图，过点M作，连接，作等边，即当点E到点时，ME得最小值，
∵，
∴，
∴，，
故ME的最小值为．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，掌握相关知识点的应用是解题的关键．
8．(1)D，E
(2)①；②或

【分析】（1）分别判断点D到线段AO的垂线的长度、点E到线段BC的垂线的长度、点F到线段AB的垂线的长度是否小于或等于1，即可得到答案；
（2）①先通过点D的坐标计算出的到直线的解析式，再证明四边形OAFE是矩形、是等边三角形从而计算出点E、F的坐标，从而得到点G的横坐标的取值范围；
②计算出直线OC的解析式，将直线OC沿着垂直OC的方向向下平移1得到直线，通过在直线与的夹角范围外不存在四边形OABC的关联点，得到k的取值范围．
(1)
解：如下图所示，过点A作轴，垂足为M；过点D作，垂足为N；
过点F作垂足为H，过点F作轴，垂足为K，过点H作轴，B并交于点J；
过点E作垂足为G，过点C作轴，过点B作轴，、交于点P，过点E做轴，交于点L；

由题意得，，，,
∴；,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴点D是四边形OABC的关联点,
∵，，，，
∴,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴点E是四边形OABC的关联点；
∵，
∴
∵
∴点F是四边不是形OABC的关联点；
故答案为：D，E；
(2)
①∵直线过点，
∴，得．
∴直线，
∴直线与x轴的交点．
∵，
∴直线OA的解析式是，
∴，
分别过点O，点A作直线l的垂线，垂足分别为E，F，
∴，
∴四边形OAFE是平行四边形，
∵，
∴，
∴平行四边形OAFE是矩形，
∴，

∵，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴由平移可知．
∵点G是四边形OABC的关联点，
∴点G在线段EF上，
∴，
②∵，
∴直线OC的解析式是，
如下图所示，将直线OC沿着垂直OC的方向向下平移1得到直线，
在直线与的夹角范围外，不存在四边形OABC的关联点，

∴或．
【点睛】本题考查直角坐标系、一次函数、直角三角形、等边三角形的性质，熟知一次函数平移的相关知识是解本题的关键．
9．(1)①；②
(2)①证明过程见详解；②

【分析】（1）①点与点重合，则点，点是线段中点，则，根据“关联点”的定义，即可求解；
②点，“关联点”点，根据“关联点”的定义，即可求解；
（2）①证明，推出，可得结论；
②分别证明M在平行于OA的直线上和平行于x轴的直线上运动，当P、Q分别于A、B重合时，四边形是平行四边形，进而可证四边形是菱形，然后找出线段的“关联点”形成的区域求解即可．
【详解】（1）解：①点，，点与点重合，点是线段中点，
∴，，
∴，
根据“关联点”的定义可知，且(点，，逆时针排列)，
如图所示，连接，作线段的垂直平分线，且点，点，

∴，点，，在一条直线上，不满足，故点不是线段的“关联点”；
∵，，，
∴，且，，
∴，，
∴点是线段的“关联点”，
故答案为：；
②∵点，“关联点”点，
∴，且，
使得，连接，，，如图所示，

∴点，“关联点”点，则点的坐标为，即点与点重合，
故答案为：．
（2）解：①如图中，

∵，
∴是等边三角形，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②如图，

过上点Q作交于P，则是等边三角形，
同①可证，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
如图，当点，分别在线段，上运动时，线段的“关联点”形成的区域是边长为4的菱形．

∴当点P，Q分别在线段，上运动时，线段的“关联点”M形成的区域的周长为16．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中动点与图像变换的综合，掌握“关联点”的定义，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，等边三角形的性质是解题的关键．
10．(1)；
(2)或；或
(3)

【分析】（1）根据，，先求出点Q的坐标，证明，得出，即，得出，即可得出答案；
（2）分两种情况进行讨论，分别作出图形，求出m的值和点P的坐标即可；
（3）连接，证明为的平分线，根据角平分线的性质可知，点N在上，求出n的取值范围即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴直线l为，
∵P与Q关系直线l对称，
∴点Q的坐标为，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标为；
故答案为：；．

（2）解：如图，当点M在点上方时，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴P的坐标为；

如图，当点M在点下方时，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴P的坐标为；

综上分析可知，或，点P的坐标为：或．
故答案为：或；或．
（3）解：连接，如图所示：

∵，，
∴，
根据解析（1）可知，，
∴平分，
∴点N一定在上，
∴N点横坐标n的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，角平分线的性质，轴对称的性质，解题的关键是根据题意作出图形，注意分类讨论．
11．(1)点，；
(2)①点的坐标为，理由见解析；②的纵坐标的取值范围为．

【分析】（1）根据勾股定理以及两点间距离的求法即可判断；
（2）①过点C作轴于点D，连接，利用证明得，，从而有，即可求解；②设，，过点F作轴，轴于点M、N，分当点F在第二象限时，点F在第三象限时以及点F在第一象限时求解即可．
【详解】（1）∵点，点，点，
∴，，，
∴即，，
∴，
∴点是点和点的“垂等点”，
∵点，点，点，
∴，，，
∴即，，
∴，
∴点是点和点的“垂等点”，
∵点，点，点，
∴，，
∴即，
∴点不是点和点的“垂等点”，
综上，点和点的“垂等点”的是点，，
故答案为：点，；
（2）解：①点的坐标为，理由如下：
如图1，过点C作轴于点D，连接，

∵点，在第二象限内存在点，使得点是点和点的“垂等点”，
∴，，
∴，
∵轴，轴，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴点的坐标为；
②当点F在第二象限时，如图2，图2-1，设，，过点F作轴，轴于点M、N，


∵点是点和点的“垂等点”，
∴，，
∵轴，轴， 轴轴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，此时，    
∴，
∴点F在第二象限的角平分线上，即点F在上，
∴，
如图3，当点F，在第三象限时，设，过点F作轴，轴于点M、N，

同理可证；四边形是正方形，点F在第三象限的角平分线上，即点F在上，
∴，
∴，此时，
∴，
∴，
如图4，当点F，在第一象限时，设，过点F作轴，轴于点M、N，

同理可证；四边形是正方形，点F在第一象限的角平分线上，即点F在上，
∴，
∴，此时，
∴，
∴，
综上所述，的纵坐标的取值范围为
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质、坐标与图形、勾股定理及逆定理、一次函数的图像及性质以及直角三角形的性质，根据题意作出辅助线构造三角形全等以及分类讨论是解题的关键．
12．(1)①图形见详解；②等边；③证明见详解；
(2)①图形见详解；②；③证明见详解；
(3)．

【分析】（1）①根据题意补全图形即可；②③通过证明，从而判定是等边三角形；
（2）①根据题意画图即可；②③由已知可知：点关于直线的对称点一定在上，先证明，当且仅当点在线段上时（如图所示），上式等号成立即的最小值等于，即结论得证；
（3）连接并延长交于，设交于点，先证明最小；再根据的值最大，可知点与点重合，点在上，最后证明得到．
【详解】（1）解：①补全图形如图1所示：

②根据题意可知，是等边三角形；
故答案为：等边；
③点E关于直线的对称点是点F，
垂直平分线段，
，
又是等边三角形，且是中线，
，
，
，
是等边三角形；
（2）解：①如图1，
可知，
为直角三角形，

边是定值，要使斜边最大，则最大，
当点与点重合时，最大，
故当点与点重合时，点关于直线的对称点即为所求点；
如图2所示：

②在上存在一点Q，使的值最小，猜想这最小值等于；
答案为：；
③如图，由已知可知：点关于直线的对称点一定在上，

，
又是等边三角形，且是中线，
垂直平分线段，
，
，
由图可知：，
当且仅当点在线段上时（如图所示），上式等号成立，
即的最小值等于，
故在上存在一点Q，使的值最小，且这最小值等于；

（3）解：如图，连接并延长交于，设交于点，

点E关于直线的对称点是点F，
最小；
又的值最大，
点与点重合，点在上，如图，

是等边三角形，
，
，
，
，
为线段的中点，
；
故答案为：．
【点睛】此题是关于等边三角形的综合题，主要考查了等边三角形的判定、轴对称的性质、垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的三边关系以及勾股定理等知识，熟练掌握相关定理与性质、添加适当的辅助线是解答此题的关键．