北师大版八年级数学下册培优练第一章 三角形的证明解答题（简单题）（含解析）
展开三角形的证明解答题（简单题）
北师大版八年级数学下册培优练
一、解答题
1．（2022秋·北京怀柔·八年级统考期末）老师布置了如下尺规作图的作业：
已知：如图ABC．
求作：ABC边BC上的高AM．
下面是小红设计的尺规作图过程：
作法：
①延长线段BC ；
②以点A为圆心，AC长为半径作弧交BC的延长线于点D；
③分别以点C，D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧在CD下方交于点E；
④连接AE，交CD于点M．
所以线段AM就是所求作的高线．
根据小红设计的尺规作图过程和图形，完成（1）（2）两小题：
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）将该作图证明过程补充完整：
由②可得：AC = ．
由③可得： = ．
∴ （ ）．（填推理的依据）
即AM是ABC边BC上的高线．
2．（2022秋·北京房山·八年级统考期末）王宇同学在几何学习过程中有一个发现：直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么这个锐角所对的直角边等于斜边的一半．
下面是他的探究发现过程，请你与他一起用尺规完成作图并补全证明过程（保留作图痕迹）．
已知一条线段AB，分别以点A、B为圆心，以线段AB的长为半径画弧，两弧交于点C（点C在线段AB上方），作的角平分线交AB与D．
由作图可知
∴是______三角形
∴（______）
∵CD平分
∴CD垂直平分AB（______）
∴，
又∵
即在中，，，则．
3．（2022秋·北京顺义·八年级统考期末）我们定义：在等腰三角形中，腰与底的比值叫做等腰三角形的正度．如图1，在△ABC中，AB＝AC，的值为△ABC的正度．
已知：在△ABC中，AB＝AC，若D是△ABC边上的动点（D与A，B，C不重合）．
（1）若∠A＝90°，则△ABC的正度为 ；
（2）在图1，当点D在腰AB上（D与A、B不重合）时，请用尺规作出等腰△ACD，保留作图痕迹；若△ACD的正度是，求∠A的度数．
（3）若∠A是钝角，如图2，△ABC的正度为，△ABC的周长为22，是否存在点D，使△ACD具有正度？若存在，求出△ACD的正度；若不存在，说明理由．
4．（2022秋·北京延庆·八年级统考期末）尺规作图：
已知：如图1，直线MN和直线MN外一点P．
求作：直线PQ，使直线PQMN．
小智的作图思路如下：
①如何得到两条直线平行？
小智想到，自己学习线与角的时候，有4个定理可以证明两条直线平行，其中有“内错角相等，两条直线平行”．
②如何得到两个角相等？
小智先回顾了线与角的内容，找到了几个定理和1个概念，可以得到两个角相等．小智又回顾了三角形的知识，也发现了几个可以证明两个角相等的定理．最后，小智选择了角平分线的概念和“等边对等角”．
③画出示意图：
④根据示意图，确定作图顺序．
（1）使用直尺和圆规，按照小智的作图思路补全图形1（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：∵AB平分∠PAN，
∴∠PAB＝∠NAB．
∵PA ＝PQ，
∴∠PAB＝∠PQA （ ① ）．
∴∠NAB ＝∠PQA．
∴PQMN （ ② ）．
（3）参考小智的作图思路和流程，另外设计一种作法，利用直尺和圆规在图2中完成．（温馨提示：保留作图痕迹，不用写作法和证明）
5．（2022秋·北京顺义·八年级统考期末）“三等分角”是被称为几何三大难题的三个古希腊作图难题之一．如图1所示的“三等分角仪”是利用阿基米德原理做出的．这个仪器由两根有槽的棒PA，PB组成，两根棒在P点相连并可绕点P旋转，C点是棒PA上的一个固定点，点A，O可在棒PA，PB内的槽中滑动，且始终保持OA＝OC＝PC．∠AOB为要三等分的任意角．则利用“三等分角仪”可以得到∠APB ＝∠AOB．
我们把“三等分角仪”抽象成如图2所示的图形，完成下面的证明．
已知：如图2，点O，C分别在∠APB的边PB，PA上，且OA＝OC＝PC．
求证：∠APB ＝∠AOB．
6．（2022秋·北京大兴·八年级校考期末）如图，等边中，平分，，求证：．
解：∵是等边三角形．
∴（ ）
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴（ ）
7．（2022秋·北京平谷·八年级统考期末）用直尺和圆规作一个的角．
作法：①作直线，在直线上任取一点；
②以为圆心，任意长为半径作弧，交直线于两点；
③分别以为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧在直线的上方交于点，作直线；
④作的角平分线；
所以即为所求作的角．
(1)利用直尺和圆规依作法补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明．
证明：连接，
，
点在线段的垂直平分线上( )(填推理的依据)．
，
点在线段的垂直平分线上．
直线是线段的垂直平分线．
．
∴
∵平分，
∴．
参考答案：
1．（1）见解析；（2）AD；CE；DE；AE是CD的垂直平分线；与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
【分析】（1）根据题中作法作图即可；
（2）根据垂直平分线的作法即可证明．
【详解】解：（1）如图，根据题中作法作图即可得；
（2）由②可得：，（均为圆的半径）
由③可得：，（相同圆的半径）
∴AE是CD的垂直平分线（到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）．
故答案为：；；；AE是CD的垂直平分线；到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
【点睛】题目主要考查垂直平分线的作法及证明，理解题意，熟练掌握作图方法是解题关键．
2．图见解析，等边；等边三角形每个角都是60°；等腰三角形顶角平分线与底边高线、中线重合
【分析】根据题意作图即可解答．
【详解】解：如图所示：
∴是等边三角形，
∴（等边三角形每个角都是60°）
∵CD平分，
∴CD垂直平分AB（等腰三角形顶角平分线与底边高线、中线重合）．
【点睛】本题考查作图，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，解题关键是掌握等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定．
3．（1）（2）图见解析，∠A=45°（3）存在，正度为或．
【分析】（1）当∠A＝90°，△ABC是等腰直角三角形，故可求解；
（2）根据△ACD的正度是，可得△ACD是以AC为底的等腰直角三角形，故可作图；
（3）由△ABC的正度为，周长为22，求出△ABC的三条边的长，然后分两种情况作图讨论即可求解．
【详解】（1）∵∠A＝90°，则△ABC是等腰直角三角形
∴AB=AC
∵AB2+AC2=BC2
∴BC=
∴△ABC的正度为
故答案为：；
（2）∵△ACD的正度是，由（1）可得△ACD是以AC为底的等腰直角三角形
故作CD⊥AB于D点，如图，△ACD即为所求；
∵△ACD是以AC为底的等腰直角三角形
∴∠A=45°；
（3）存在
∵△ABC的正度为，
∴＝，
设：AB＝3x，BC＝5x，则AC＝3x，
∵△ABC的周长为22，
∴AB＋BC＋AC＝22，
即：3x+5x+3x＝22，
∴x＝2，
∴AB＝3x＝6，BC＝5x＝10，AC＝3x＝6，
分两种情况：
①当AC＝CD＝6时，如图
过点A作AE⊥BC于点E，
∵AB＝AC，
∴BE＝CE＝BC＝5，
∵CD＝6，
∴DE＝CD−CE＝1，
在Rt△ACE中，
由勾股定理得：AE＝，
在Rt△AED中，
由勾股定理得：AD＝
∴△ACD的正度＝；
②当AD＝CD时，如图
由①可知：BE＝5，AE＝，
∵AD＝CD，
∴DE＝CE−CD＝5−AD，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2−DE2＝AE2，
即：AD2−（5−AD）2＝11，
解得：AD＝，
∴△ACD的正度＝．
综上所述存在两个点D，使△ABD具有正度．△ABD的正度为或．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是理解正度的含义、熟知勾股定理与等腰三角形的性质．
4．（1）图见解析（2）等边对等角；内错角相等，两直线平行；（3）图见解析
【分析】（1）根据题意即可尺规作图进行求解；
（2）根据角平分线与等腰三角形的性质得到内错角相等，故可求解；
（3）作PH⊥MN于H点，再作PH⊥PQ即可．
【详解】（1）如图1，PQ即为所求；
（2）证明：∵AB平分∠PAN，
∴∠PAB＝∠NAB．
∵PA ＝PQ，
∴∠PAB＝∠PQA （等边对等角）．
∴∠NAB ＝∠PQA．
∴PQMN （内错角相等，两直线平行）．
故答案为：等边对等角；内错角相等，两直线平行；
（3）如图2，PQ为所求．
【点睛】此题主要考查尺规作图的运用，解题的关键是熟知等腰三角形的性质、平行线的判定、垂直平分线的作法．
5．见解析
【分析】由，得出为等腰三角形，由外角的性质及等量代换得，再次利用外角的性质及等量代换得，即可证明．
【详解】解：，
为等腰三角形，
，
由外角的性质得：，
，
再由外角的性质得：，
，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形、外角的性质、解题的关键是掌握外角的性质及等量代换的思想进行求解．
6．60，等边三角形的性质，ECD（ACD），BCD，EDC，等角对等边
【分析】依据题目的证明思路结合等边三角形的性质、平行的性质等知识作答即可．
【详解】∵是等边三角形．
∴（等边三角形的性质）
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴（等角对等边）
故答案为：60，等边三角形的性质，ECD（ACD），BCD，EDC，等角对等边．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，角平分线的定义以及平行的性质的知识，掌握两直线平行内错角相等是解答本题的关键．
7．(1)见解析
(2)到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
【分析】（1）根据题意，补全图形，即可求解；
（2）连接，，由，可得点在线段的垂直平分线上，继而得到是线段的垂直平分线，可得，再由平分，即可．
【详解】（1）解：补全图形如下：
（2）证明：连接，，
，
点在线段的垂直平分线上（到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上)
，
点在线段的垂直平分线上．
是线段的垂直平分线．
．
∴，
∵ 平分，
∴．
【点睛】本题主要考查了尺规作图，线段垂直平分线的判定，熟练掌握作已知线段的垂直平分线，作已知角的平分线的作法是解题的关键．
