第10讲第1课时《一次函数》（教案）2022—2023学年人教版数学八年级下册

 第十讲  一次函数[教学内容]：8年级第十讲“一次函数”.（第一课时）[教学目标]:知识与技能1、掌握函数的概念；2、掌握函数图象的定义及画法；3、掌握正比例函数、一次函数的定义、图象、性质.数学思考1、熟练运用待定系数法求一次函数的解析式，经历知识的归纳、探究过程；2、通过一次函数图象归纳函数性质，体验数形结合的应用.问题解决通过一次函数图象、性质的研究，体会数形结合在解决问题中的作用，并能运用性质.图象及数形结合来解决相关函数问题.情感、态度与价值观通过函数的相关知识的学习，使学生能掌握函数的相关的图象、性质，并掌握不同形式的方程的解法以及在解决过程中常用的技巧，使学生的解方程和计算能力都得到提高.[教学重点和难点]:重点：运用待定系数法求一次函数的解析式难点：函数图象、性质的应用[教学准备]:动画多媒体语言课件       第一课时 教学路径学生活动方案说明一、创设情景，导入新课师：欢迎大家走进佳—数学思维训练课堂，在这里大家感受到学习的快乐，我们首先来看一段大家都耳熟能详的小故事：课件播放启动型问题前面的动画（下一步）师：这是什么故事啊？生：龟兔赛跑师：那么你们谁能用语言来描述下这个故事呢？指定学生描述.师：这位同学描述的非常棒，我们学习过了函数图象，哪位同学能够用数学语言，也就是用函数图象来表示乌龟和兔子所行路程与时间的关系呢？动手画一画.“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点.用s1、s2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是哪一个呢？（     ）     解析：龟兔赛跑的整个过程共分三个阶段：(分三步，每一步)①    开始时兔子的速度比乌龟的速度快，s2在s1的上方；s1、s2随时间t的增大而增大.②    兔子睡觉，，s2随时间t的增大而保持不变；乌龟的速度不变，s1随时间t的增大而增大；在兔子睡觉时，乌龟追上兔子后，s1在s2的上方.③      睡醒后，兔子加速追赶，s2随时间t的增大而增大；但是乌龟先到达终点，所以s1在s2的上方. 答案：D 师：亲爱的同学们，你能分析出图象中各段折线所表示的含义吗？老师指定学生表述，其他学生补充.  师：这节课呢老师就带领大家一起来学习一下一次函数的知识，首先我们来一起回顾一下函数的基本知识： 1.函数：一般地，在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，则称y是x的  函数    ，其中x叫   自变量   .（下一步填空，再下一步）自变量的取值范围：（1）使函数关系式有意义；（2）使实际问题有意义. （下一步）2.函数的图象：定义：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象. （下一步）画法：列表，描点，连线. （下一步）3. 正比例函数：定义：一般地，形如 y=kx  （k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫比例系数. （下一步）图象：过（0，0）和（1，k）的直线. （下一步）性质：（1）当k＞0时，直线y=kx经过第  一、三   象限，从左向右上升，即随着x的增大y也  增大     ；（2）当k＜0时，直线y=kx经过第 二、四    象限，从左向右下降，即随着x的增大y反而 减小      . （下一步）4. 一次函数：定义：一般地，形如y=kx+b(k、b是常数，k≠0)的函数，叫做一次函数. （下一步）图象：一次函数y=kx+b的图象是一条直线. （下一步）平移：可看作由直线y=kx(k≠0)平移｜b｜个单位长度而得到（当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移）. （下一步）性质：（1）当k＞0时，直线y=kx+b由左至右上升，y随x的增大而 增大     ；（2）当k＜0时，直线y=kx+b由左至右下降，y随x的增大而   减小      .二、自主探究，合作交流初步性问题探究类型之一   根据函数图象获取实际问题的情景例1  某天，小明走路去学校，开始他以较慢的速度匀速前进，然后他越走越快，走了一段时间，最后他以较快的速度匀速前进到达学校.小明走路的速度v（米/分）是时间t（分）的函数，能正确反映这一函数关系的大致图象是（      ）     师：首先确定横轴、纵轴所表示的意义？生：横轴表示时间，纵轴表示速度.师：小明速度的变化过程是？生：先匀速再加快再匀速.师：匀速是指？生：速度不随时间的变化而变化.师：表现在图象上是？生：一条线段. 解析：匀速运动即速度不变，两次匀速运动的速度不同. 答案：A师小结：观察函数增减性的技巧：当函数图象从左到右呈“上升” 状态时，函数y随x的增大而增大；当函数图象从左到右呈“下降”状态时，函数y随x的增大而减小，反之也成立.当x在某个区间上取值时，函数y的值始终是一个常数，那么在这个区间上函数的图象是平行于x轴的线段（或射线或直线）. 师：好，我们继续探究类型之二   一次函数的性质例2  如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（1，1），B（3，1），C（2，2），当直线y=x+b与△ABC有交点时，b的取值范围是（      ）A.-1≤b≤1             B.-≤b≤1C.-≤b≤             D.-1≤b≤        师：如何求b的取值范围？生：求当直线y=x+b经过点A，B，C时对应的b的值.师：注意数形结合. 解析1：动画：（下一步）分别求出当直线y=x+b经过点B，C时对应的b的值；（下一步）把B（3，1）坐标代入y=x+b得1=+b，b =-；把C（2，2）坐标代入y=x+b得2=1+b，b =1；（下一步）综上可知b的取值范围是-≤b≤1. 解析2：考虑极端情况，分别求出当直线y=x+b经过点A，B，C时对应的b的值；（下一步）把A（1，1）坐标代入y=x+b得1=+b，b =；（下一步）把B（3，1）坐标代入y=x+b得1=+b，b =-；（下一步）把C（2，2）坐标代入y=x+b得2=1+b，b =1；（下一步）综上可知b的取值范围是-≤b≤1. 答案：B  探究类型之三  求一次函数的解析式例3  已知一次函数y=kx+b，当0≤x≤2时，对应的函数值y的取值范围是-2≤y≤4,则kb的值为（    ）A. 12    B. -6    C. -6或-12     D. 6或12 师：如何求kb的值？生：分情况讨论，k＞0，y随x的增大而增大，确定过直线上两点的坐标分别为（0，-2），（2,4）；k＜0，y随x的增大而减小，确定过直线上两点的坐标分别为（0，4），（2,-2）,进而分别求出k,b的值.师：（1）用待定系数法求一次函数解析式的步骤：设：设一般式y=kx+b(k≠0)；列：根据已知条件，列出关于k、b的方程（组）；解：解出k、b；写：写出一次函数的解析式.（2)分类讨论是常用的数学思想. 解析：分k＞0和k＜0两种情况讨论. （下一步）当k＞0时，解得 kb=-6；（下一步）当k＜0时，解得 kb=-12. 答案：C 探究类型之四     一次函数的性质运用例4  在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形.如图中的一次函数的图象与x,y轴分别交于点A,B，则△OAB为此函数的坐标三角形.（分两道题出示）（1）求函数y=-x+3的坐标三角形的三条边长；（2）若函数y=-x+b(b为常数）的坐标三角形的周长为16，求此三角形的面积.        师：如何求函数y=-x+3的坐标三角形的三条边长？生：先求直线与坐标轴的交点坐标.师：对于第（2）我们要想求出三角形的面积，我们必须求出b的值，那我们怎么求呢？生：先用b表示出三角形的三边长,根据三角形的周长等于16列方程.师提示学生分情况讨论. 解析：（1）分别求出直线y=-x+3与两坐标轴的交点坐标，再求边长；（下一步）（2）分别对b＞0和b＜0进行讨论. 答案：解：（1）∵直线y=-x+3与x轴的交点坐标为（4，0），与y轴的交点坐标为（0，3），∴函数y=-x+3的坐标三角形的三条边长分别为3，4，5.（2）直线y=-x+b与x轴的交点坐标为（b,0）,与y轴的交点坐标为（0，b).当b＞0时，b+b+b=16,得b=4，此时，坐标三角形的面积为；当b＜0时，-b-b-b =16,得b=-4，此时，坐标三角形的面积为.综上，当函数y=-x+b的坐标三角形的周长为16时，此坐标三角形的面积为.（下一页）小结：直线y=kx+b与x轴的交点为（-,0）,与y轴的交点为（0，b),且这两个交点与坐标原点构成的三角形的面积为·｜-｜·｜b｜.  探究类型之五   一次函数图象上点的坐标例5  如图，点A的坐标为（-1，0），点B在直线y=2x-4上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是_________.      师：什么时候线段AB最短呢？生：AB垂直直线y=2x-4师：如何求点到直线的距离？生：（预设）求点B的坐标.师：如何求点的坐标？生：求出两条直线的解析，然后联立，然后求交点坐标. 解析：当AB′⊥BB′时，点B′的坐标即为当线段AB最短时B点坐标.(动画做垂线)（下一步）设AB′的解析式为y=kx+b，∵AB′⊥BB′，BB′所在直线解析式为y=2x-4，∴2k=-1，k=，即 y=x+b.把（-1，0）坐标代入，得0=+b，即b=，∴AB′的解析式为y=x；（下一步）解方程组得∴B′. 答案：三、总结反思，拓展升华［总结］本节课我们学习了哪些数学知识与数学的方法？主要有待定系数法求一次函数的解析式.