2023年北师大版数学八年级下册《三角形的证明》单元检测(含答案)
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《三角形的证明》单元检测
一 、选择题（共12小题）
1.若一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长为( )
A.12 B.9 C.12或9 D.9或7
2.在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，下列条件不能判定△ABC是等腰三角形的是( )
A.∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶3
B.a∶b∶c＝2∶2∶3
C.∠B＝50°，∠C＝80°
D.2∠A＝∠B＋∠C
3.如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在AB上的点E处，已知BC＝24，∠B＝30°，则DE的长是( )
A.12 B.10 C.8 D.6
4.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点 A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积为( )
A.15 B.30 C.45 D.60
5.如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于( )
A.10 B.7 C.5 D.4
6.如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于AB为半径作弧，连接弧的交点得到直线l，在直线l上取一点C，使得∠CAB＝25°，延长AC至M，求∠BCM的度数为( )
A.40° B.50° C.60° D.70°
7.如图，MN是线段AB的垂直平分线，C在MN外，且与A点在MN的同一侧，BC交MN于P点，则( )
A.BC＞PC＋AP B.BC＜PC＋AP C.BC＝PC＋AP D.BC≥PC＋AP
8.等边△ABC的两条角平分线BD和CE相交所夹锐角的度数为( )
A.60° B.90° C.120° D.150°
9.如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别AB、AC是上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，则阴影部分的周长为( )cm
A.1 B.2 C.3 D.4
10.如图，在△ABC中，AB＝AC，且D为BC上一点，CD＝AD，AB＝BD，则∠B的度数为( )
A.30° B.36° C.40° D.45°
11.如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝( )
A.3 B.4 C.5 D.6
12.如图所示，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，连接CP.
下列结论：
①∠ACB＝2∠APB；②S△PAC：S△PAB＝AC：AB；③BP垂直平分CE；④∠PCF＝∠CPF.
其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二 、填空题（共6小题）
13.等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是________．
14.如图，l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，∠1＝20°，则∠2的度数为 .
15.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC交于点E，DF⊥BC于点F，且BC＝4，DE＝2，则△BCD的面积是 .
16.如图，若△ACD的周长为7cm，DE为AB边的垂直平分线，则AC＋BC＝ cm.
17.如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF(E在BC上，F在AC上)折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为 .
18.如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为50和38，则△EDF的面积为 .
三 、作图题（共1小题）
19.如图：求作一点P，使PM＝PN，并且使点P到∠AOB的两边的距离相等.
四 、解答题（共7小题）
20.如图，已知D、E两点在线段BC上，AB＝AC，AD＝AE.
求证：BD＝CE.
21.如图，已知等边三角形ABC中，D为AC边的中点，E为BC延长线上一点，CE＝CD，DM⊥BC于M，求证：M是BE的中点.
22.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°.
(1)作线段AC的垂直平分线，分别交BC、AC于点D、E.(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
(2)连接AD，若DE＝2cm，求BC的长.
23.如图，已知C是AB上一点，点D、E分别在AB两侧，AD∥BE，且AD＝BC，BE＝AC.连接DE，交AB于点F，猜想△BEF的形状，并给予证明.
24.如图，△ABC是等边三角形，AD是高，并且AB恰好是DE的垂直平分线.
求证：△ADE是等边三角形.
25.如图，在△ABC中，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F.
(1)求证：∠EFA＝90°﹣∠B；
(2)若∠B＝60°，求证：EF＝DF.
26.如图，在等边三角形ABC的外侧作直线AP，点C关于直线AP的对称点为点D，连接AD，BD，其中BD交直线AP于点E.
(1)依题意补全图形；
(2)若∠PAC＝20°，求∠AEB的度数；
(3)连结CE，写出AE, BE, CE之间的数量关系，并证明你的结论．
答案
1.A
2.D.
3.C.
4.B.
5.C
6.B.
7.C
8.A
9.C.
10.B
11.C
12.D.
13.答案为：100°.
14.答案为：40°.
15.答案为：4.
16.答案为：7.
17.答案为：100°
18.答案为：6.
19.解：如图，点P即为所求.
(1)作∠AOB 的平分线OC；
(2)连结MN，并作MN 的垂直平分线EF，交OC于P，连结PM、PN，则P点即为所求.
20.证明：过A作AF⊥BC于F，
∵AB＝AC，AD＝AE，AF⊥BC，
∴BF＝CF，DF＝EF，
∴BF﹣DF＝CF﹣EF，
∴BD＝CE.
21.证明：如图，连接BD，
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠ABC＝∠ACB＝60°.
∵ CD＝CE，
∴ ∠CDE＝∠E＝30°.
∵ BD是AC边上的中线，
∴ BD平分∠ABC，即∠DBC＝30°，
∴ ∠DBE＝∠E.
∴ DB＝DE.
又∵ DM⊥BE，
∴ DM是BE边上的中线，即M是BE的中点.
22.解：(1)线段AC的垂直平分线如图所示：
(2)∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠C＝∠B＝30°，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，
∴∠DAC＝∠C＝30°，
∴AD＝CD＝2DE＝2×2＝4cm，∠BAD＝120°﹣30°＝90°，
∴BD＝2AD＝8cm，
∴BC＝BD＋CD＝8＋4＝12(cm).
23.解：△BEF为等腰三角形，理由如下：连CE，
∵AD∥BE，
∴∠A＝∠B，
在△ADC和△BCE中，
，
∴△ADC≌△CBE，
∴∠DCF＝∠BEC，CD＝CE，
∵CD＝CE，
∴∠CDF＝∠CED，又∠BFE＝∠CDF＋∠DCF，∠BEF＝∠BEC＋∠CED，
∴∠BFE＝∠BEF，
∴BF＝BE，即△BEF为等腰三角形.
24.证明：∵点A在DE的垂直平分线上，
∴AE＝AD，
∴△ADE是等腰三角形，
∵AB⊥DE，
∴∠ADE＝90°－∠BAD，
∵AD⊥BD，
∴∠B＝90°－∠BAD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∴∠ADE＝∠B＝60°，
∴△ADE是等边三角形.
25.证明：(1)∵∠BAC＋∠BCA＝180°﹣∠B，
又∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴∠FAC＝∠BAC，∠FCA＝∠BCA，
∴∠FAC＋∠FCA＝×(180°﹣∠B)＝90°﹣∠B，
∵∠EFA＝∠FAC＋∠FCA，
∴∠EFA＝90°﹣∠B.
(2)如图，过点F作FG⊥BC于G，作FH⊥AB于H，作FM⊥AC于M.
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴FG＝FH＝FM，
∵∠EFH＋∠DFH＝120°，
∠DFG＋∠DFH＝360°﹣90°×2﹣60°＝120°，
∴∠EFH＝∠DFG，
在△EFH和△DFG中，
，
∴△EFH≌△DFG(AAS)，
∴EF＝DF.
26.解：(1)如图所示：
(2)在等边△ABC中，
AC＝AB，∠BAC＝60°
由对称可知：AC＝AD，∠PAC＝∠PAD，
∴AB＝AD
∴∠ABD＝∠D
∵∠PAC＝20°
∴∠PAD＝20°
∴∠BAD＝∠BAC＋∠PAC ＋∠PAD ＝100°
∴∠AEB＝∠D＋∠PAD＝60°
(3)CE ＋AE＝BE．在BE上取点M使ME＝AE，
在等边△ABC中，
AC＝AB，∠BAC＝60°
由对称可知：AC＝AD，∠EAC＝∠EAD，
设∠EAC＝∠DAE＝x．
∵AD ＝AC＝AB，
∴∠AEB＝60－x＋x ＝60°．
∴△AME为等边三角形．
易证：△AEC≌△AMB
∴CE＝BM.
∴CE ＋AE＝BE．
