人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）同步测试题

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1． eq \a\vs4\al(【多选题】) 下列函数没有零点的是( AC )
A．y＝ax(a＞0，且a≠1)
B．y＝lga(x2＋1)(a＞0，且a≠1)
C．y＝ eq \f(1,x2) (x≠0)
D．y＝|x＋1|
【解析】 由指数函数的值域可知A满足题意；令y＝lga(x2＋1)＝0，解得x＝0，故B不满足题意；由幂函数的性质知y＝ eq \f(1,x2) 没有零点，故C满足题意；令y＝|x＋1|＝0，得x＝－1，故D不满足题意．
2． eq \a\vs4\al(【多选题】) 下列说法中正确的是( BD )
A．f(x)＝x＋1，x∈[－2，0]的零点为(－1，0)
B．f(x)＝x＋1，x∈[－2，0]的零点为－1
C．y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图象与x轴的公共点
D．y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图象与x轴公共点的横坐标
【解析】 根据函数零点的定义，f(x)＝x＋1，x∈[－2，0]的零点为－1.函数y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图象与x轴公共点的横坐标，因此BD正确，故选BD.
3．已知函数f(x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于( A )
A．0 B．1
C．－1 D．不能确定
【解析】 因为奇函数的图象关于原点对称，所以若f(x)有三个零点，则其和必为0.
4．已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
那么函数g(x)＝f(x)－2x一定存在零点的区间是( B )
A．(－∞，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
【解析】 因为g(1)＝f(1)－2＝5－2＝3>0，g(2)＝f(2)－4＝3－4＝－1<0，所以一定存在零点的区间是(1，2).
5．若函数f(x)＝(x－1)(x2－ax＋1)有两个不同的零点，则a的值为( B )
A．2 B．－2 C．±2 D．3
【解析】 依题意，函数y＝x2－ax＋1只有一个零点，且当x＝1时，y≠0，所以Δ＝a2－4＝0，1－a＋1≠0，所以a＝－2.
6．设函数f(x)＝ eq \f(1,3) x－ln x(x>0)，则下列说法中正确的是( D )
A．f(x)在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，1)) ，(1，e)内均有零点
B．f(x)在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，1)) ，(1，e)内均无零点
C．f(x)在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，1)) 内有零点，在(1，e)内无零点
D．f(x)在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，1)) 内无零点，在(1，e)内有零点
二、填空题
7．设x0是方程ln x＋x＝4的根，且x0∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝__2__．
【解析】 令f(x)＝ln x＋x－4，且f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
∵f(2)＝ln 2＋2－4＜0，f(3)＝ln 3－1＞0，
∴f(x)在(2，3)内有解，∴k＝2.
8．方程3x＝x＋2的解的个数是__2__．
【解析】 在同一直角坐标系中分别作出函数y＝3x和y＝x＋2的图象(图略)，可知两函数图象有两个交点，所以方程3x＝x＋2有两个解．
9．已知函数f(x)＝x＋lg2x，则f(x)在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2)) 内的零点的个数是__1__．
【解析】 易知g(x)＝x与h(x)＝lg2x均为增函数，故函数f(x)为增函数，且f(2)·f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) <0，故函数有且只有一个零点．
10．已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg2（x＋1），x>0，,－x2－2x，x≤0，)) 则函数g(x)＝f(x)－m，若m＝1，函数g(x)有__2__个不同的零点，若g(x)有3个不同的零点，则实数m的取值范围是__(0，1)__．
【解析】 作出函数f(x)的图象与直线y＝m如图所示．当m＝1时，g(x)＝f(x)－m有2个零点；当这两个图象有3个交点时，则011．对于方程x3＋x2－2x－1＝0，有下列判断：
①在(－2，－1)内有实数根；
②在(－1，0)内有实数根；
③在(1，2)内有实数根；
④在R上没有实数根．
其中正确的有__①②③__．(填序号)
【解析】 设f(x)＝x3＋x2－2x－1，则f(－2)＝－1<0，f(－1)＝1>0，f(0)＝－1<0，f(1)＝－1<0，f(2)＝7>0，则f(x)在(－2，－1)，(－1，0)，(1，2)内均有零点．故①②③正确．
三、解答题
12．已知函数f(x)＝x2－bx＋3.
(1)若f(0)＝f(4)，求函数f(x)的零点；
(2)若函数f(x)的一个零点大于1，另一个零点小于1，求b的取值范围．
解：(1)由f(0)＝f(4)得，3＝16－4b＋3，即b＝4，
所以f(x)＝x2－4x＋3，令f(x)＝0，得x2－4x＋3＝0，
解得x1＝3，x2＝1.
所以f(x)的零点是1和3.
(2)因为f(x)的零点一个大于1，另一个小于1，作出f(x)的大致图象如图所示．
所以f(1)＜0，即1－b＋3＜0，解得b＞4.故b的取值范围为(4，＋∞).
[B级 素养养成与评价]
13．已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋2，x<0，,x2＋\f(1,2)x，x≥0，)) 则函数y＝f[f(x)]－1的零点个数为( B )
A．2 B．3 C．4 D．5
【解析】 令f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x)) ＝t，即f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t)) ＝1可得，t＝－1或t＝ eq \f(－1＋\r(17),4) ，即f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x)) ＝－1或f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x)) ＝ eq \f(－1＋\r(17),4) ，画图可知选B.
14．已知函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝lg3x＋2，h(x)＝lg3x＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是__a＜b＜c__．
【解析】 画出函数y＝3x，y＝lg3x，y＝－x，y＝－2的图象，如图所示，观察图象可知，函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝lg3x＋2，h(x)＝lg3x＋x的零点依次是点A，B，C的横坐标，由图象可知a＜b＜c.
15．讨论函数f(x)＝(ax－1)(x－2)(a∈R)的零点．
解：当a＝0时，f(x)＝－x＋2，则其零点为x＝2.
当a＝ eq \f(1,2) 时，令 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－1)) (x－2)＝0，
解得x1＝x2＝2，则其零点为x＝2.
当a≠0且a≠ eq \f(1,2) 时，令(ax－1)(x－2)＝0，
解得x＝ eq \f(1,a) 或x＝2.
综上所述，当a＝0或a＝ eq \f(1,2) 时，函数f(x)的零点为x＝2；
当a≠0且a≠ eq \f(1,2) 时，函数f(x)的零点为x＝ eq \f(1,a) 或x＝2.
16．已知函数f(x)＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1恒有零点．
(1)求m的取值范围；
(2)若函数有两个不同的零点，且其倒数之和为－4，求m的值．
解：(1)当m＋6＝0，即m＝－6时，函数为f(x)＝－14x－5，显然有零点；当m＋6≠0，即m≠－6时，由Δ＝4(m－1)2－4(m＋6)·(m＋1)＝－36m－20≥0，得m≤－ eq \f(5,9) .
∴当m≤－ eq \f(5,9) 且m≠－6时，二次函数有零点．
综上，m≤－ eq \f(5,9) .
(2)设x1，x2是函数的两个零点，
则有x1＋x2＝－ eq \f(2（m－1）,m＋6) ，x1x2＝ eq \f(m＋1,m＋6) .
∵ eq \f(1,x1) ＋ eq \f(1,x2) ＝－4，即 eq \f(x1＋x2,x1x2) ＝－4，
∴－ eq \f(2m－2,m＋1) ＝－4，解得m＝－3.
由(1)知m＝－3符合题意．
∴m＝－3.
x
1
2
3
4
f(x)
5
3
－2
－5