人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数课后复习题

课时跟踪检测（二十六） 对数函数的概念

层级(一)　“四基”落实练

1．(多选)下列函数中为对数函数的是(　　)

A．y＝log (－x)　　　 B．y＝2log4(x－1)

C．y＝ln x   D．y＝log(a2＋a＋2)x(a是常数)

解析：选CD　对于A，真数是－x，故A不是对数函数；对于B，y＝2log4(x－1)＝log2(x－1)，真数是x－1，不是x，故B不是对数函数；对于C，ln x的系数为1，真数是x，故C是对数函数；对于D，底数a2＋a＋2＝2＋>1，故D是对数函数．

2．已知某对数函数的图象过点M(16,4)，则此对数函数的解析式为(　　)

A．y＝log4x   B．y＝logx

C．y＝logx   D．y＝log2x

解析：选D　由于对数函数的图象过点M(16,4)，

所以4＝loga16，得a＝2.

所以对数函数的解析式为y＝log2x.

3．已知函数f(x)＝loga(x＋1)，若f(1)＝2，则a的值为(　　)

A．0   B．1

C.   D．2

解析：选C　∵f(1)＝loga(1＋1)＝2，∴a2＝2，则a＝，故选C.

4．已知函数f(x)＝的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则M∩N等于(　　)

A．{x|x>－1}   B．{x|x<1}

C．{x|－1<x<1}   D．∅

解析：选C　∵M＝{x|1－x>0}＝{x|x<1}，

N＝{x|1＋x>0}＝{x|x>－1}，

∴M∩N＝{x|－1<x<1}．

5．(多选)设集合A＝{x|y＝lg x}，B＝{y|y＝lg x}，则下列关系中正确的是(　　)

A．A∪B＝B   B．B⊆A

C．A∩B＝A   D．A∩B＝B

解析：选AC　由题意知A＝{x|x＞0}，B＝{y|y∈R}．所以A⊆B.

6．已知函数f(x)＝log3x＋logx，则f()＝________.

解析：f()＝log3＋log＝－＝0.

答案：0

7．函数g(x)＝的定义域为____________．

解析：由已知得解得－1＜x＜4且x≠3，所以函数g(x)＝定义域为(－1,3)∪(3,4)．

答案：(－1,3)∪(3,4)

8．已知函数f(x)＝loga(3－ax)(a>0，且a≠1)．当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围．

解：∵a>0且a≠1，设t(x)＝3－ax，则t(x)＝3－ax为减函数，当x∈[0,2]时，t(x)的最小值为3－2a.

∵当x∈[0,2]时，f(x)恒有意义，

即x∈[0,2]时，3－ax>0恒成立，∴3－2a>0，∴a<.

又a>0且a≠1，∴0<a<1或1<a<，

∴实数a的取值范围为(0,1)∪.

层级(二)　能力提升练

1．函数f(x)＝＋log2(6－2x)的定义域是(　　)

A．{x|x＞3}   B．{x|－4＜x＜3}

C．{x|x＞－4}   D．{x|－4≤x＜3}

解析：选D　由题意，函数f(x)＝＋log2(6－2x)有意义，满足解得－4≤x＜3，即函数的定义域为{x|－4≤x＜3}，故选D.

2．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则7年后它们发展到(　　)

A．300只   B．400只

C．600只   D．700只

解析：选A　将x＝1，y＝100代入y＝alog2(x＋1)得，

100＝alog2(1＋1)，解得a＝100，

所以x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝300.

3．若f(x)＝logax＋(a2－4a－5)是对数函数，则a＝________.

解析：由对数函数的定义可知，解得a＝5.

答案：5

4．若函数f(x)＝log2(ax2＋3x＋a)的定义域是R，求实数a的取值范围．

解：∵函数f(x)＝log2(ax2＋3x＋a)的定义域是R，

∴ax2＋3x＋a＞0在R上恒成立，当a＝0时，显然不适合，

当a≠0时，解得a＞，

综上，实数a的取值范围是.

层级(三)　素养培优练

1.如图，已知过原点O的直线与函数y＝log8x的图象交于A，B两点，分别过点A，B作y轴的平行线与函数y＝log2x的图象交于C，D两点．

(1)试利用相似形的知识，试证明O，C，D三点在同一条直线上；

(2)当BC∥x轴时，求A点的坐标．

解：由于A，B是过原点O的直线与函数y＝log8x的图象的交点，故可设A(x1，log8x1)，B(x2，log8x2)，且＝⇒＝.

(1)根据题意，C，D两点的坐标可以设为C(x1，log2x1)，D(x2，log2x2)．

∵＝，∴O，C，D三点共线．

(2)当BC∥x轴时，有log8x2＝log2x1，∴x2＝x，

∴＝，即x＝3.又x1＞0，

∴x1＝，log8x1＝log83，∴点A的坐标为.

2．医学上为研究某种传染病传播中病毒的发展规律及其预防，将病毒注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，病毒总数与天数的关系记录如下表．已知该种病毒在小白鼠体内的个数超过108的时候小白鼠将死亡，但若注射某种药物，可杀死其体内98%的该病毒.

(1)y与x的函数关系式是什么？

(2)第几天该种病毒在小白鼠体内的病毒数量超过(212＋10)个？(参考数据：212＝4 096)

(3)若在第12天时注射这种药物，则小白鼠体内还剩多少个病毒．(结果保留整数)

(4)为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次注射该种药物最迟应在何时？(精确到天，参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)

(5)第二次注射该种药物最迟应在何时，才能维持小白鼠的生命？(精确到天，参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)

解：(1)由表中数据可知：当x＝1时，y＝1＝20；

当x＝2时，y＝2＝21；当x＝3时，y＝4＝22；…

故可得y与x的函数关系式为y＝2x－1(其中x∈N*)．

(2)令2x－1＝212＋10，得13<x<14，故第14天时小白鼠体内的病毒数量超过(212＋10)个．

(3)第12天时，小白鼠体内的病毒有211＝2 048个，所以体内还剩余的病毒有2 048×(1－98%)＝40.96≈41(个)．

(4)由题意知2x－1≤108，两边取常用对数得(x－1)lg 2≤8，从而x≤＋1≈27.58，即第一次注射该种药物最迟应在第27天．

(5)由(4)可知，注入药物后小白鼠体内剩余的病毒有226×2%个，再经过x天后小白鼠体内的病毒有226×2%×2x个，

由题意知226×2%×2x≤108，

两边取常用对数得26lg 2＋lg 2－2＋xlg 2≤8，解得x≤－27≈6.22.故再经过6天必须注射药物，即第二次注射该种药物应在第33天．