数学必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.3 对数巩固练习

课时跟踪检测（二十五） 对数的运算

层级(一)　“四基”落实练

1．化简log612－2log6的结果为(　　)

A．6　　　　　　　　　 B．12

C．log6   D.

解析：选C　原式＝log6－log62＝log6＝log6.

2. (多选)下列说法中正确的有(　　)

A．log827×log98＝

B．若x＝y，则lg x＝lg y

C．若a＋a－1＝4，则a＋a＝

D．设a＝log32，则log38－2log36用a表示的形式是 a－2

解析：选ACD　对于选项A：log827×log98＝log23×log32＝，所以选项A正确；

对于选项B：若x＜0，y＜0，则lg x与lg y无意义，所以选项B错误；

对于选项C：因为2＝a＋a－1＋2＝6，且a＞0，所以a＋a＝，所以选项C正确；

对于选项D：log38－2log36＝3log32－2(1＋log32)＝log32－2＝a－2，所以选项D正确．

3．计算log225·log32·log59的结果为(　　)

A．3   B．4

 C．5   D．6

解析：选D　原式＝··

＝··＝6.

4．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解．例如，地震释放出的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E＝4.8＋1.5M.据此推断里氏8.0级地震所释放的能量是里氏5.0级地震所释放的能量的(　　)

A．lg 4.5倍   B．4.510倍

C．450倍   D．104.5倍

解析：选D　设8.0级地震释放出的能量为E1,5.0级地震释放出的能量为E2，则lg E1－lg E2＝4.5，

∴lg＝4.5，∴＝104.5.

5．已知函数f(x)＝则f等于(　　)

A.   B.

C.   D．5

解析：选A　∵log2＜0，

∴f＝f＝f，

∵log2＜0，

∴f＝f＝f，

∵log2＞0，∴f＝log2＝(2－1)log2＝2log2＝，故选A.

6．已知a＝，log74＝b，则log4948＝________(用含a，b的式子表示)．

解析：由a＝，得a＝log73，又b＝log74，

∴log4948＝＝＝＝.

答案：

7．已知函数f(x)＝，则f(log23)＋f＝________.

解析：∵log23＋log4＝log23－log23＝0，

f(－x)＋f(x)＝＋＝＋＝1.

∴f(log23)＋f＝1.

答案：1

8．计算下列各式的值：

(1)log535＋2log－log5－log514；

(2)lg＋lg＋ln(e)－eln 2＋log525＋(－2 021)0；

(3)[(1－log63)2＋log62×log618]÷log64.

解：(1)原式＝log535＋log550－log514＋2log2

＝log5＋log2＝log553－1＝2.

(2)原式＝lg 5＋lg 2＋ln(e)－2＋log552＋1＝＋－2＋2＋1＝3.

(3)原式＝[(log66－log63)2＋log62×log6(2×32)]÷log64

＝÷log622

＝[(log62)2＋(log62)2＋2log62×log63]÷2log62

＝log62＋log63＝log6(2×3)＝1.

层级(二)　能力提升练

1．方程log3(x2－10)＝1＋log3x的解是(　　)

A．－2   B．－2或5

C．5   D．3

解析：选C　原方程可化为log3(x2－10)＝log3(3x)，所以x2－10＝3x，解得x＝－2，或x＝5.经检验知x＝5.

2．(多选)已知2a＝3，b＝log32，则(　　)

A．a＋b＞2   B．ab＝1

C．3b＋3－b＝   D.＝log912

解析：选ABD　∵2a＝3，∴a＝log23，∵b＝log32，∴ab＝log23·log32＝1，故B正确；∴a＋b＞2＝2，故A正确；∴3b＋3－b＝2＋＝，故C错误；＝＝＝＋＝log32＋log3＝log32＝＝2log9＝log912，故D正确．

3. 已知4a＝5b，且＋＝1，则(2a－b)lg 2＋b＝________.

解析：∵4a＝5b，且＋＝1，∴设4a＝5b＝t(t＞0)，则a＝log4t，b＝log5t，∴＋＝logt4＋2logt5＝logt100＝1，解得t＝100，∴(2a－b)lg 2＋b＝(2log4100－log5100)lg 2＋log5100＝2＋(1－lg 2)log5100＝2＋lg 5·log5100＝2＋2＝4.

答案：4

4．已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z，且2x＝py.

(1)求p的值；

(2)求证：－＝.

解：(1)设3x＝4y＝6z＝k(k＞1)．则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k.由2x＝py，得2log3k＝plog4k＝p.

∵log3k≠0，∴p＝2log34.

(2)证明：－＝－＝logk6－logk3＝logk2.

又∵＝logk4＝logk2，∴－＝.

5．若a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)·(logab＋logba)的值．

解：原方程可化为2(lg x)2－4lg x＋1＝0.

设t＝lg x，则方程化为2t2－4t＋1＝0，

∴t1＋t2＝2，t1·t2＝.

又∵a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，

∴t1＝lg a，t2＝lg b，

即lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝.

∴lg(ab)·(logab＋logba)＝(lg a＋lg b)·

＝(lg a＋lg b)·

＝(lg a＋lg b)·

＝2×＝12，即lg(ab)·(logab＋logba)＝12.

层级(三)　素养培优练

1．已知函数f(n)＝log(n＋1)(n＋2)(n∈N*)，定义使f(1)·f(2)·f(3)·…·f(k)为整数的数k(k∈N*)叫做企盼数，若k∈[1,2 020]，则这样的企盼数共有______个．

解析：令g(k)＝f(1)·f(2)·f(3)·…·f(k)，∵f(k)＝log(k＋1)(k＋2)＝，∴g(k)＝××…×＝＝log2(k＋2)．要使g(k)为整数，则需k＋2＝2n，n∈N *.∵k∈[1,2 020]，∴(k＋2)∈[3，2 022]，即2n∈[3，2 022]．∵22＝4,210＝1 024,211＝2 048，∴可取n＝2,3，…，10，故这样的企盼数共有9个．

答案：9

2．抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽几次？(已知lg 2≈0.301 0)

解：设抽n次可使容器内空气少于原来的0.1%，原先容器中的空气体积为a，

则a(1－60%)n＜0.1%a，即0.4n＜0.001，

两边取常用对数，得n·lg 0.4＜lg 0.001，

∴n＞＝≈7.5.

故至少要抽8次才能使容器内的空气少于原来的0.1%.