综合素养评价（五） 三角函数 试卷

综合素养评价（五） 三角函数

1．已知α是第二象限角，sin α＝，则sin 2α的值为(　　)

A．－　　   B.　　　　C．－　　　D.

解析：选A　因为α是第二象限角，sin α＝，

所以cos α＝－＝－，

则sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－.

2．如图所示的图象的函数解析式是(　　)

A．y＝sin

B．y＝sin

C．y＝cos

D．y＝cos

解析：选D　由图知T＝4×＝π，

∴ω＝＝2.又x＝时，y＝1，

经验证，可得D项解析式符合题目要求．

3．求值：等于(　　)

A．2   B.

C．1  D．－1

解析：选D　＝

＝

＝

＝＝－1.

4．将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数(　　)

A．在区间上单调递增

B．在区间上单调递减

C．在区间上单调递增

D．在区间上单调递减

解析：选A　把函数y＝sin的图象向右平移个单位长度得函数g(x)＝sin＝sin 2x的图象，由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ(k∈Z)，得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，令k＝1，得≤x≤，即函数g(x)＝sin 2x的一个单调递增区间为.

5．已知函数f(x)＝sin x＋cos x的图象关于直线x＝a对称，则最小正实数a的值为(　　)

A.         B.         C.            D.

解析：选A　因为f(x)＝sin x＋cos x

＝2＝2sin，

所以其对称轴方程为x＋＝kπ＋，k∈Z.

解得x＝kπ＋，k∈Z.

又函数f(x)＝sin x＋cos x的图象关于直线x＝a对称，

所以a＝kπ＋，k∈Z.

当k＝0时，最小正实数a的值为.

6.(多选)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)的部分图象如图所示，则下列正确的是(　　)

A．f(x)＝2sin

B．f(2 021π)＝1

C．函数y＝|f(x)|为偶函数

D．∀x∈R，f＋f＝0

解析：选AD　由图象知：A＝2，T＝2＝π，

∴ω＝＝＝2，故f(x)＝2sin(2x＋φ)，

∵f(x)的图象过点，

∴2sin＝2，故sin＝1，

∴－＋φ＝＋2kπ，k∈Z，故φ＝＋2kπ，k∈Z，

∵0＜φ＜π，∴φ＝，故f(x)＝2sin，

对于A：f(x)＝2sin，故A正确；

对于B：f(2 021π)＝2sin＝2sin＝，故B错误；

对于C：∵＝＝0，＝＝，

∴≠，故|f(x)|不是偶函数，故C错误；

对于D：∵f＝2sin＝2sin(π＋2x)＝－2sin 2x，

f＝2sin＝2sin(π－2x)＝2sin 2x，

∴f＋f＝－2sin 2x＋2sin 2x＝0，故D正确．

7．已知tan ＝2，则tan α＝________；sin2α－sin αcos α＝________.

解析：由tan ＝2，得tan α＝＝＝－；

sin2α－sin αcos α＝＝

＝＝.

答案：－　

8．若函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)(0<θ<π)的图象关于中心对称，则函数f(x)在上的最小值是________．

解析：f(x)＝2sin，

又图象关于中心对称，

所以2×＋θ＋＝kπ(k∈Z)，

所以θ＝kπ－(k∈Z)，

又0<θ<π，所以θ＝，所以f(x)＝－2sin 2x，

因为x∈，

所以2x∈，f(x)∈[－，2]，

所以f(x)的最小值是－.

答案：－

9．若3sin2α＋2sin2β－2sin α＝0，则cos2α＋cos2β的最小值是________．

解析：∵3sin2α＋2sin2β－2sin α＝0，

∴2sin2β＝2sin α－3sin2α＝sin α(2－3sin α)≥0，

∴0≤sin α≤，

∴cos2α＋cos2β＝cos2α＋(1－sin2β)＝cos2α＋＝sin2α－sin α＋2＝(sin α－1)2＋，

当sin α＝时，cos2α＋cos2β取得最小值.

答案：

10．(1)已知cos＝，≤α＜，求cos2α＋的值；

(2)已知α∈，且sin 2α＝sin，求α.

解：(1)∵≤α＜，∴≤α＋＜.

∵cos＞0，∴＜α＋＜，

∴sin＝－＝－＝－，

∴cos 2α＝sin＝2sincos

＝2××＝－，

sin 2α＝－cos＝1－2cos2＝1－2×2＝，

∴cos＝cos 2α－sin 2α＝×－×＝－.

(2)∵sin 2α＝－cos＝－

＝1－2cos2，

sin＝－sin＝－cos

＝－cos，

∴原式可化为1－2cos2＝－cos，

解得cos＝1或cos＝－.

∵α∈，∴α＋∈，

故α＋＝0或α＋＝，

即α＝－或α＝.

11．已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)2－cos 2x.

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)求证：当x∈时，f(x)≥0.

解：(1)因为f(x)＝sin2x＋cos2x＋sin 2x－cos 2x＝1＋sin 2x－cos 2x＝sin＋1，

所以函数f(x)的最小正周期为π.

(2)证明：由(1)可知，f(x)＝sin＋1.

当x∈时，2x－∈，

sin∈，

sin＋1∈[0，＋1]．

当2x－＝－，即x＝0时，f(x)取得最小值0.

所以当x∈时，f(x)≥0.

12．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<的部分图象如图所示．

(1)求函数f(x)的解析式，并写出其图象的对称中心；

(2)若方程f(x)＋2cos＝a有实数解，求a的取值范围．

解：(1)由图可得A＝2，＝－＝，

所以T＝π，所以ω＝2.

当x＝时，f(x)＝2，可得2sin＝2，

因为|φ|<，所以φ＝.

所以函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin.

令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)，

所以函数f(x)图象的对称中心为(k∈Z)．

(2)设g(x)＝f(x)＋2cos，

则g(x)＝2sin＋2cos

＝2sin＋21－2sin2，

令t＝sin，t∈[－1,1]，

记h(t)＝－4t2＋2t＋2＝－42＋，

因为t∈[－1,1]，所以h(t)∈，

即g(x)∈，故a∈.

故a的取值范围为.