数学苏科版4.1 平方根精练

4.1 平方根（巩固练习）

一、单选题

1．的平方根是（       ）

A．4 B． C． D．-2

2．如果=4，那么x等于（　　）

A．2 B． C．4 D．

3．已知三角形的三边长a、b、c满足＋＋|c－|＝0，则三角形的形状是（       ）

A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不能确定

4．下列说法中错误的是（          ）

A．是0.25的一个平方根 B．正数a的两个平方根的和为0

C．的平方根是 D．当时，没有平方根

5．若方程的两根为和，且，则下列结论中正确的是（）

A．是19的算术平方根 B．是19的平方根 

C．是19的算术平方根 D．是19的平方根

6．已知表示取三个数中最小的那个数，例加：，当时，则x的值为（       ）

A． B． C． D．

7．如果一个自然数的算术平方根是n，则下一个自然数的算术平方根是(       )

A．n+1 B． C． D．

8．关于x的多项式与多项式相加后不含x的二次和一次项，则平方根为（       ）

A．3 B． C． D．

9．已知=15.906，=5.036，那么的值为(        )

A．159.06 B．50.36 C．1590.6 D．503.6

10．若，，且a＞b，则(　　)

A．±8或±2 B．±8 C．±2 D．8或2

二、填空题

11．观察分析下列数据，并寻找规律：，，，，，，…，根据规律可知第n个数据应是__________．

12．若=2x－1，则x的取值范围是________.

13．已知，则的算术平方根是________.

14．如图是一个数值运算的程序，若输出的值为，则输入的值为_______.

15．方程的解是______．

16．若实数a，b满足，则a﹣b的平方根是_____．

17．一个实数的平方根为与，则这个实数是________．

18．已知，则的值是_____________．

19．如果的平方根是，则_________

20．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是_________

三、解答题

21．求满足下列式子的x的值：

（1）4x2﹣16=0                                        （2）﹣8（x+1）3=27．

22．设2+的整数部分和小数部分分别是x、y，试求x、y的值与x-1的算术平方根．

23．已知2a-1的算术平方根是3，3a+b-1的平方根是±4，c是的整数部分，求a+2b-c的平方根．

24．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm，正方形A的边长为6cm，正方形B和C的边长为5cm，则正方形D的边长是多少？

25．观察下列式子变形过程，完成下列任务：

（1）类比上述变形过程的基本思路，猜想的结果并验证；

（2）计算：.

26．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，设p=BC+CD，四边形ABCD的面积为S．

（1）试探究与之间的关系，并说明理由；

（2）若四边形的面积为9，求的值．

27．如图，用两个面积为的小正方形拼成一个大的正方形．

（1）则大正方形的边长是___________；

（2）若沿着大正方形边的方向裁出一个长方形，能否使裁出的长方形纸片的长宽之比为5：4，且面积为？

参考答案

1．C

【分析】

先计算16的算术平方根a，再计算a的平方根即可.

解：∵，

∴4的平方根为±2．

故选C.

【点拨】本题考查了实数的算术平方根，平方根，准确掌握这两个基本概念是解题的关键.

2．D

【分析】

直接利用算术平方根的性质得出x的值．

解：∵=4，

∴

∴x=±4．

故选D．

【点拨】此题主要考查了算术平方根的性质与化简，正确掌握算术平方根的性质是解题关键．

3．C

【分析】

根据非负数的性质可知a，b，c的值，再由勾股定理的逆定理即可判断三角形为直角三角形．

解：

∴ ，，

∴，，

又∵

∴该三角形为直角三角形

故选C．

【点拨】本题考查了非负数的性质及勾股定理的逆定理，解题的关键是解出a，b，c的值，并正确运用勾股定理的逆定理．

4．C

解：A选项中，因为“”，所以A中说法正确；

B选项中，因为“正数的两个平方根互为相反数，而互为相反数的两数和为0”，所以B中说法正确；

C选项中，因为“的平方根是”，所以C中说法错误；

D选项中，因为“当时，的值是负数，而负数没有平方根”，所以D中说法正确；

故选C.

5．C

试题分析：根据平方根的意义，可知x-5是19的一个平方根，由a＞b，可知a-5是19的算术平方根，b-5是其负的平方根.

故选C

【点拨】平方根

6．D

【分析】

根据题意可知都小于1且大于0，根据平方根求得的值即可求解．

解：∵

∴都小于1且大于0

（负值舍去）

故选D

【点拨】本题考查了求一个数的平方根，判断的范围是解题的关键．

7．D

【分析】

根据算术平方根的平方等于这个这个自然数，得出下一个自然数，可得答案．

解：这个自然数是，则和这个自然数相邻的下一个自然数是，

则下一个自然数的算术平方根是：．

故选：．

【点拨】本题考查了算术平方根，掌握一个数算术平方根的平方等于这个数是解题关键．

8．C

【分析】

将两个多项式相加，根据相加后不含x的二次和一次项，求得m、n的值，再进行计算．

解：＋

＝

由题意知，，，

∴，，

∴，

9的平方根是，

∴平方根为，

故选：C．

【点拨】此题考查了整式的加减−化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键，同时考查了平方根的定义，熟练掌握正数有两个平方根，0的平方根是0，负数没有平方根．

9．D

【分析】

根据已知等式，利用算术平方根性质判断即可得到结果．

解：∵=5.036

∴==5.036×100=503.6

故选：D．

【点拨】此题考查了算术平方根的性质，熟练掌握算术平方根的性质是解本题的关键．

10．D

【分析】

结合已知条件，根据平方根、绝对值的含义，求出a，b的值，又因为a＞b，可以分为两种情况：①a=5，b=3；②a=5，b=-3，分别将a、b的值代入代数式求出两种情况下的值即可．

解：∵，|b|=3，

∴a=±5，b=±3，

∵a＞b，

∴a=5，a=-5(舍去) ，

当a=5，b=3时，a+b=8；

当a=5，b=-3时，a+b=2，

故选：D．

【点拨】本题主要考查了代数式的求值，本题用到了分类讨论的思想，关键在于熟练掌握平方根、绝对值的含义．

11．

【分析】

根据给定数中被开方数的变化找出变化规律“第n个数据中被开方数为：3n-1”，依此即可得出结论．

解：∵被开方数为：2=3×1-1，5=3×2-1，8=3×3-1，11=3×4-1，14=3×5-1，17=3×6-1，…，

∴第n个数据中被开方数为：3n-1，

故答案为．

【点拨】本题考查了算术平方根以及规律型中数的变化类，根据被开方数的变化找出变化规律是解题的关键．

12．

【分析】

根据可得2x－1≥0.

解：根据可得2x－1≥0.

所以

故答案为

【点拨】考核知识点：算术平方根性质.理解是关键.

13．.

【分析】

根据二次根式中的被开方数是非负数列出算式，求出x的值，代入原式求出y的值，根据算术平方根的概念解答即可．

解：由题意得：x﹣2≥0，2﹣x≥0，解得：x=2，则y=3，∴xy的算术平方根是．

故答案为．

【点拨】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．

14．±4

【分析】

解：根据运算程序，可知运算的关系式为（x2-1）÷3，代入可得（x2-1）÷3=5，

解方程可得x=±4.

故答案为：±4

15．1

分析：利用方程两边平方去根号后求解．

解：两边平方得，，

移项得：．

当时，．

故本题答案为：．

点睛：在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法，本题用了平方法．

16．±3

【分析】

根据和有意义得出a＝5，b＝﹣4，再代入求解即可．

解：∵和有意义，则a＝5，

故b＝﹣4，

则，

∴a﹣b的平方根是：±3．

故答案为：±3．

【点拨】本题考查了求平方根的问题，掌握平方根的性质以及解法是解题的关键．

17．

【分析】

根据平方根的性质，一个正数的平方根有两个，互为相反数，0的平方根是它本身，即可得到结果．

解：根据题意得：

①这个实数为正数时：

3x+3+x-1=0，

∴x=-，

∴（x-1）2=，

②这个实数为0时：

3x+3=x-1，

∴x=-2，

∵x-1=-3≠0，

∴这个实数不为0．

故答案为：．

【点拨】本题考查了平方根的性质，分类讨论并进行取舍是本题的关键．

18．

【分析】

由条件，先求出的值，再根据平方根的定义即可求出的值．

解：∵，

∴，

∴．

故答案为：．

【点拨】本题主要考查了完全平方公式的变形求值以及平方根，熟悉完全平方公式的结构特点及平方根的定义是解题的关键．

19．81

【分析】

根据平方根的定义即可求解.

解：∵9的平方根为，

∴=9，

所以a=81

【点拨】此题主要考查平方根的性质，解题的关键是熟知平方根的定义.

20．

【分析】

先根据数轴的定义得出，再根据绝对值运算、算术平方根进行化简，然后计算整式的加减即可得．

解：由题意得：，

则

．

故答案为：．

【点拨】本题考查了数轴的定义、绝对值运算、算术平方根、整式的加减，根据数轴的定义判断出是解题关键．

21．（1）x=±2；（2）﹣.

【分析】

（1）利用开平方可求得方程的解，

（2）利用开立方可求得方程的解．

解：（1）4x2﹣16=0，

x2=4，

x=±2．

（2）﹣8（x+1）3=27，

【点拨】考查平方根与立方根的应用，掌握平方根与立方根的定义是解题的关键.

22．．

试题分析：先找到介于哪两个整数之间，从而找到整数部分，小数部分让原数减去整数部分，然后代入求值即可．

解：因为4＜6＜9，所以2＜＜3，

即的整数部分是2，

所以2+的整数部分是4，小数部分是2+-4=-2，

即x=4，y=-2，所以=．

考点：1．估算无理数的大小；2．算术平方根．

23．a+2b－c的平方根为.

【分析】

先根据算术平方根及平方根的定义得出关于的方程组，求出的值，再估算出的取值范围求出c的值，代入所求代数式进行计算即可．

解：∵2a−1的算术平方根是3，3a+b−1的平方根是±4，

∴，

解得，

∵9<13<16，

∴

∴的整数部分是3，即c=3，

∴原式

6的平方根是

24．正方形D的边长为cm.

【分析】

根据正方形的面积公式结合勾股定理，可得正方形A、B、C、D的面积之和等于最大的正方形的面积，列出方程再求解方程即得结果.

解：如图所示，因为所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，故由勾股定理可知：正方形A、B的面积之和等于正方形E的面积，正方形C、D的面积之和等于正方形F的面积，正方形E、F的面积之和等于边长为10cm的正方形的面积，即正方形A、B、C、D的面积之和等于最大的正方形的面积，即等于102cm2，设正方形D的边长是xcm，于是有，解得，即正方形D的边长为cm.

【点拨】本题考查了勾股定理和算术平方根的综合应用，解题的关键是根据题意得出正方形A、B、C、D的面积之和等于图中最大的正方形的面积，列出方程，问题即得解决.

25．（1），验证见分析；（2）

【分析】

（1）根据题目给出的规律直接得出结果，再类比题目的变形过程验证；

（2）根据题目的规律进行计算即可．

解：（1），

，

，

（2），

，

．

【点拨】本题考查算术平方根，根据题目给出的规律得出算术平方根的运算结果是解题的关键，运用了类比的思想方法．

26．（1）；（2）6．

【分析】

（1）连接BD，然后利用面积法即可计算出S与之间的关系．

（2）将s=9代入S与之间的关系式，即可计算出BC+CD的值．

解：（1）如图，连结BD

∵∠DAB=∠BCD=90°，

∴AD2+AB2=DC2+BC2；

∵AD=AB，

∴2AD2=DC2+BC2；

（2）∵=9，

∴=6或=-6（舍去），

即BC+CD=6．

27．（1）；（2）不能剪出长宽之比为5：4，且面积为的大长方形，理由详见分析

【分析】

（1）根据已知得到大正方形的面积为400，求出算术平方根即为大正方形的边长；

（2）设长方形纸片的长为，宽为，根据面积列得，求出，得到，由此判断不能裁出符合条件的大正方形.

解：（1）∵用两个面积为的小正方形拼成一个大的正方形，

∴大正方形的面积为400，

∴大正方形的边长为

故答案为：20cm；

（2）设长方形纸片的长为，宽为，

，

解得：，

，

答：不能剪出长宽之比为5：4，且面积为的大长方形.

【点拨】此题考查利用算术平方根解决实际问题，利用平方根解方程，正确理解题意是解题的关键.