湘教版（2019）必修 第一册3.1 函数课前预习课件ppt

3.1.3　简单的分段函数

设x为任意实数，y是不超过x的最大整数，填写下表．

(1)y是关于x的函数吗？

(2)当－1≤x≤1时，y与x的关系如何表示？

知识点　分段函数

一般地，如果自变量在定义域的不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数叫作分段函数．

分段函数是一个函数还是几个函数？

[提示]　分段函数是一个函数，而不是几个函数．

分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)分段函数由几个函数构成．  (　　)

(2)函数f(x)＝是分段函数． (　　)

[答案]　(1)×　(2)√

2.下列给出的式子是分段函数的是(　　)

①f(x)＝②f(x)＝

③f(x)＝④f(x)＝

A．①② B．①④　　　

C．②④　　　 D．③④

B　[结合分段函数的定义可知①④是分段函数，②③中不同对应关系的定义域有重叠部分，故选B．]

类型1　分段函数的求值问题

【例1】　已知函数f(x)＝

(1)求f(－5)，f(－)，f 的值；

(2)若f(a)＝3，求实数a的值．

[解]　(1)由－5∈(－∞，－2]，－∈(－2,2)，－∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，

f(－)＝(－)2＋2×(－)＝3－2.

∵f ＝－＋1＝－，

而－2<－<2，

∴f ＝f ＝＋2×＝－3＝－.

(2)当a≤－2时，a＋1＝3，

即a＝2>－2，不合题意，舍去．

当－2<a<2时，a2＋2a＝3，

即a2＋2a－3＝0.

∴(a－1)(a＋3)＝0，

解得a＝1或a＝－3.

∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)，

∴a＝1符合题意．

当a≥2时，2a－1＝3，即a＝2符合题意．

综上可得，当f(a)＝3时，a＝1或a＝2.

1．分段函数求函数值的方法

(1)确定要求值的自变量属于哪一区间段．

(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．

2．已知函数值求字母取值的步骤

(1)先对字母的取值范围分类讨论．

(2)然后代入不同的解析式中．

(3)通过解方程求出字母的值．

(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．

1．函数f(x)＝则f(7)＝________.

8　[∵函数f(x)＝

∴f(7)＝f(f(12))＝f(9)＝f(f(14))＝f(11)＝8.]

类型2　分段函数的图象及应用

【例2】　(对接教材P74例题)已知函数f(x)＝－x2＋2，g(x)＝x，令φ(x)＝min{f(x)，g(x)}(即f(x)和g(x)中的较小者)．

(1)分别用图象法和解析式表示φ(x)；

(2)求函数φ(x)的定义域，值域．

[解]　(1)在同一个坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象如图①.

①　　　　　　　　　②

由图①中函数取值的情况，结合函数φ(x)的定义，可得函数φ(x)的图象如图②.

令－x2＋2＝x，得x＝－2或x＝1．

结合图②，得出φ(x)的解析式为φ(x)＝

(2)由图②知，φ(x)的定义域为R，φ(1)＝1，

∴φ(x)的值域为(－∞，1]．

分段函数图象的画法

(1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．

(2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．

2．已知函数f(x)＝1＋(－2<x≤2)．

(1)用分段函数的形式表示f(x)；

(2)画出f(x)的图象；

(3)写出函数f(x)的值域．

[解]　(1)当0≤x≤2时，f(x)＝1＋＝1，

当－2<x<0时，

f(x)＝1＋＝1－x，

∴f(x)＝

(2)函数f(x)的图象如图所示．

(3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)．

类型3　分段函数的实际应用

【例3】　如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7 cm，腰长为2 cm，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图象．

当直线l从B点向右移动时左边部分分别是什么图形，相应图形的面积能否直接套用公式求解.

[解]　过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H.

因为四边形ABCD是等腰梯形，底角为45°，AB＝2 cm，

所以BG＝AG＝DH＝HC＝2 cm，

又BC＝7 cm，所以AD＝GH＝3 cm.

(1)当点F在BG上，即x∈[0,2]时，y＝x2；

(2)当点F在GH上，即x∈(2,5]时，y＝×2＝2x－2；

(3)当点F在HC上，即x∈(5,7]时，y＝S五边形ABFED＝S梯形ABCD－SRt△CEF＝(7＋3)×2－(7－x)2＝－(x－7)2＋10.

综合(1)(2)(3)，得函数的解析式为

y＝

图象如图所示．

分段函数的建模

(1)当函数在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画．

(2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式．

3．某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：

(1)5公里以内(含5公里)，票价2元；

(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算)．

如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．

[解]　设票价为y元，里程为x公里，定义域为(0,20]．

由题意得函数的解析式如下：

y＝

函数图象如图所示：

1．已知函数f(x)＝则f(3)的值是(　　)

A．1 B．2

C．8 D．9

A　[f(3)＝3－2＝1．]

2．函数f(x)＝|x－1|的图象是(　　)

A　　　　　　　　　　B

C　　　　　　　　　　D

B　[f(x)＝|x－1|＝故选B．]

3．函数y＝的值域是________．

[答案]　[0，＋∞)

4．函数y＝f(x)的图象如图所示，则其解析式为________．

f(x)＝　[当0≤x≤1时，设f(x)＝kx，又过点(1,2)，故k＝2，

∴f(x)＝2x；

当1<x<2时，f(x)＝2；当x≥2时，f(x)＝3.

综上f(x)＝]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1．如何求分段函数的定义域和值域？

[提示]　分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集．

2．画分段函数的图象应注意哪些问题？

[提示]　分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一直角坐标系中，根据分段函数每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意确定每段图象的端点是空心点还是实心点，各段函数图象组合到一起就可得到整个分段函数的图象．

3．分段函数求值的关键是什么？

[提示]　分段函数求值的关键是找准自变量所在的区间．