第二课时　函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象与性质（二）

课标要求　1.能根据y＝Asin（ωx＋φ）的部分图象确定其解析式.2.整体把握函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象与性质，并能解决有关问题.

素养要求　通过函数图象研究函数的性质，逐步发展学生的数学抽象、直观想象、逻辑推理素养.

自 主 梳 理

1.简谐运动

简谐运动y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）中，A表示这个振动物体偏离平衡位置的最大距离，称为振幅，周期T＝，而f＝＝表示单位时间内往复振动的次数称为频率，ωx＋φ称为相位，x＝0时的相位φ称为初相.

2.函数y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）的有关性质

自 主 检 验

1.思考辨析，判断正误

（1）y＝Asin（ωx＋φ）的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形.（√）

（2）在y＝Asin（ωx＋φ）的图象中，相邻的两条对称轴的距离为1个周期.（×）

提示　相邻对称轴间距离为半个周期.

（3）函数y＝sin的图象对称轴为x＝＋（k∈Z）.（√）

（4）函数f（x）＝sin的图象的对称中心是（k∈Z）.（×）

提示　由x＋＝kπ（k∈Z），得x＝－＋kπ（k∈Z），故对称中心是（k∈Z）.

2.函数y＝2cos的最小正周期为　　　　.

答案　π

解析　T＝＝π.

3.函数y＝2sin x向右平移个单位，得到函数f（x），则f（x）的最大值为　　　　.

答案　2

解析　由题意知f（x）＝2sin，所以f（x）max＝2.

4.若f（x）＝2sin的单调递增区间为　　　　.

答案　（k∈Z）

解析　－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ（k∈Z），即－＋2kπ≤2x≤＋2kπ（k∈Z），

∴－＋kπ≤x≤＋kπ（k∈Z）.

题型一　函数y＝Asin（ωx＋φ）中参数的物理意义

例1 （1）简谐运动f（x）＝2sin

的图象经过点P（0，1），则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为（　　）

A.T＝6，φ＝   B.T＝6，φ＝

C.T＝6π，φ＝   D.T＝6π，φ＝

（2）函数y＝－6sin，x∈R的振幅、周期、初相为（　　）

A.A＝－6，T＝＝π，φ＝

B.A＝－6，T＝＝π，φ＝－

C.A＝－6，T＝＝π，φ＝π

D.A＝6，T＝＝π，φ＝π

答案　（1）A　（2）D

解析　（1）由f（0）＝1，得φ＝＋2kπ或π＋2kπ，k∈Z，结合|φ|<，知φ＝.

由函数的周期得T＝＝6.

（2）y＝－6sin＝6sin＝6sin，可知选D.

思维升华　首先把函数解析式化为y＝Asin（ωx＋φ）（其中A>0，ω>0）的形式，再求振幅、周期、初相.应注意A>0，ω>0.

训练1 （1）简谐运动y＝4sin的相位、初相、频率是（　　）

A.5x－，－，   B.5x－，4，

C.5x－，－，   D.4，，2π

（2）函数y＝－2sin的周期、振幅、初相分别是（　　）

A.2π，－2，   B.4π，－2，

C.2π，2，－   D.4π，2，－

答案　（1）C　（2）D

解析　（1）由解析式直接获得.

（2）y＝－2sin＝2sin，可知选D.

题型二　由图象求三角函数的解析式

例2 如图是函数y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0，|φ|<）的图象的一部分，求此函数的解析式.

解　法一　（逐一定参法）：

由图象知A＝3，T＝－＝π，

∴ω＝＝2，∴y＝3sin（2x＋φ）.

∵点在函数图象上，

∴0＝3sin.

∴－×2＋φ＝kπ（k∈Z），

得φ＝＋kπ（k∈Z）.

∵|φ|<，∴φ＝，

∴y＝3sin.

法二　（待定系数法）：由图象知A＝3.

∵图象过点和，

∴解得

∴y＝3sin.

法三　（图象变换法）：

由A＝3，T＝π，点在图象上，可知函数图象由y＝3sin 2x向左平移个单位长度而得，所以y＝3sin 2，

即y＝3sin.

思维升华　已知图象求y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）的方法

法一：如果从图象可确定振幅和周期，则可直接确定函数表达式y＝Asin（ωx＋φ）中的参数A和ω，再选取“第一个零点”（即五点作图法中的第一个）的数据代入“ωx＋φ＝0”（要注意正确判断哪一个点是“第一零点”）求得φ.

法二：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式.

法三：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asin ωx，根据图象平移规律可以确定相关的参数.

训练2 若函数y＝sin（ωx＋φ）（x∈R，ω>0，0≤φ<2π）的部分图象如图，则（　　）

A.ω＝，φ＝   B.ω＝，φ＝

C.ω＝，φ＝   D.ω＝，φ＝

答案　C

解析　由所给图象可知，＝2，∴T＝8.

又∵T＝，∴ω＝.

∵在x＝1处取得最大值，

∴＋φ＝＋2kπ（k∈Z），

∴φ＝2kπ＋（k∈Z），

∵0≤φ<2π，∴φ＝.

题型三　y＝Asin（ωx＋φ）的性质的应用

例3 已知函数f（x）＝sin＋.

（1）求f（x）的振幅、最小正周期及单调递增区间；

（2）求f（x）的图象的对称轴方程和对称中心；

（3）求f（x）的最小值及取得最小值时x的取值集合.

解　（1）函数f（x）的振幅为，最小正周期T＝＝π，

由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋（k∈Z），

得kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z），

所以f（x）的单调递增区间为（k∈Z）.

（2）令2x＋＝kπ＋（k∈Z），

则x＝＋（k∈Z），

所以对称轴方程为x＝＋（k∈Z）；

令2x＋＝kπ（k∈Z），

则x＝－（k∈Z），

所以对称中心为（k∈Z）.

（3）sin＝－1，

即2x＋＝－＋2kπ（k∈Z），

x＝－＋kπ（k∈Z）时，

f（x）取得最小值为，

此时x的取值集合是.

思维升华　研究y＝Asin（ωx＋φ）的性质的两种方法

（1）客观题可用验证法：x＝θ为对称轴，则f（θ）＝±A；（θ，0）为对称中心，则f（θ）＝0；[m，n]为函数单调区间，则[ωm＋φ，ωn＋φ]为y＝sin x单调区间的子区间.

（2）主观题主要利用整体代换法，令ωx＋φ＝t，则原问题转化为研究y＝Asin t的性质.

训练3 （1）函数f（x）＝2cos的对称中心的坐标是　　　　Ｗ.

（2）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω>0，|φ|<）的部分图象如图所示，则下列为f（x）的单调递减区间是（　　）

A.   B.

C.   D.

答案　（1）（k∈Z）　（2）B

解析　（1）令2x－＝＋kπ，k∈Z，可解得x＝＋kπ，k∈Z.即所求函数的对称中心的坐标是（k∈Z）.

（2）由T＝－＝，得T＝π＝，

所以ω＝2.

当x＝时，f（x）＝1，

可得sin＝1.

因为|φ|<，所以φ＝，

故f（x）＝sin.

所以f（x）的单调递减区间为，k∈Z，

结合选项可知为f（x）的单调递减区间，选B.

[课堂小结]

1.由函数y＝Asin（ωx＋φ）（ω>0，A>0）的图象求其解析式时的难点是求φ，一般用解方程法或“五点法”求解.

2.正弦型函数y＝Asin（ωx＋φ）和余弦型函数y＝Acos（ωx＋φ）不一定具备奇偶性.对于函数y＝Asin（ωx＋φ），当φ＝kπ（k∈Z）时为奇函数，当φ＝kπ＋（k∈Z）时为偶函数；对于函数y＝Acos（ωx＋φ），当φ＝kπ（k∈Z）时为偶函数，当φ＝kπ＋（k∈Z）时为奇函数.

一、基础达标

1.已知函数y＝sin（ωx＋φ）的部分图象如图所示，则（　　）

A.ω＝1，φ＝   B.ω＝1，φ＝－

C.ω＝2，φ＝   D.ω＝2，φ＝－

答案　D

解析　依题意得T＝＝4×＝π，所以ω＝2.

又sin＝sin＝1，

所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z，

所以φ＝－＋2kπ，k∈Z，

由|φ|<，得φ＝－.故选D.

2.若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（　　）

A.x＝－（k∈Z） B.x＝＋（k∈Z）

C.x＝－（k∈Z） D.x＝＋（k∈Z）

答案　B

解析　将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，所得到的图象对应函数的解析式为y＝2sin 2＝2sin，由2x＋＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋kπ，k∈Z.

3.把函数y＝sin的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数是（　　）

A.非奇非偶函数 B.既是奇函数又是偶函数

C.奇函数 D.偶函数

答案　D

解析　y＝sin图象向右平移个单位得到y＝sin＝sin＝－cos 2x的图象，y＝－cos 2x是偶函数.

4.（多选）已知a是实数，则函数f（x）＝1＋asin ax的图象可能是（　　）

答案　ABC

解析　当a＝0时f（x）＝1，C符合；

当0<|a|<1时T>2π，且最小值为正数，A符合；

当|a|>1时T<2π，B符合.D不符合.

5.（多选）设函数f（x）＝cos，则下列结论正确的是（　　）

A.f（x）的一个周期为－2π 

B.y＝f（x）的图象关于直线x＝对称

C.f（x＋π）的一个零点为x＝ 

D.f（x）在单调递减

答案　ABC

解析　因为f（x）的周期为2kπ（k∈Z且k≠0），所以f（x）的一个周期为－2π，A项正确；

因为f（x）的图象的对称轴为直线x＝kπ－（k∈Z），所以当k＝3时，直线x＝π是其对称轴，B项正确；

f（x＋π）＝cos，将x＝代入得到f＝cos π＝0，所以x＝是f（x＋π）的一个零点，C项正确；

因为f（x）＝cos的单调递减区间为（k∈Z），单调递增区间为（k∈Z），所以是减区间，是增区间，D项错误.故选ABC.

6.已知函数y＝sin（ωx＋φ） （ω>0，－π≤φ<π）的图象如下图所示，则φ＝　　　　.

答案　

解析　由图象知函数y＝sin（ωx＋φ）的周期为2＝，∴＝，∴ω＝.

∵当x＝时，y有最小值－1，

∴×＋φ＝2kπ－ （k∈Z）.

∵－π≤φ<π，∴φ＝.

7.函数y＝sin 2x的图象向右平移φ（φ>0）个单位，得到的图象关于直线x＝对称，则φ的最小值为　　　　.

答案　

解析　平移后解析式为y＝sin（2x－2φ），图象关于x＝对称，

∴2×－2φ＝kπ＋（k∈Z），

∴φ＝－－（k∈Z），又∵φ>0，

∴当k＝－1时，φ的最小值为.

8.已知函数f（x）＝Acos（ωx＋φ）的图象如图所示，f（）＝－，则f（0）＝　　　　.

答案　

解析　由题图可知＝－＝，T＝，

则可补全函数图象得f＝0，

故为函数的一个中心对称点，

所以得f（0）＝－f＝.

9.已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0，－<φ<）一个周期的图象如图所示.

（1）求函数f（x）的最小正周期T及最大值、最小值；

（2）求函数f（x）的解析式及单调递增区间.

解　（1）由题图知T＝－＝，

∴T＝π，最大值为1，最小值为－1.

（2）由（1）知ω＝＝2.

又2×＋φ＝2kπ，k∈Z，

解得φ＝2kπ＋，k∈Z，

又－<φ<，

∴φ＝，A＝1.

则f（x）＝sin，

由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋（k∈Z），

得kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z），

故f（x）的单调递增区间是（k∈Z）.

10.已知曲线y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0，|φ|≤）上一个最高点为（2，），该最高点与相邻的最低点间的连线与x轴交于点（6，0）.

（1）求函数的解析式；

（2）求函数在x∈[－6，0]上的值域.

解　（1）由题意可知A＝，＝6－2＝4，

∴T＝16.即＝16，∴ω＝，

∴y＝sin.

又图象过最高点（2，），

∴sin＝1，

故＋φ＝＋2kπ，k∈Z，φ＝＋2kπ，k∈Z，

由|φ|≤，得φ＝，

∴y＝sin.

（2）∵－6≤x≤0，∴－≤x＋≤，

∴－≤sin≤1.

即函数在x∈[－6，0]上的值域为[－，1].

二、能力提升

11.（多选）关于f（x）＝4sin （x∈R），有下列命题正确的是（　　）

A.由f（x1）＝f（x2）＝0可得x1－x2是π的整数倍

B.y＝f（x）的表达式可改写成y＝4cos

C.y＝f（x）图象关于对称

D.y＝f（x）图象关于x＝－对称

答案　BC

解析　对于A，由f（x）＝0，可得2x＋＝kπ （k∈Z）.

∴x＝π－，∴x1－x2是的整数倍，∴A错；

对于B，f（x）＝4sin利用公式得：

f（x）＝4cos＝4cos.∴B对；

对于C，f（x）＝4sin的对称中心满足2x＋＝kπ，k∈Z，

∴x＝π－，k∈Z.

∴是函数y＝f（x）的一个对称中心，∴C对；

对于D，函数y＝f（x）的对称轴满足2x＋＝＋kπ，k∈Z.

∴x＝＋，k∈Z，∴D错.

12.函数y＝cos（2x＋φ）（－π≤φ<π）的图象向右平移个单位后，与函数y＝sin的图象重合，则φ＝　　　　　Ｗ.

答案　

解析　函数y＝cos（2x＋φ）向右平移个单位，得到y＝sin，

即y＝sin向左平移个单位得到函数y＝cos（2x＋φ），y＝sin向左平移个单位，

得y＝sin＝sin＝－sin＝cos＝cos，即φ＝.

13.已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0，|φ|<）的图象与y轴的交点为（0，1），它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x0，2）和（x0＋2π，－2）.

（1）求f（x）的解析式及x0的值；

（2）求f（x）的单调增区间；

（3）若x∈[－π，π]，求f（x）的值域.

解　（1）由题意作出f（x）的简图如图.

由图象知A＝2，由＝2π，得T＝4π，

∴4π＝，即ω＝，

∴f（x）＝2sin，

∴f（0）＝2sin φ＝1，

又∵|φ|<，∴φ＝，

∴f（x）＝2sin.

∵f（x0）＝2sin＝2，

∴x0＋＝＋2kπ，k∈Z.

∴x0＝4kπ＋，k∈Z，

又（x0，2）是y轴右侧的第一个最高点，

∴x0＝.

（2）由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，

得－＋4kπ≤x≤＋4kπ，k∈Z，

∴f（x）的单调增区间为（k∈Z）.

（3）∵－π≤x≤π，∴－≤x＋≤，

∴－≤sin≤1，

∴－≤f（x）≤2，

故f（x）的值域为[－，2].

三、创新拓展

14.将函数y＝sin图象上的点P向左平移s（s>0）个单位长度得到P′.若P′位于函数y＝sin 2x的图象上，则（　　）

A.t＝，s的最小值为 B.t＝，s的最小值为

C.t＝，s的最小值为 D.t＝，s的最小值为

答案　A

解析　因为点P在函数y＝sin的图象上，

所以t＝sin＝sin ＝.

所以P.

将点P向左平移s（s>0）个单位长度得P′.

因为在函数y＝sin 2x的图象上，所以sin2＝，

即cos 2s＝，

所以2s＝2kπ＋或2s＝2kπ＋π（k∈Z），

即s＝kπ＋或s＝kπ＋（k∈Z），

所以s的最小值为.