湘教版（2019）3.2 函数的基本性质图文ppt课件

课后素养落实(二十二)　函数的最大(小)值

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．函数y＝在[2,3]上的最小值为(　　)

A．2　 B．　　　　

C．　　　　 D．－

B　[∵函数y＝在[2,3]上单调递减，∴当x＝3时，y最小值＝＝.]

2．函数f(x)＝－x2＋4x－6，x∈[0,5]的值域为(　　)

A．[－6，－2] B．[－11，－2]

C．[－11，－6] D．[－11，－1]

B　[函数f(x)＝－x2＋4x－6＝－(x－2)2－2，x∈[0,5]，

所以当x＝2时，f(x)取得最大值为－(2－2)2－2＝－2；

当x＝5时，f(x)取得最小值为－(5－2)2－2＝－11，

所以函数f(x)的值域是[－11，－2]．故选B．]

3．函数y＝|x＋1|＋2的最小值是(　　)

A．0 B．－1

C．2 D．3

C　[y＝|x＋1|＋2的图象如图所示．

由图可知函数的最小值为2.]

4．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x(其中销售量单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为(　　)

A．90万元 B．60万元

C．120万元 D．120.25万元

C　[设公司在甲地销售x辆，则在乙地销售(15－x)辆，公司获利为

L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30＝－＋30＋，

∴当x＝9或10时，L最大为120万元．]

5．(多选题)下列关于函数y＝ax＋1，x∈[0,2]的说法正确的是(　　)

A．当a<0时，此函数的最大值为1，最小值为2a＋1

B．当a<0时，此函数的最大值为2a＋1，最小值为1

C．当a>0时，此函数的最大值为1，最小值为2a＋1

D．当a>0时，此函数的最大值为2a＋1，最小值为1

AD　[当a>0时，y＝ax＋1在[0,2]上单调递增，

∴当x＝0时，y最小值＝1，

当x＝2时，y最大值＝2a＋1；

当a<0时，y＝ax＋1在[0,2]上单调递减，

∴当x＝0时，y最大值＝1，

当x＝2时，y最小值＝2a＋1．故选AD．]

二、填空题

6．函数f(x)＝在[1，b](b>1)上的最小值是，则b＝________.

4　[因为f(x)＝在[1，b]上单调递减，所以f(x)在[1，b]上的最小值为f(b)＝＝，所以b＝4.]

7．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为________．

1　[函数f(x)＝－x2＋4x＋a＝－(x－2)2＋4＋a，x∈[0,1]，且函数有最小值－2.

故当x＝0时，函数有最小值，

当x＝1时，函数有最大值．

∵当x＝0时，f(0)＝a＝－2，

∴f(x)最大值＝f(1)＝－1＋4－2＝1．]

8．函数f(x)＝－3x在区间[2,4]上的最大值为________．

－4　[∵y＝在区间[2,4]上单调递减，y＝－3x在区间[2,4]上单调递减，∴函数f(x)＝－3x在区间[2,4]上单调递减，∴f(x)最大值＝f(2)＝－3×2＝－4.]

三、解答题

9．已知函数f(x)＝(x>0)．

(1)求证：f(x)在(0,1]上单调递增；

(2)求函数f(x)的最大值和最小值．

[解]　(1)证明：设x1，x2是区间(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1<x2，

则f(x1)－f(x2)＝－

＝＝.

当0<x1<x2≤1时，x2－x1>0，x1x2－1<0，

∴f(x1)－f(x2)<0，f(x1)<f(x2)，

∴f(x)在(0,1]上单调递增．

(2)当1≤x1<x2时，x2－x1>0，x1x2－1>0，

f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)，

∴f(x)在[1，＋∞)上单调递减．

∴结合(1)(2)可知，f(x)最大值＝f(1)＝，无最小值．

10．某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x(不低于进价，单位：元)与日销售量y(单位：件)之间有如下关系：

(1)确定x与y的一个一次函数关系式y＝f(x)(注明函数定义域)；

(2)若日销售利润为P元，根据(1)中的关系式写出P关于x的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？

[解]　(1)因为f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b，由表格得方程组解得

所以y＝f(x)＝－3x＋162.

又y≥0，所以30≤x≤54，

故所求函数关系式为y＝－3x＋162，x∈[30,54]．

(2)由题意得，

P＝(x－30)y＝(x－30)(162－3x)

＝－3x2＋252x－4 860

＝－3(x－42)2＋432，x∈[30,54]．

当x＝42时，最大的日销售利润P＝432，即当销售单价为42元时，获得最大的日销售利润．

1．函数f(x)＝－x＋在上的最大值是(　　)

A． B．－

C．－2 D．2

A　[∵f(x)＝－x＋在上单调递减，

∴f(x)最大值＝f(－2)＝2－＝.]

2．(多选题)已知函数f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])，g(x)＝x2－2x(x∈[0,3])，下列结论正确的是(　　)

A．∀x∈[－2,2]，f(x)>a恒成立，则实数a的取值范围是a<－3

B．∃x∈[－2,2]，f(x)>a，则实数a的取值范围是a<－3

C．∃x∈[0,3]，g(x)＝a，则实数a的取值范围是－1≤a≤3

D．∀x∈[－2,2]，∃t∈[0,3]，f(x)＝g(t)

AC　[在A中，因为f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])是单调递减函数，所以当x＝2时，函数的最小值为－3，因此a<－3，A正确；在B中，因为f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])是单调递减函数，所以当x＝－2时，函数的最大值为5，因此a<5，B错误；在C中，函数g(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0,3]，所以当x＝1时，函数g(x)取得最小值－1，当x＝3时，函数g(x)取得最大值3，故函数的值域为[－1,3]，由g(x)＝a有解，知a∈g(x)的值域，即－1≤a≤3，C正确；在D中，∀x∈[－2,2]，∃t∈[0,3]，f(x)＝g(t)等价于f(x)的值域是g(t)的值域的子集，而f(x)的值域是[－3,5]，g(t)的值域是[－1,3]，D错误．]

3．已知函数f(x)＝求函数f(x)的最大值为________，最小值为________．

2　－　[作出f(x)的图象如图．由图象可知，当x＝2时，f(x)取最大值为2；

当x＝时，f(x)取最小值为－.

所以f(x)的最大值为2，最小值为－.]

4．用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值．设f(x)＝min{x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为________．

6　[在同一个平面直角坐标系内画出函数y＝x＋2和y＝10－x的图象．

根据min{x＋2,10－x}(x≥0)的含义可知，f(x)的图象应为图中的实线部分．

解方程x＋2＝10－x，得x＝4，此时y＝6，故两图象的交点为(4,6)．

所以f(x)＝其最大值为交点的纵坐标，所以f(x)的最大值为6.]

已知函数y＝x＋有如下性质：如果常数t>0，那么该函数在(0，]上单调递减，在[，＋∞)上单调递增．

(1)已知f(x)＝，x∈[0,1]，利用上述性质，求函数f(x)的单调区间和值域；

(2)对于(1)中的函数f(x)和函数g(x)＝－x－2a，若对于任意的x1∈[0,1]，总存在x2∈[0,1]，使得g(x2)＝f(x1)成立，求实数a的值．

[解]　(1)f(x)＝＝2x＋1＋－8，设u＝2x＋1，x∈[0,1]，则1≤u≤3，故y＝u＋－8，u∈[1,3]．由已知性质得，当1≤u≤2，即0≤x≤时，f(x)单调递减，所以递减区间为；当2≤u≤3，即≤x≤1时，f(x)单调递增，所以递增区间为.

由f(0)＝－3，f＝－4，f(1)＝－，得f(x)的值域为[－4，－3]．

(2)由于g(x)＝－x－2a，x∈[0,1]上单调递减，

故g(x)∈[－1－2a，－2a]．

由题意，知f(x)的值域为g(x)的值域的子集，从而

解得a＝.