5.3.2　正切函数的图象与性质

课标要求　1.了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函数的性质.2.能利用正切函数的图象与性质解决有关问题.

素养要求　通过利用正切函数的图象，发现数学规律，发展学生的数学抽象、逻辑推理及数学运算素养.

自 主 梳 理

函数y＝tan x的图象和性质

自 主 检 验

1.思考辨析，判断正误

(1)函数y＝tan x在其定义域上是增函数.(×)

提示　y＝tan x在区间(k∈Z)上是增函数，但在其定义域上不是增函数.

(2)函数y＝tan 2x的周期为π.(×)

提示　y＝tan 2x的周期为.

(3)正切函数y＝tan x无单调递减区间.(√)

(4)函数y＝2tan x，x∈的值域是[0，＋∞).(√)

2.tan x≥1的解集为(　　)

A. B.

C. D.

答案　D

解析　∵tan x≥1，由图象知，＋kπ≤x<＋kπ(k∈Z).

故选D.

3.函数y＝2tan (－x)是(　　)

A.奇函数 B.偶函数

C.既是奇函数，又是偶函数 D.非奇非偶函数

答案　A

解析　y＝2tan (－x)＝－2tan x，为奇函数.

4.与函数y＝tan的图象不相交的一条直线是 (　　)

A.x＝   B.x＝－

C.x＝   D.x＝

答案　D

解析　∵2x＋≠＋kπ(k∈Z)，

∴x≠＋(k∈Z)，故选D.

题型一　正切函数的定义域、值域问题

例1 (1)函数y＝3tan(－)的定义域为________；

(2)函数y＝tan2x－2tan x的值域为________.

答案　(1){x|x≠－－4kπ，k∈Z}

(2)[－1，3＋2]

解析　(1)由－≠＋kπ，k∈Z，

得x≠－－4kπ，k∈Z，

即函数的定义域为{x|x≠－－4kπ，k∈Z}.

(2)令u＝tan x，∵|x|≤，

∴由正切函数的图象知u∈[－，]，

∴原函数可化为y＝u2－2u，u∈[－，]，

∵二次函数y＝u2－2u＝(u－1)2－1图象开口向上，对称轴方程为u＝1，

∴当u＝1时，ymin＝－1，

当u＝－时，ymax＝3＋2，

∴原函数的值域为[－1，3＋2].

思维升华　(1)求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时，要充分利用三角函数的图象或三角函数线.

(2)处理正切函数值域时，应注意正切函数自身值域为R，将问题转化为某种函数的值域求解.

训练1 函数y＝tan2＋tan＋1的定义域为________，值域为________.

答案　　

解析　由3x＋≠kπ＋，k∈Z，

得x≠＋，k∈Z，

所以函数的定义域为.

设t＝tan，

则t∈R，y＝t2＋t＋1＝＋≥，

所以原函数的值域是.

题型二　正切函数的单调性

角度1　求正切函数的单调区间

例2 求函数y＝tan(－x＋)的单调区间.

解　y＝tan(－x＋)＝－tan(x－)，

由－＋kπ<x－<＋kπ(k∈Z)得－π＋4kπ<x<3π＋4kπ，k∈Z，所以函数y＝

tan(－x＋)的单调递减区间是(－π＋4kπ，3π＋4kπ)(k∈Z).

思维升华　y＝tan(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx＋φ看成一个整体，解－＋kπ<ωx＋φ<＋kπ，k∈Z即可.当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间.

角度2　比较大小

例3 不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小.

(1)tan与tan ；

(2)tan与tan.

解　(1)因为tan＝tan，tan＝tan，

又0<<<，y＝tan x在上是增函数，

所以tan<tan，即tan<tan.

(2)因为tan＝－tan，tan＝－tan，

又0<<<，

y＝tan x在上是增函数，

所以tan>tan，

所以－tan<－tan，

即tan<tan.

思维升华　运用正切函数单调性比较大小的方法

(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内.

(2)运用单调性比较大小关系.

训练2 (1)函数y＝3tan的单调减区间为________.

答案　(k∈Z)

解析　y＝3tan＝－3tan，

∴kπ－<－<kπ＋(k∈Z)，

∴4kπ－<x<4kπ＋(k∈Z)，

∴函数y＝3tan的递减区间为(k∈Z).

(2)比较大小：tan(－)和tan(－).

解　∵tan(－)＝－tan(2π－)＝tan，

tan(－)＝－tan(2π－)＝tan.

又0<<<，y＝tan x在(0，)内单调递增，

∴tan<tan，即tan(－)>tan(－).

题型三　正切函数图象、性质的应用

例4 设函数f(x)＝tan.

(1)求函数f(x)的最小正周期、对称中心；

(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图.

解　(1)∵ω＝，

∴最小正周期T＝＝＝2π.

令－＝(k∈Z)，

得x＝kπ＋(k∈Z)，

∴f(x)的对称中心是(k∈Z).

(2)令－＝0，则x＝；

令－＝，则x＝；

令－＝－，则x＝；

令－＝，则x＝.

令－＝－，则x＝－.

∴函数y＝tan的图象与x轴的一个交点坐标是，在这个交点左，右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x＝－，x＝，从而得到函数y＝f(x)在一个周期内的简图(如图).

思维升华　熟练掌握正切函数的图象和性质是解决正切函数综合问题的关键，正切曲线是被相互平行的直线x＝＋kπ，k∈Z隔开的无穷多支曲线组成，y＝tan x的对称中心为，k∈Z.

训练3 画出f(x)＝tan|x|的图象，并根据其图象判断其单调区间、周期性、奇偶性.

解　f(x)＝tan|x|化为

f(x)＝

根据y＝tan x的图象，作出f(x)＝tan|x|的图象，如图所示，

由图象知，f(x)不是周期函数，是偶函数，单调增区间为[0，)，(kπ＋，kπ＋π)(k∈N)；单调减区间为(－，0]，(kπ－π，kπ－)(k＝0，－1，－2，…).

[课堂小结]

1.正切函数y＝tan x有无数多条渐近线，渐近线方程为x＝kπ＋，k∈Z，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增.

2.(1)正切函数y＝tan x的定义域是，值域是R.

(2)正切函数y＝tan x的最小正周期是π，函数y＝Atan(ωx＋φ) (Aω≠0)的周期为T＝.

(3)正切函数在(k∈Z)上递增，不能写成闭区间.正切函数无单调减区间.

一、基础达标

1.函数y＝tan x＋是(　　)

A.奇函数

B.偶函数

C.既是奇函数又是偶函数

D.既不是奇函数又不是偶函数

答案　A

解析　函数的定义域是{x|x≠kπ，k∈Z}，且tan(－x)＋＝－tan x－＝－(tan x＋)，所以函数y＝tan x＋是奇函数.

2.x∈[0，2π]，y＝＋的定义域为(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　C

解析　由题意知

∴函数的定义域为，故选C.

3.函数y＝的值域是(　　)

A.[－1，1] B.(－∞，－1]∪[1，＋∞)

C.(－∞，1] D.[－1，＋∞)

答案　B

解析　∵－≤x≤且x≠0，∴－1≤tan x≤1，且tan x≠0，令tan x＝t，则y＝(如图)，∴y≤－1或y≥1.

4.不等式tan x＜－的解集是(　　)

A. B.(k∈Z)

C. D.(k∈Z)

答案　D

解析　在内，不等式tan x＜－的解－＜x＜－.

所以原不等式的解集为(k∈Z).

5.函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间内的图象是(　　)

答案　D

解析　当<x<π时，tan x<sin x，y＝2tan x<0；

当x＝π时，y＝0；

当π<x<时，tan x>sin x，y＝2sin x<0.故选D.

6.函数y＝tan x(≤x≤，且x≠)的值域是________.

答案　(－∞，－1]∪[1，＋∞)

解析　函数y＝tan x在[，)上单调递增，在(，]上也是单调递增，所以函数的值域是(－∞，－1]∪[1，＋∞).

7.比较大小：tan(－)________tan(－).

答案　<

解析　tan(－)＝tan，tan(－)＝tan，

又y＝tan x在(，π)上是增函数，

所以tan<tan，

即tan(－)<tan(－).

8.若tan(2x－)≤1，则x的取值范围是________.

答案　{x|－＋kπ<x ≤＋kπ(k∈Z)}

解析　由题意可得－＋kπ<2x－≤＋kπ，k∈Z，解得－＋kπ<x≤＋kπ，k∈Z.

9.求函数y＝－tan2x＋4tan x＋1，x∈的值域.

解　∵－≤x≤，∴－1≤tan x≤1.

令tan x＝t，则t∈[－1，1].

∴y＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5.

∴当t＝－1，即x＝－时，ymin＝－4，

当t＝1，即x＝时，ymax＝4.

故所求函数的值域为[－4，4].

10.已知函数f(x)＝3tan.

(1)求f(x)的最小正周期和减区间；

(2)试比较f(π)与f的大小.

解　(1)因为f(x)＝3tan＝－3tan，

所以T＝＝＝4π.

由kπ－<－<kπ＋(k∈Z)，

得4kπ－<x<4kπ＋(k∈Z).

因为y＝3tan在

(k∈Z)内是增函数，

所以f(x)＝－3tan在(k∈Z)内是减函数.

故原函数的最小正周期为4π.

减区间为(k∈Z).

(2)f(π)＝3tan＝3tan＝－3tan ，

f＝3tan＝3tan＝－3tan ，

因为0<<<，

且y＝tan x在上是增函数，

所以tan <tan ，所以f(π)>f.

二、能力提升

11.(多选)方程tan＝在区间[0，2π)上的解为(　　)

A.0   B. 

C.π   D.

答案　ABCD

解析　由tan＝，得2x＋＝＋kπ(k∈Z)，

∴x＝(k∈Z).

又x∈[0，2π)，∴x＝0，，π，.

12.已知函数f(x)＝sin x(x∈[0，π])和函数g(x)＝tan x的图象交于A，B，C三点，则△ABC的面积为________.

答案　

解析　联立得sin x＝0或cos x＝.

因为x∈[0，π]，

所以x＝0或x＝或x＝π，

所以函数f(x)＝sin x(x∈[0，π])与函数g(x)＝tan x图象的交点为A(0，0)，B，C(π，0)，

所以△ABC的面积S＝×π×＝.

13.已知函数f(x)＝x2＋2xtan θ－1，x∈[－1，]，其中θ∈.

(1)当θ＝－时，求函数的最大值和最小值；

(2)若y＝f(x)在区间[－1，]上是单调函数，求θ的取值范围.

解　(1)当θ＝－，

f(x)＝x2－x－1＝－.

∵x∈[－1，]，

∴当x＝时，f(x)取得最小值－，

当x＝－1时，f(x)取得最大值.

(2)f(x)＝(x＋tan θ)2－1－tan2θ是关于x的二次函数，它的图象的对称轴为直线

x＝－tan θ.

∵y＝f(x)在区间[－1，]上是单调函数，

∴－tan θ≤－1或－tan θ≥，

即tan θ≥1或tan θ≤－.

又θ∈，

∴θ的取值范围是∪.

三、创新拓展

14.(多选)关于函数y＝tan，下列说法不正确的是(　　)

A.是奇函数

B.在区间上单调递减

C.为其图象的一个对称中心

D.最小正周期为π

答案　ABD

解析　函数y＝tan是非奇非偶函数，A错；

函数y＝tan在上单调递增，B错；

y＝tan的最小正周期T＝，故D错；

当x＝时，y＝tan＝tan 0＝0，故选ABD.