培优课　幂函数单调性的常见应用

利用幂函数单调性可以比较幂值大小、求参数、解不等式，下面就这三个常见应用通过例题加以剖析.

类型一　比较幂值的大小

例1 比较下列各组数的大小：

(1)3－和3.1－；

(2)4.1，3.8－和(－1.9).

解　(1)∵函数y＝x－在(0，＋∞)上为减函数，又3<3.1，

∴3－>3.1－.

(2)∵函数y＝x在(0，＋∞)上为增函数，y＝x－在(0，＋∞)上为减函数，

∴4.1>1＝1，0<3.8－<1－＝1.

又(－1.9)<0，∴(－1.9)<3.8－<4.1.

类型二　已知单调性求参数

例2 幂函数y＝(m2－4m＋4)xm2－6m＋8在(0，＋∞)上为增函数，则实数m的值为(　　)

A.1或3   B.3

C.2   D.1

答案　D

解析　∵y＝(m2－4m＋4)xm2－6m＋8为幂函数，

∴m2－4m＋4＝1，即(m－1)(m－3)＝0，

∴m＝1或m＝3.

当m＝1时，m2－6m＋8＝3，则y＝x3在(0，＋∞)上为增函数，满足题意；

当m＝3时，m2－6m＋8＝－1，则y＝x－1在(0，＋∞)上为减函数，不满足题意，

∴m＝3应舍去.

类型三　利用幂函数的单调性解不等式

例3 (1)已知幂函数f(x)＝x－，若f(a－1)<f(8－2a)，则a的取值范围是(　　)

A.(3，4)   B.(－1，＋∞)

C.(－∞，4)   D.(－1，4)

(2)已知幂函数y＝x3m－9(m∈N＋)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上为减函数，则满足不等式(a＋1)－<(3－2a)－的实数a的取值范围为________.

答案　(1)A　(2)(－∞，－1)∪

解析　(1)∵幂函数f(x)＝x－＝的定义域为{x|x>0}，在(0，＋∞)上单调递减，

∴若f(a－1)<f(8－2a)，

则解得

即3<a<4，

∴a的取值范围是(3，4).

(2)由幂函数y＝x3m－9(m∈N＋)的图象关于y轴对称，得该函数为偶函数，即m为奇数.

又幂函数y＝x3m－9(m∈N＋)在(0，＋∞)上为减函数，

所以3m－9<0，即m<3，又m∈N＋，所以m＝1.

则(a＋1)－<(3－2a)－可转化为(a＋1)－<(3－2a)－.

函数y＝x－的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且在(－∞，0)和(0，＋∞)上均为减函数，

所以原不等式可转化为

或或

解得<a<或a<－1.