第二课时　用有向线段表示三角函数

课标要求　1.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.2.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题.

素养要求　通过学习用有向线段表示三角函数，发展学生的数学抽象、数学运算及直观想象素养.

自 主 梳 理

1.三角函数线

如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于点P.过点P作x轴的垂线PM，垂足为M，过A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于T点.单位圆中的有向线段MP、OM、AT分别叫作角α的正弦线、余弦线、正切线.记作：sin α＝MP，cos α＝OM，tan α＝AT.

2.三角函数值的符号

口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图).

自 主 检 验

1.思考辨析，判断正误

(1)正弦线MP也可写成PM.(×)

提示　三角函数线是有向线段，端点字母不可颠倒.

(2)三角函数线都只能取非负值.(×)

提示　三角函数线表示的值也可取负值.

(3)sin 3>0，cos 4<0.(√)

(4)sin α>0，则α为第一、二象限角.(×)

提示　α的终边位于第一、二象限或y轴正半轴.

2.下列4个实数中，最小的数是(　　)

A.sin 1   B.sin 2

C.sin 3   D.sin 4

答案　D

解析　∵4是第三象限角，故sin 4<0，故选D.

3.如图在单位圆中，角α的正弦线、正切线完全正确的是(　　)

A.正弦线为PM，正切线为A′T′

B.正弦线为MP，正切线为A′T′

C.正弦线为MP，正切线为AT

D.正弦线为PM，正切线为AT

答案　C

4.利用三角函数线比较下列各组数的大小(用“>”或“<”连接)：

(1)sin π________sin π；

(2)cos π________cos π；

(3)tanπ________tanπ.

答案　(1)>　(2)>　(3)<

题型一　利用三角函数线比较大小

例1 分别作出和的正弦线、余弦线和正切线，并比较sin和sin，cos和cos，tan和tan的大小.

解　如图，sin＝MP，cos＝OM，

tan＝AT，sin＝M′P′，

cos＝OM′，tan＝AT′.

显然|MP|>|M′P′|，符号皆正，

∴sin>sin；|OM|<|OM′|，符号皆负，

∴cos>cos；|AT|>|AT′|，符号皆负，

∴tan<tan.

思维升华　利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：①角的位置要“对号入座”；②比较三角函数线的长度；③确定有向线段的正负.

训练1 sin π，cos π，tan π从小到大的顺序是________________.

答案　cos π<sin π<tan π

解析　分别在单位圆中作出它们的三角函数线，由图可知：cos π<0，tan π>0，sin π>0.

∵|MP|<|AT|，

∴sin π<tan π.

故cos π<sin π<tan π.

题型二　利用三角函数线解不等式

例2 利用单位圆中的三角函数线，分别确定角θ的取值范围.

(1)sin θ≥；(2)－≤cos θ<.

解　(1)图①中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，

即.

(2)图②中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，即

.

思维升华　用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式，应注意以下两点：

(1)先找到“正值”区间，即0～2π间满足条件的角θ的范围，然后再加上2kπ(k∈Z)；

(2)注意区间是开区间还是闭区间.

训练2 已知点P(sin α－cos α，tan α)在第一象限，若α∈[0，2π)，求α的取值范围.

解　∵点P在第一象限内，

∴

∴

结合单位圆(如图所示)中三角函数线及0≤α<2π.可知<α<或π<α<.

题型三　三角函数值的符号

例3 (1)若角θ同时满足sin θ<0且tan θ<0，则角θ的终边一定位于(　　)

A.第一象限   B.第二象限

C.第三象限   D.第四象限

答案　D

解析　由sin θ<0，可知θ的终边可能位于第三象限或第四象限，也可能与y轴的负半轴重合.

由tan θ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，故θ的终边只能位于第四象限.故选D.

(2)判断下列各式的符号：

①tan 191°－cos 191°；

②sin 2·cos 3·tan 4.

解　①因为191°是第三象限角；

所以tan 191°>0，cos 191°<0.

所以tan 191°－cos 191°>0.

②因为2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角.

所以sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0.

所以sin 2·cos 3·tan 4<0.

思维升华　三角函数值符号的判断问题：

(1)准确确定角的终边位置是判断该角三角函数值符号的关键.

(2)由三角函数值的符号确定α角的终边所在象限问题，应首先依据题目中所有三角函数值的符号来确定角α的终边所在的象限，则它们的公共象限即为所求.

训练3 判断下列三角函数值的符号：

(1)sin 3，cos 4，tan 5；

(2)sin α·cos·tan(α为三角形的内角).

解　(1)∵<3<π<4<<5<2π，

∴3，4，5分别在第二、三、四象限，

∴sin 3>0，cos 4<0，tan 5<0.

(2)∵α为三角形的一个内角，

∴0<α<π，0<<，

∴sin α>0，cos>0，tan >0，

∴sin α·cos·tan>0.

[课堂小结]

1.三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来了，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方便.

2.角α的三角函数值的符号只与角α所在象限有关，角α所在象限确定，则三角函数值的符号一定确定，规律是“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.

一、基础达标

1.(多选)下列三角函数值的符号判断正确的是(　　)

A.cos 80°<0   B.sin 140°>0

C.tan >0   D.tan >0

答案　BCD

解析　∵0°<80°<90°，∴cos 80°>0；

∵90°<140°<180°，∴sin 140°>0；

∵∈，∴tan π>0；

∵∈，∴tan >0.

2.利用正弦线比较sin 1，sin 1.2，sin 1.5的大小关系是(　　)

A.sin 1>sin 1.2>sin 1.5 B.sin 1>sin 1.5>sin 1.2

C.sin 1.5>sin 1.2>sin 1 D.sin 1.2>sin 1>sin 1.5

答案　C

解析　∵1，1.2，1.5均在内，正弦线在内随α的增大而逐渐变长，

∴sin 1.5>sin 1.2>sin 1.

3.函数y＝tan的定义域为(　　)

A. B.

C. D.

答案　C

解析　∵x－≠kπ＋，k∈Z，

∴x≠kπ＋，k∈Z.

4.当α为第二象限角时，－的值是(　　)

A.1   B.0 

C.2   D.－2

答案　C

解析　∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0，∴－＝＋＝2，故选C.

5.设a＝sin(－1)，b＝cos(－1)，c＝tan(－1)，则有(　　)

A.a<b<c   B.b<a<c

C.c<a<b   D.a<c<b

答案　C

解析　作α＝－1的正弦线，余弦线，正切线可知：b＝OM>0，a＝MP<0，

c＝AT<0，且MP>AT.

∴c<a<b.

6.集合A＝[0，2π]，B＝{α|sin α<cos α}，则A∩B＝______________.

答案　∪

7.已知tan α>0且sin α＋cos α>0，那么α是第________象限角.

答案　一

解析　∵tan α>0，∴α为第一、三象限角.

若α为第一象限角，则sin α>0，cos α>0，

∴sin α＋cos α>0；

若α为第三象限角，则sin α<0，cos α<0，

∴sin α＋cos α<0.

8.不等式tan α＋>0的解集是______________________.

答案　

解析　不等式的解集如图所示(阴影部分)，

∴.

9.利用三角函数线，写出满足下列条件的角x的集合：

(1)sin x>－且cos x>；

(2)tan x≥－1.

解　(1)由图(1)知：当sin x>－且cos x>时，角x满足的集合：

.

(2)由图(2)知：当tan x≥－1时，角x满足的集合为：

∪.

即.

10.求函数y＝logsin x(2cos x＋1)的定义域.

解　由题意得，要使函数有意义，则须

如图所示，阴影部分(不含边界与y轴)即为所求.

所以所求函数的定义域为.

二、能力提升

11.若0<α<2π，且sin α<，cos α>，则角α的取值范围是(　　)

A.   B.

C.   D.∪

答案　D

解析　α取值范围为图中阴影部分，即∪.

12.如果<α<，那么下列不等式成立的是(　　)

A.cos α<sin α<tan α B.tan α<sin α<cos α

C.sin α<cos α<tan α D.cos α<tan α<sin α

答案　A

解析　如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP、余弦线OM、正切线AT，很容易地观察出OM<MP<AT，即cos α<sin α<tan α.

13.已知角α满足sin α<0，且tan α>0.

(1)求角α的集合；

(2)试判断sin ·cos ·tan 的符号.

解　(1)由sin α<0，知角α的终边在第三、四象限或在y轴的非正半轴上；

又tan α>0，所以角α的终边在第三象限，

故角α的集合为{α|2kπ＋π<α<2kπ＋，k∈Z}.

(2)由2kπ＋π<α<2kπ＋，k∈Z，

得kπ＋<<kπ＋，k∈Z，

当k＝2m，m∈Z时，角的终边在第二象限，此时sin >0，cos <0，tan <0，

所以sin ·cos ·tan 的符号为正；

当k＝2m＋1，m∈Z时，角的终边在第四象限，此时sin <0，cos >0，tan <0，

所以sin ·cos ·tan 的符号为正.

因此，sin ·cos ·tan 的符号为正.

三、创新拓展

14.(多选)已知sin α>sin β，那么下列命题成立的是(　　)

A.若α，β是第一象限角，则cos α<cos β

B.若α，β是第二象限角，则tan α>tan β

C.若α，β是第三象限角，则cos α>cos β

D.若α，β是第四象限角，则tan α>tan β

答案　AD

解析　如图(1)，α，β的终边分别为OP，OQ，sin α＝MP>NQ＝sin β，此时OM<ON，所以cos α<cos β，故A正确；

如图(2)，OP，OQ分别为角α，β的终边，MP>NQ，即sin α>sin β，所以AC<AB，即tan α<tan β，故B错；

如图(3)，角α，β的终边分别为OP，OQ，MP>NQ，则sin α>sin β，所以OM<ON，即cos α<cos β，故C错；

若α，β为第四象限的角，结合单位圆，可知tan α>tan β，故选AD.