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    湘教版(2019)必修 第一册3.1 函数优秀课件ppt

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    这是一份湘教版(2019)必修 第一册3.1 函数优秀课件ppt,文件包含第二课时用有向线段表示三角函数doc、第二课时用有向线段表示三角函数pptx等2份课件配套教学资源,其中PPT共0页, 欢迎下载使用。

    第二课时 用有向线段表示三角函数

    课标要求 1.了解三角函数线的意义,能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.2.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题.

    素养要求 通过学习用有向线段表示三角函数,发展学生的数学抽象、数学运算及直观想象素养.

    自 主 梳 理

    1.三角函数线

    如图,设单位圆与x轴的正半轴交于点A,与角α的终边交于点P.过点Px轴的垂线PM,垂足为M,过A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)T.单位圆中的有向线段MPOMAT分别叫作角α的正弦线、余弦线、正切线.记作:sin αMPcos αOMtan αAT.

    2.三角函数值的符号

    口诀概括为:一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图).

    自 主 检 验

    1.思考辨析,判断正误

    (1)正弦线MP也可写成PM.(×)

    提示 三角函数线是有向线段,端点字母不可颠倒.

    (2)三角函数线都只能取非负值.(×)

    提示 三角函数线表示的值也可取负值.

    (3)sin 3>0cos 4<0.()

    (4)sin α>0,则α为第一、二象限角.(×)

    提示 α的终边位于第一、二象限或y轴正半轴.

    2.下列4个实数中,最小的数是(  )

    A.sin 1   B.sin 2

    C.sin 3   D.sin 4

    答案 D

    解析 4是第三象限角,故sin 4<0,故选D.

    3.如图在单位圆中,角α的正弦线、正切线完全正确的是(  )

    A.正弦线为PM,正切线为AT

    B.正弦线为MP,正切线为AT

    C.正弦线为MP,正切线为AT

    D.正弦线为PM,正切线为AT

    答案 C

    4.利用三角函数线比较下列各组数的大小(“>”“<”连接)

    (1)sin π________sin π

    (2)cos π________cos π

    (3)tanπ________tanπ.

    答案 (1)> (2)> (3)<

    题型一 利用三角函数线比较大小

    1 分别作出的正弦线、余弦线和正切线,并比较sinsincoscostantan的大小.

    解 如图,sinMPcosOM

    tanATsinMP

    cosOMtanAT′.

    显然|MP|>|MP′|,符号皆正,

    sin>sin|OM|<|OM′|,符号皆负,

    cos>cos|AT|>|AT′|,符号皆负,

    tan<tan.

    思维升华 利用三角函数线比较三角函数值的大小时,一般分三步:角的位置要对号入座比较三角函数线的长度;确定有向线段的正负.

    训练1 sin πcos πtan π从小到大的顺序是________________.

    答案 cos π<sin π<tan π

    解析 分别在单位圆中作出它们的三角函数线,由图可知:cos π<0tan π>0sin π>0.

    |MP|<|AT|

    sin π<tan π.

    cos π<sin π<tan π.

    题型二 利用三角函数线解不等式

    2 利用单位圆中的三角函数线,分别确定角θ的取值范围.

    (1)sin θ(2)cos θ<.

    解 (1)中阴影部分就是满足条件的角θ的范围,

    .

    (2)中阴影部分就是满足条件的角θ的范围,即

    .

    思维升华 用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式,应注意以下两点:

    (1)先找到正值区间,即0间满足条件的角θ的范围,然后再加上2kπ(kZ)

    (2)注意区间是开区间还是闭区间.

    训练2 已知点P(sin αcos αtan α)在第一象限,若α[02π),求α的取值范围.

    解 P在第一象限内,

    结合单位圆(如图所示)中三角函数线及0α<2π.可知<α<π<α<.

    题型三 三角函数值的符号

    3 (1)若角θ同时满足sin θ<0tan θ<0,则角θ的终边一定位于(  )

    A.第一象限   B.第二象限

    C.第三象限   D.第四象限

    答案 D

    解析 sin θ<0,可知θ的终边可能位于第三象限或第四象限,也可能与y轴的负半轴重合.

    tan θ<0,可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限,故θ的终边只能位于第四象限.故选D.

    (2)判断下列各式的符号:

    tan 191°cos 191°

    sin 2·cos 3·tan 4.

    解 因为191°是第三象限角;

    所以tan 191°>0cos 191°<0.

    所以tan 191°cos 191°>0.

    因为2是第二象限角,3是第二象限角,4第三象限角.

    所以sin 2>0cos 3<0tan 4>0.

    所以sin 2·cos 3·tan 4<0.

    思维升华 三角函数值符号的判断问题:

    (1)准确确定角的终边位置是判断该角三角函数值符号的关键.

    (2)由三角函数值的符号确定α角的终边所在象限问题,应首先依据题目中所有三角函数值的符号来确定角α的终边所在的象限,则它们的公共象限即为所求.

    训练3 判断下列三角函数值的符号:

    (1)sin 3cos 4tan 5

    (2)sin α·cos·tan(α为三角形的内角).

    解 (1)<3<π<4<<5<2π

    345分别在第二、三、四象限,

    sin 3>0cos 4<0tan 5<0.

    (2)α为三角形的一个内角,

    0<α0<<

    sin α>0cos>0tan >0

    sin α·cos·tan>0.

    [课堂小结]

    1.三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来了,使得问题更形象直观,为从几何途径解决问题提供了方便.

    2.α的三角函数值的符号只与角α所在象限有关,角α所在象限确定,则三角函数值的符号一定确定,规律是一全正,二正弦,三正切,四余弦.

    一、基础达标

    1.(多选)下列三角函数值的符号判断正确的是(  )

    A.cos 80°<0   B.sin 140°>0

    C.tan >0   D.tan >0

    答案 BCD

    解析 0°<80°<90°cos 80°>0

    90°<140°<180°sin 140°>0

    tan π>0

    tan >0.

    2.利用正弦线比较sin 1sin 1.2sin 1.5的大小关系是(  )

    A.sin 1>sin 1.2>sin 1.5 B.sin 1>sin 1.5>sin 1.2

    C.sin 1.5>sin 1.2>sin 1 D.sin 1.2>sin 1>sin 1.5

    答案 C

    解析 11.21.5均在内,正弦线在内随α的增大而逐渐变长,

    sin 1.5>sin 1.2>sin 1.

    3.函数ytan的定义域为(  )

    A. B.

    C. D.

    答案 C

    解析 xkπkZ

    xkπkZ.

    4.α为第二象限角时,的值是(  )

    A.1   B.0 

    C.2   D.2

    答案 C

    解析 α为第二象限角,sin α>0cos α<02,故选C.

    5.asin(1)bcos(1)ctan(1),则有(  )

    A.a<b<c   B.b<a<c

    C.c<a<b   D.a<c<b

    答案 C

    解析 α=-1的正弦线,余弦线,正切线可知:bOM>0aMP<0

    cAT<0,且MP>AT.

    c<a<b.

    6.集合A[02π]B{α|sin α<cos α},则AB______________.

    答案 

    7.已知tan α>0sin αcos α>0,那么α是第________象限角.

    答案 

    解析 tan α>0α为第一、三象限角.

    α为第一象限角,则sin α>0cos α>0

    sin αcos α>0

    α为第三象限角,则sin α<0cos α<0

    sin αcos α<0.

    8.不等式tan α>0的解集是______________________.

    答案 

    解析 不等式的解集如图所示(阴影部分)

    .

    9.利用三角函数线,写出满足下列条件的角x的集合:

    (1)sin x>cos x>

    (2)tan x1.

    解 (1)由图(1)知:当sin x>cos x>时,角x满足的集合:

    .

    (2)由图(2)知:当tan x1时,角x满足的集合为:

    .

    .

    10.求函数ylogsin x(2cos x1)的定义域.

    解 由题意得,要使函数有意义,则须

    如图所示,阴影部分(不含边界与y)即为所求.

    所以所求函数的定义域为.

    二、能力提升

    11.0<α<2π,且sin α<cos α>,则角α的取值范围是(  )

    A.   B.

    C.   D.

    答案 D

    解析 α取值范围为图中阴影部分,即.

    12.如果<α<,那么下列不等式成立的是(  )

    A.cos α<sin α<tan α B.tan α<sin α<cos α

    C.sin α<cos α<tan α D.cos α<tan α<sin α

    答案 A

    解析 如图所示,在单位圆中分别作出α的正弦线MP、余弦线OM、正切线AT,很容易地观察出OM<MP<AT,即cos α<sin α<tan α.

    13.已知角α满足sin α<0,且tan α>0.

    (1)求角α的集合;

    (2)试判断sin ·cos ·tan 的符号.

     (1)sin α<0,知角α的终边在第三、四象限或在y轴的非正半轴上;

    tan α>0,所以角α的终边在第三象限,

    故角α的集合为{α|2kππ<α<2kπkZ}.

    (2)2kππ<α<2kπkZ

    kπ<<kπkZ

    k2mmZ时,角的终边在第二象限,此时sin >0cos <0tan <0

    所以sin ·cos ·tan 的符号为正;

    k2m1mZ时,角的终边在第四象限,此时sin <0cos >0tan <0

    所以sin ·cos ·tan 的符号为正.

    因此,sin ·cos ·tan 的符号为正.

    三、创新拓展

    14.(多选)已知sin α>sin β,那么下列命题成立的是(  )

    A.αβ是第一象限角,则cos α<cos β

    B.αβ是第二象限角,则tan α>tan β

    C.αβ是第三象限角,则cos α>cos β

    D.αβ是第四象限角,则tan α>tan β

    答案 AD

    解析 如图(1)αβ的终边分别为OPOQsin αMP>NQsin β,此时OM<ON,所以cos α<cos β,故A正确;

    如图(2)OPOQ分别为角αβ的终边,MP>NQ,即sin α>sin β,所以AC<AB,即tan α<tan β,故B错;

    如图(3),角αβ的终边分别为OPOQMP>NQ,则sin α>sin β,所以OM<ON,即cos α<cos β,故C错;

    αβ为第四象限的角,结合单位圆,可知tan α>tan β,故选AD.

     

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