人教A版 (2019)选择性必修 第三册第七章 随机变量及其分布7.2 离散型随机变量及其分布列第2课时习题

第7章　7.2  第2课时

A级——基础过关练

1．(多选)下列问题中的随机变量服从两点分布的是(　　)

A．抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量X

B．某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量X

C．从装有5个红球，3个白球的袋中取1个球，令随机变量X＝

D．某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量X

【答案】BCD　【解析】A中随机变量X的取值有6个，不服从两点分布．

2．(多选)已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数)：

则下列计算结果正确的是(　　)

A．a＝0.1

B．P(X≥2)＝0.7

C．P(X≥3)＝0.4

D．P(X≤1)＝0.3

【答案】ABD　【解析】易得a＝0.1，则P(X≥3)＝0.3，故C错误．

3．某射手射击所得环数X的分布列为

则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为(　　)

A．0.28 B．0.88

C．0.79 D．0.51

【答案】C　【解析】P(X＞7)＝P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79.

4．下列表中能成为随机变量X的分布列的是(　　)

A．

B．

C．

D．

【答案】C　【解析】选项A，D不满足分布列的概率和为1，选项B不满足分布列的概率为非负数．

5．若离散型随机变量X的分布列如下表所示，则a的值为(　　)

A． B．－2

C．或－2 D．

【答案】A　【解析】由分布列的性质，得解得a＝.

6．随机变量Y的分布列如下：

则x＝________，P(Y≤3)＝________.

【答案】0.05　0.6　【解析】由分布列的性质得0.2＋x＋0.35＋0.1＋0.1＋0.2＝1，解得x＝0.05.故P(Y≤3)＝P(Y＝1)＋P(Y＝2)＋P(Y＝3)＝0.2＋0.05＋0.35＝0.6.

7．设ξ是一个离散型随机变量，其分布列为

则P(ξ≤0)＝________.

【答案】－　【解析】由分布列的性质，得1－2q≥0，q2≥0，＋(1－2q)＋q2＝1，所以q＝1－，q＝1＋(舍去)．P(ξ≤0)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝0)＝＋1－2×＝－.

8．一批产品分为四级，其中一级产品是二级产品的两倍，三级产品是二级产品的一半，四级产品与三级产品相等，从这批产品中随机抽取一个检验质量，其级别为随机变量X，则P(X＞1)＝________.

【答案】　【解析】依题意，P(X＝1)＝2P(X＝2)，P(X＝3)＝P(X＝2)，P(X＝3)＝P(X＝4)，由分布列性质得P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝1，则4P(X＝2)＝1，即P(X＝2)＝，P(X＝3)＝P(X＝4)＝.∴P(X＞1)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝.

9．从含有2名女生的10名大学毕业生中任选3人进行某项调研活动，记女生入选的人数为ξ，求ξ的分布列．

解：ξ的所有可能取值为0,1,2，

“ξ＝0”表示入选3人全是男生，则P(ξ＝0)＝＝，

“ξ＝1”表示入选3人中恰有1名女生，

则P(ξ＝1)＝＝，

“ξ＝2”表示入选3人中有2名女生，

则P(ξ＝2)＝＝.

因此ξ的分布列为

10.若随机变量X的分布列为

求当P(x<a)＝0.8时，实数a的取值范围．

解：由随机变量X的分布列知

P(x<－1)＝0.1，P(x<0)＝0.3，

P(x<1)＝0.5，P(x<2)＝0.8，

则当P(x<a)＝0.8时，实数a取值范围是(1,2]．

B级——能力提升练

11．若P(X≤n)＝1－a，P(X≥m)＝1－b，其中m<n，则P(m≤X≤n)＝(　　)

A．(1－a)(1－b) B．1－a(1－b)

C．1－(a＋b) D．1－b(1－a)

【答案】C　【解析】P(m≤X≤n)＝P(X≤n)－P(X≤m)＝1－a－[1－(1－b)]＝1－(a＋b)．

12．随机变量X的分布列为

其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)等于(　　)

A． B．

C． D．

【答案】D　【解析】∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.又a＋b＋c＝1，∴b＝.∴P(|X|＝1)＝a＋c＝2b＝.

13．已知随机变量ξ只能取三个值x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则该等差数列公差的取值范围是(　　)

A． B．

C．[－3,3] D．[0,1]

【答案】B　【解析】设随机变量ξ取x1，x2，x3的概率分别为a－d，a，a＋d，则由分布列的性质得(a－d)＋a＋(a＋d)＝1，故a＝，由解得－≤d≤.

14．有一个公用电话亭，观察使用过电话的人的流量时，设在某一时刻，有n个人正在使用电话或等待使用电话的概率为P(n)，且P(n)与时刻t无关，统计得到P(n)＝那么P(0)的值是(　　)

A．0 B．1

C． D．

【答案】C　【解析】由题意得P(1)＝P(0)，P(2)＝P(0)，P(3)＝P(0)，P(4)＝P(0)，P(5)＝P(0)，P(n≥6)＝0，所以1＝P(0)＋P(1)＋P(2)＋P(3)＋P(4)＋P(5)＋P(n≥6)＝P(0)＝P(0)，所以P(0)＝.

15．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝ak(k＝1,2，…，n)，则常数a＝________.

【答案】　【解析】由分布列的性质可得，a(1＋2＋…＋n)＝1，所以a＝.

16．若随机变量X的分布列如下表所示，

则a2＋b2的最小值为________．

【答案】　【解析】由分布列的性质，知a＋b＝，而a2＋b2≥＝(当且仅当a＝b＝时等号成立)．

17．同时掷两枚质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数，求两枚骰子中出现的最大点数X的分布列．

解：同时掷两枚质地均匀的骰子，朝上一面出现的点数有36种等可能的情况，X的可能取值为1,2,3,4,5,6，记(a，b)为两枚骰子朝上一面出现的点数，其中a为第一枚骰子掷出的点数，b为第二枚骰子掷出的点数，则可得出下表.

由古典概型可知X的分布列为

C级——探究创新练

18．设S是不等式x2－x－6≤0的解集，整数m，n∈S.

(1)设“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举A包含的基本事件；

(2)设ξ＝m2，求ξ的分布列．

解：(1)由x2－x－6≤0得－2≤x≤3，即S＝{x|－2≤x≤3}．由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0，所以A包含的基本事件为(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．

(2)由于m的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3，所以ξ＝m2的所有不同取值为0,1,4,9，且有P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，P(ξ＝9)＝.故ξ的分布列为