人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.3 离散型随机变量的数字特征一课一练

第七章7.3.2　离散型随机变量的方差

A级 必备知识基础练

1.[探究点一]设随机变量X的分布列为P(X=k)=pk(1-p)1-k(k=0,1),则E(X),D(X)的值分别是 (　　)

A.0和1 B.p和p2

C.p和1-p D.p和(1-p)p

2.[探究点一]设0<a<1,已知随机变量X的分布列是

若D(X)=,则a=(　　)

A. B.

C. D.

3.[探究点二]由以往的统计资料表明,甲、乙两名运动员在比赛中的得分情况为

现有一场比赛,应派哪位运动员参加较好(　　)

A.甲 B.乙

C.甲、乙均可 D.无法确定

4.[探究点一](多选题)已知A1,A2为两所高校举行的自主招生考试,某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为,该同学一旦通过某所高校的考试,就不再参加其他高校的考试,设该同学通过考试的高校个数为随机变量X,则(　　)

A.X的可能取值为0,1 B.X服从两点分布

C.E(X)=1 D.D(X)=

5.[探究点二]已知离散型随机变量X的可能取值为x1=-1,x2=0,x3=1,且E(X)=0.1,D(X)=0.89,则对应x1,x2,x3的概率p1,p2,p3分别为　　　　　,　　　　　,　　　　　. 

6.[探究点一]设随机变量X,Y满足Y=2X+b(b为非零常数),若E(Y)=4+b,D(Y)=32,则E(X)=　　　　　,D(X)=　　　　　. 

7.[探究点一]已知随机变量X的分布列为

若E(X)=.

(1)求D(X)的值;

(2)若Y=3X-2,求D(Y)的值.

B级 关键能力提升练

8.已知X的分布列如表所示.

有下列式子:①E(X)=-;②D(X)=;③P(X=0)=.其中正确的个数是(　　)

A.0 B.1

C.2 D.3

9.设10≤x1<x2<x3<x4≤104,x5=105,随机变量X1取值x1,x2,x3,x4,x5的概率均为0.2,随机变量X2取值的概率也均为0.2,若记D(X1),D(X2)分别为X1,X2的方差,则(　　)

A.D(X1)>D(X2)

B.D(X1)=D(X2)

C.D(X1)<D(X2)

D.D(X1)与D(X2)的大小关系与x1,x2,x3,x4的取值有关

10.(多选题)袋内有大小完全相同的2个黑球和3个白球,从中不放回地每次任取1个小球,直至取到白球后停止取球,则(　　)

A.抽取2次后停止取球的概率为

B.停止取球时,取出的白球个数不少于黑球的概率为

C.取球次数ξ的均值为2

D.取球次数ξ的方差为

11.甲、乙、丙三人参加某比赛三个赛区的志愿服务活动,若每人只能选择一个赛区,且选择其中任何一个赛区是等可能的.记X为三人选中的赛区个数,Y为三人没有选中的赛区个数,则(　　)

A.E(X)=E(Y),D(X)=D(Y)

B.E(X)=E(Y),D(X)≠D(Y)

C.E(X)≠E(Y),D(X)≠D(Y)

D.E(X)≠E(Y),D(X)=D(Y)

12.若X是离散型随机变量,P(X=x1)=,P(X=x2)=,且x1<x2,又已知E(X)=,D(X)=,则x1+x2的值为　　　　　. 

13.已知随机变量ξ的所有可能取值为m,n,其中P(ξ=m)=P(ξ=n)=,则E(ξ)=　　　　　,当D(ξ)取最小值时,mn=　　　　　. 

14.有甲、乙两名学生,经统计,他们在解答同一份数学试卷时,各自的成绩在80分、90分、100分的概率分布大致如下表所示.

甲:

乙:

试分析两名学生的成绩水平.

15.有10张卡片,其中8张标有数字2,2张标有数字5,从中随机地抽出3张卡片,设3张卡片上的数字之和为X.

(1)求X的分布列及方差D(X);

(2)若ξ=aX+2,且D(ξ)=33.6,求实数a的值.

C级 学科素养创新练

16.某迷宫有三个通道,进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门.首次到达此门,系统会随机(即等可能)为你打开一个通道,若是1号通道,则需要1小时走出迷宫;若是2号、3号通道,则分别需要2小时、3小时返回智能门.再次到达智能门时,系统会随机打开一个你未到过的通道,直至走出迷宫为止.令X表示走出迷宫所需的时间.

(1)求X的分布列;

(2)求X的均值和方差.

参考答案

7.3.2　离散型随机变量的方差

1.D　由X的分布列知,P(X=0)=1-p,P(X=1)=p,故E(X)=0×(1-p)+1×p=p,易知X服从两点分布,

∴D(X)=p(1-p).

2.A　∵E(X)=0×+a×+1×,

∴D(X)=[(a+1)2+(2a-1)2+(a-2)2]=(a2-a+1)=,

∴4a2-4a+4=3,即(2a-1)2=0,解得a=.

3.A　∵E(X1)=E(X2)=1.1,D(X1)=1.12×0.2+0.12×0.5+0.92×0.3=0.49,D(X2)=1.12×0.3+0.12×0.3+0.92×0.4=0.69,∴D(X1)<D(X2).

则甲比乙得分稳定,故派甲运动员参加较好.

4.ABD　由已知X的可能取值为0,1,且服从两点分布.

P(X=0)=,

P(X=1)=,

∴E(X)=0×+1×,

D(X)=.

5.0.4　0.1　0.5　由题意知,

解得

6.2　8　随机变量X,Y满足Y=2X+b(b为非零常数),若E(Y)=4+b,D(Y)=32,则E(Y)=2E(X)+b=4+b.

所以E(X)=2.

D(Y)=D(2X+b)=4D(X)=32,所以D(X)=8.

7.解(1)由+p=1,得p=.

又E(X)=0×+1×x=,所以x=2.

D(X)=0-2×.

(2)因为Y=3X-2,所以D(Y)=D(3X-2)=9D(X)=5.

8.C　E(X)=(-1)×+0×+1×=-,故①正确.

D(X)=,故②不正确.

由分布列知③正确.

9.A　由题意可知E(X1)=E(X2),又由题意可知,X1的波动性较大,从而有D(X1)>D(X2).

10.BD　设取球次数为ξ,则ξ的可能取值为1,2,3,则P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=.

对于A选项,抽取2次后停止取球的概率为P(ξ=2)=,A选项错误;

对于B选项,停止取球时,取出的白球个数不少于黑球的概率为P(ξ=1)+P(ξ=2)=,B选项正确;

对于C选项,取球次数ξ的均值为E(ξ)=1×+2×+3×,C选项错误;

对于D选项,取球次数ξ的方差为D(ξ)=1-2×+2-2×+3-2×,D选项正确.

11.D　由题意得X的可能取值为1,2,3,

则P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,所以E(X)=1×+2×+3×,D(X)=1-2×+2-2×+3-2×.

Y的可能取值为0,1,2,则P(Y=0)=,P(Y=1)=,P(Y=2)=,

所以E(Y)=0×+1×+2×,D(Y)=0-2×+1-2×+2-2×.

故E(X)≠E(Y),D(X)=D(Y).故选D.

12.3　由已知得

即

解得

又x1<x2,所以所以x1+x2=3.

13.　由分布列的性质得=1,即m+n=1,.

所以E(ξ)=m·+n·,D(ξ)=m-2×+n-2×=m-2×+1-m-2×=m-2≥0,当且仅当m=n=时,等号成立,此时mn=.

14.解∵E(X)=80×0.2+90×0.6+100×0.2=90,

D(X)=(80-90)2×0.2+(90-90)2×0.6+(100-90)2×0.2=40,E(Y)=80×0.4+90×0.2+100×0.4=90,

D(Y)=(80-90)2×0.4+(90-90)2×0.2+(100-90)2×0.4=80,∴E(X)=E(Y),D(X)<D(Y),

∴甲生与乙生的成绩均值一样,甲的方差较小,因此甲生的学习成绩较稳定.

15.解(1)X的所有可能取值为6,9,12.

P(X=6)=,P(X=9)=,

P(X=12)=,

∴X的分布列为

∴E(X)=6×+9×+12×=7.8,D(X)=(6-7.8)2×+(9-7.8)2×+(12-7.8)2×=3.36.

(2)由(1),可知D(ξ)=D(aX+2)=a2D(X)=3.36a2=33.6,解得a=±.

16.解(1)X的所有可能取值为1,3,4,6,

当X=1时,直接从1号通道走出,则P(X=1)=;

当X=3时,先走2号通道,再走1号通道,

则P(X=3)=;

当X=4时,先走3号通道,再走1号通道,

则P(X=4)=;

当X=6时,先走2号通道,再走3号通道,最后再走1号通道,或者先走3号通道,再走2号通道,最后再走1号通道,则P(X=6)=2××1=.所以X的分布列为

(2)E(X)=1×+3×+4×+6×,D(X)=1-2×+3-2×+4-2×+6-2×.