数学选择性必修 第三册第七章 随机变量及其分布7.2 离散型随机变量及其分布列第1课时习题

第7章　7.2  第1课时

A级——基础过关练

1．给出下列四个命题：

①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量；

②解答高考数学卷Ⅰ的时间是随机变量；

③一条河流每年的最大流量是随机变量；

④一个剧场共有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量．

其中正确的个数是(　　)

A．1 B．2

C．3 D．4

【答案】D　【解析】由随机变量的概念可以直接判断①②③④都是正确的．

2．(多选)将一个骰子掷两次，能作为随机变量的是(　　)

A．两次掷出的点数之和

B．两次掷出的最大点数

C．第一次与第二次掷出的点数之差

D．两次掷出的点数

【答案】ABC　【解析】将一个骰子掷两次，两次掷出的点数之和是一个变量，且随试验结果的变化而变化，是一个随机变量．同理，两次掷出的最大点数、第一次与第二次掷出的点数之差也都是随机变量，而两次掷出的点数不是一个变量．

3．下面给出三个随机变量：

①某地110报警台1分钟内接到的求救电话的次数X；

②某森林树木的高度在(0,50](单位：m)这一范围内变化，测得某一树木的高度X；

③某人射击一次击中的环数．

其中离散型随机变量有(　　)

A．0个 B．1个

C．2个 D．3个

【答案】C　【解析】由离散型随机变量的定义可知①③中的随机变量都是可以一一列举出来的，故均为离散型随机变量，而②中的随机变量可以取(0,50]内的任意值，无法一一列举，故它不是离散型随机变量．

4．袋中有大小相同的5个钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码．在有放回的抽取条件下依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X所有可能取值是(　　)

A．1,2，…，5 B．1,2，…，10

C．2,3，…，10 D．1,2，…，6

【答案】C　【解析】第一次可取1,2,3,4,5中的任意一个，由于是有放回抽取，第二次也可取1,2,3,4,5中的任何一个，两次的号码和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10.

5．对一批产品逐个进行检测，第一次检测到次品前已检测的产品个数为X，则X＝k表示的试验结果为(　　)

A．第k－1次检测到正品，而第k次检测到次品

B．第k次检测到正品，而第k＋1次检测到次品

C．前k－1次检测到正品，而第k次检测到次品

D．前k次检测到正品，而第k＋1次检测到次品

【答案】D　【解析】X就是检测到次品前正品的个数，X＝k表明前k次检测到的都是正品，第k＋1次检测到的是次品．

6．甲进行3次射击，甲击中目标的概率为，记甲击中目标的次数为X，则X的可能取值为________．

【答案】0,1,2,3　【解析】甲可能在3次射击中，可能一次未中，也可能中1次，2次，3次．

7．在8件产品中，有3件次品，5件正品，从中任取3件，记次品的件数为X，则{X＜2}表示的试验结果是____________．

【答案】取到1件次品、2件正品或取到3件正品

【解析】应分X＝0和X＝1两类．X＝0表示取到3件正品；X＝1表示取到1件次品、2件正品．故{X＜2}表示的试验结果为取到1件次品、2件正品或取到3件正品．

8．一批产品共有12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取得合格品之前取出的次品数X的所有可能取值是________．

【答案】0,1,2,3　【解析】可能第一次就取得合格品，也可能取完次品后才取得合格品．X的结果有0,1,2,3.

9．某车间三天内每天生产10件某产品，其中第一天，第二天分别生产了1件次品、2件次品，而质检部门每天要在生产的10件产品中随机抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过．若厂内对车间生产的产品采用记分制，两天全不通过检查得0分，通过一天、两天分别得1分、2分，设该车间在这两天内得分为X，写出X的可能取值．

解：X的可能取值为0,1,2.X＝0表示在两天检查中均发现了次品．X＝1表示在两天检查中有1天没有检查到次品，1天检查到了次品．X＝2表示在两天检查中都没有发现次品．

10．指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由：

(1)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差；

(2)在西安至成都的高铁线上，每隔500 m有一电线铁塔，将电线铁塔进行编号，则某一电线铁塔的编号X；

(3)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位站所测水位X.

解：(1)不是离散型随机变量．因为实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出．

(2)是离散型随机变量．因为电线铁塔为有限个，其编号从1开始，可以一一列出．

(3)不是离散型随机变量．因为水位在(0,29]范围内变化，对水位值我们不能按一定次序一一列出．

B级——能力提升练

11．下列所述：①某座大桥一天经过的车辆数X；②某无线电寻呼台一天内收到的寻呼次数X；③一天之内的温度X；④一位射击手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用X表示该射击手在一次射击中的得分．其中X是离散型随机变量的是(　　)

A．①②③ B．①②④

C．①③④ D．②③④

【答案】B　【解析】①②④中的X可以取的值可以一一列举出来，而③中的X可以取某一区间内的一切值，属于连续型的．

12．抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为X，则“X≥5”表示的试验结果为(　　)

A．第一枚6点，第二枚2点

B．第一枚5点，第二枚1点

C．第一枚1点，第二枚6点

D．第一枚6点，第二枚1点

【答案】D　【解析】由“X≥5”知，最大点数与最小点数之差不小于5.

13．袋中装有10个红球，5个黑球，每次随机抽取一个球，若取得黑球，则另换一个红球放回袋中，直到取到红球为止，若抽取的次数为X，则表示“放回5个球”的事件为(　　)

A．X＝4 B．X＝5

C．X＝6 D．X≤4

【答案】C　【解析】第一次取到黑球，则放回1个球，第二次取到黑球，则共放回2个球…，共放了五回，第六次取到了红球，试验终止，故X＝6.

14．袋中有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为Y，则Y所有可能值的个数是(　　)

A．25 B．10

C．7 D．6

【答案】C　【解析】∵Y表示取出的2个球的号码之和，又1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝5,1＋5＝6,2＋3＝5,2＋4＝6,2＋5＝7,3＋4＝7,3＋5＝8,4＋5＝9，故Y的所有可能取值为3,4,5,6,7,8,9，共7个．

15．一串钥匙有5把，只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数X的最大值为________．

【答案】4　【解析】由题意可知X取最大值时只剩下一把钥匙，但锁此时未打开，故试验次数为4.

16．一用户在打电话时忘了号码的最后四位数字，只记得最后四位数字两两不同，且都大于5，于是他随机拨最后四位数字(两两不同)，设他拨到所要号码时总共拨的次数为X，则随机变量X的所有可能取值的种数为________．

【答案】24　【解析】由于后四位数字两两不同，且都大于5，因此只能是6,7,8,9四位数字的不同排列，故有A＝24(种)．

17．写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．

(1)一个袋中装有2个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含黑球的个数X；

(2)抛掷甲、乙两枚骰子，所得点数之和Y.

解：(1)X可取1,2,3.X＝i，表示取出的3个球中有i个黑球，3－i个白球，其中i＝1,2,3.

(2)Y的可能取值为2,3,4，…，12.若以(i，j)表示抛掷甲、乙两枚骰子后骰子甲得i点且骰子乙得j点，则{Y＝2}表示(1,1)；{Y＝3}表示(1,2)，(2,1)；{Y＝4}表示(1,3)，(2,2)，(3,1)；{Y＝5}表示(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)；{Y＝6}表示(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)；{Y＝7}表示(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)；{Y＝8}表示(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)；{Y＝9}表示(3,6)，(4,5)，(5,4)，(6,3)；{Y＝10}表示(4,6)，(5,5)，(6,4)；{Y＝11}表示(5,6)，(6,5)；{Y＝12}表示(6,6)．

C级——探究创新练

18．一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为X，

(1)列表说明可能出现的结果与对应的X的值；

(2)若规定取3个球，每取到一个白球加5分，取到黑球不加分，且最后不管结果如何都加上6分，求最终得分Y的可能取值，并判定Y的随机变量类型．

解：(1)列表如下.

(2)由题意可得Y＝5X＋6，而X可能的取值范围为{0,1,2,3}，所以Y对应的各值是6,11,16,21.故Y的可能取值为6,11,16,21，显然Y为离散型随机变量．