高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用课时训练

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5.3.2
函数的极值与最大(小)值



【知识目录】




1、 极值最值概念
2、 图像与极值
3、 常见函数求最值与极值（基础无参）
4、 极值存在（含参，重点）
5、 三次函数
6、 压轴题：最值与范围综合（难点）


典例分类精讲




Ø 一、极值最值概念
区分以下一些容易混淆的概念。
1. 导函数等0与极值的关系，
2. 极值点不仅仅导函数为零，并且两边导函数“变号”

【典型例题】
【例1】已知函数在处连续，下列命题中正确的是（ ）．
A．导数为零的点一定是极值点
B．如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值
C．如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值
D．如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值
【答案】B
【分析】
用极值点的定义判断A选项，用极大值和极小值的定义来判断BCD选项
【详解】
导数为0的点不一定是极值点，还要满足导函数在这一点的左侧与右侧的函数值异号，故A错误；
根据极值的概念，在附近的左侧，函数单调递增；在附近的右侧，函数单调递减，所以为极大值，故B正确，CD错误．
故选：B
【例2】连续函数在上（ ）
A．极大值一定比极小值大
B．极大值一定是最大值
C．最大值一定是极大值
D．最大值一定大于极小值
【答案】D
【详解】
由函数的最值与极值的概念可知，y＝f(x)在[a，b]上的最大值一定大于极小值.
【例3】已知在上连续，是的导函数，则是为函数极值点的（ ）条件.
A．充要条件 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要
【答案】C
【分析】
结合极值点、充分、必要条件的知识确定正确选项.
【详解】
时，不一定是极值点，还需要在两侧的单调性不相同.
是的极值点时，由于在上连续，所以.
所以是为函数极值点的必要不充分条件.故选：C
【例4】关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．没有最小值，有最大值 B．有最小值，没有最大值
C．有最小值，有最大值 D．没有最小值，也没有最大值
【答案】D
【分析】
利用研究函数的最值.
【详解】
依题意，所以在上递增，没有最小值，也没有最大值.
故选：D
【例5】函数的极大值为
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用导数求得函数的单调区间，进而求得函数极值点，由此求得函数的极大值.
【详解】
依题意，故函数在上递增，在上递减，所以函数在处取得极大值为.故选B.
【例6】已知等差数列的前项和为，则的极大值为
A． B．3 C． D．2
【答案】A
【分析】
根据等差数列前项和公式的特点，求得的值，利用导数求得函数的单调区间，进而求得函数的极大值.
【详解】
由于等差数列前项和公式中，常数项为，故，，故函数在上递增，在上单调递减，故当时取得极大值为.故选A.
【例7】已知函数，，则函数的最大值为（ ）
A．0 B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据函数的导函数的正负性判断函数在已知区间的单调性，结合余弦函数的性质进行求解即可.
【详解】
∵，∴当时，单调递增，
当时， 单调递减，∴.
故选：C.

【对点实战】
1.函数f(x)＝x·2x，则下列结论正确的是（ ）
A．当x＝时，f(x)取最大值 B．当x＝时，f(x)取最小值
C．当x＝－时，f(x)取最大值 D．当x＝－时，f(x)取最小值
【答案】D
【分析】
利用导数可求函数的最值，即可判断.
【详解】
∵函数f(x)＝x·2x，∴f′(x)＝2x＋x·(2x)′＝2x＋x·2x·ln 2.令f′(x)＝0，得x＝－.
当x∈时，f′(x)<0；当x∈时，f′(x)>0，
故函数在x＝－处取极小值，也是最小值．故选：D
2.函数的极小值是（ ）
A．1 B．9 C．4 D．不存在
【答案】B
【分析】
利用导数讨论函数的单调性，进而得出函数的极小值.
【详解】
，由得，当时，
当时，则时为函数的极小值.
故选：B
3.关于函数说法正确的是（ ）
A．没有最小值，有最大值 B．有最小值，没有最大值
C．有最小值，有最大值 D．没有最小值，也没有最大值
【答案】A
【分析】
对函数求导，利用导数求解函数的最值即可
【详解】
解：函数的定义域为，
由，得，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得最大值，没有最小值，
故选：A
4.下列函数中，存在极值的函数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据极值的定义进行求解即可.
【详解】
A：因为函数是实数集上的增函数，所以函数没有极值；
B：因为函数是正实数集上的增函数，所以函数没有极值；
C：因为函数在区间、上是减函数，所以函数没有极值；
D：因为，所以该函数在上是增函数，在上是减函数，因此是函数的极小值点，符合题意，
故选：D
5.下列关于函数的结论中，正确结论是（ ）
A．是极大值，是极小值；
B．没有最大值，也没有最小值；
C．有最大值，没有最小值；
D．有最小值，没有最大值.
【答案】C
【分析】
先函数进行求导，在令解出，再结合导函数的符号分析出极大值与极小值.
【详解】
由，得，令，则，解得或，当或时，，当时，，所以是极小值，是极大值，所以A错误；
因为是极小值，且当时，恒成立，而是极大值,也是最大值，所以有最大值，没有最小值，所以C正确，BD错误.
故选：C

Ø 二、图像与极值
导函数图像与原函数图像：
1. 导函数看“正负”。
2. 原函数看“增减”
3. 极值点是导函数的“穿越根”
4. 注意“相切根”只是增减速度发生了改变，不对应极值点。
此处举例，可以用及其导函数图像来类比学习

【典型例题】
【例1】已知定义在上的函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）

A．有极小值 B．有最大值
C．是奇函数 D．是偶函数
【答案】A
【分析】
依据图象直接依次进行判断即可.
【详解】
由图可知：有极小值，无最大值，且的定义域为，，
所以该函数不是奇函数，同时函数图象不关于轴对称，故不为偶函数，
所以答案为A
故选：A
【例2】已知函数的导函数的图象如图所示，则函数在区间内的极小值点的个数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
结合导函数图象确定正确选项.
【详解】
函数的极小值点需满足左减右增，即且左侧，右侧，
由图可知，一共有个点符合.故选：A
【例3】已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A．是的极小值点
B．是的极小值点
C．曲线在处的切线斜率小于零
D．在区间上单调递减
【答案】C
【分析】
根据导函数的图象可知，当或时，，当时，，再根据导函数与原函数的关系，得出的单调区间，从而可知极大值点和极小值点，即可判断A，B，D选项，还根据导数的定义和几何意义即可判断C选项，从而得出答案.
【详解】
解：由图象知，当或时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以在区间，内单调递增，在区间内单调递减，
是的极大值点，3是的极小值点，所以A，B，D选项错误，
又因为，所以曲线在处切线斜率小于零，所以C选项正确.故选：C.
【例4】已知函数的定义域为，导函数在区间上的图象如图所示，则函数在区间上的极大值点的个数为（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】
通过导函数的图象得到导函数的符号，进而得到原函数的单调性，进而判断出极大值个数.
【详解】
极大值点在导函数的零点处，且满足零点的左侧为正，右侧为负，由导函数的图象可知极大值点共有3个.
故选:B.
【例5】已知定义在上的函数恰有3个极值点，则的导函数的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据函数极值点的定义，结合选项，逐项判定，即可求解.
【详解】
根据函数极值点的定义可知，函数的极值点要满足两个条件，一个是该点的导数为0，
另一个是该点左、右两边的导数值异号，故A与C对应的函数只有2个极值点，
B对应的函数有4个极值点，D对应的函数有3个极值点．
故选：D.
【例6】设函数f（x）在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）

A．函数f（x）有极大值f(-3)和f（3） B．函数f（x）有极小值f(-3)和f（3）
C．函数f（x）有极小值f（3）和极大值f(- 3) D．函数f （x）有极小值f(-3)和极大值f（3）
【答案】D
【分析】
结合图象，讨论出原函数的单调区间，进而得到极值点的位置，最后得到答案.
【详解】
由题意，时，，单调递减；
时，，单调递增；
时，，单调递增；
时，，单调递减.
所以函数有极小值f(-3)和极大值f（3）.故选：D.

【对点实战】
1.已知函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示，则函数在内的极小值点有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】
结合导函数图象确定正确选项.
【详解】
因为极小值点两侧函数的单调性是先减后增，对应导函数值是先负后正，
由图得：导函数值先负后正的点有1个．所以函数在区间内极小值点的个数是1．
故选：A
2.设f ′（x）是函数f（x）的导函数，y＝f ′（x）的图像如图所示，则y＝f（x）的图像最有可能是（ ）

A．B．C． D．
【答案】D
【分析】
由导函数的图象可知，0是极大值点2是极小值点，即可得到答案；
【详解】
由导函数的图象可知，0是极大值点2是极小值点，
故选：D.
3.已知函数的导函数的图象如图，则（ ）

A．函数有个极大值点，个极小值点
B．函数有个极大值点，个极小值点
C．函数有个极大值点，个极小值点
D．函数有个极大值点，个极小值点．
【答案】B
【分析】
根据导函数值的正负判断原函数的单调性，再根据单调性的改变判断极值点.由单调递增变为单调递减为极大值，单调递减变为单调递增为极小值.
【详解】
由的图象可知，
当时，，所以单调递增，
当时，，所以单调递减，
当时，，所以单调递增，
所以在为极大值，在时为极小值.
故选：B.
4.如图是函数的导函数的图象，则下列说法正确的是（ ）

A．是函数的极小值点
B．当或时，函数的值为0
C．函数关于点对称
D．函数在上是增函数
【答案】D
【分析】
A. 不是函数的极值点，所以该选项错误；
B.函数的值不一定为0，所以该选项错误；
C. 没有理由推出函数关于点对称，所以该选项错误；
D. 时，，函数单调递增，故该选项正确.
【详解】
A. 因为两边的导数都是负数，所以不是函数的极值点，所以该选项错误；
B. 当或时，的值为0，但是函数的值不一定为0，所以该选项错误；
C. 没有理由推出函数关于点对称，所以该选项错误；
D. 结合导数与函数单调性的关系可知，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，故该选项正确.
故选：D．
5.设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根极值与导函数的关系确定在附近的正负，得的正负，从而确定正确选项．
【详解】
由题意可得，而且当时，，此时，排除B、D；
当时，，此时，，若，，
所以函数的图象可能是C．故选：C

Ø 三、常见函数求最值与极值（无参）
求最值或者极值，实质上是解方程。求解对数、指数以及幂函数等函数零点。这个点几个例题虽然不难，但是是后续含参讨论的基础之一，授课时注意针对不同函数，讲清楚零点求解特征。并且，【对点实战】练习题中的多函数组合（幂函数与的积和商）图像，非常重要，尽量用几何画板再画出让学生记下来，可当做二级结论记忆。
1. 对数函数闭区间最值，如例题1
2. 幂函数最值，如例题2，
3. 指数函数最值，如例题3
4. 三角函数最值，如例题4
5. “一元三次函数”最值，如例题5
6. 对勾函数极值，如例题6（实质上可画图得）
7. “反比例函数”最值极值，如例题7.

【典型例题】
【例1】函数在（0，e]上的最大值为（ ）
A．－1 B．1 C．0 D．e
【答案】A
【分析】
对函数求导，然后求出函数的单调区间，从而可求出函数的最大值
【详解】
由，得，
当时，，当，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得最大值，
故选：A
【例2】函数的最大值为（ ）
A．32 B．27 C．16 D．40
【答案】A
【分析】
利用导数即可求解.
【详解】
因为，所以当时，；
当时，.
所以函数在上单调递增；在上单调递增,，
因此，的最大值为.
故选：A
【例3】在区间上的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】
求导函数，分析其导函数的符号，得出原函数的单调性，从而可求得最小值．
【详解】
因为，所以，令，解得，
所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
所以函数在上的最小值为，故选：B．
【例4】函数在上的最大值为（　　）
A． B．π C． D．
【答案】B
【分析】
利用导数研究的单调性，进而求其最大值.
【详解】
由题意，在上，即单调递增，∴.故选：B
【例5】函数的极大值为（ ）
A．2 B． C．10 D．
【答案】D
【分析】
根据极大值点的存在条件即可求出．
【详解】
因为，
当时，，当时，，当时，，
所以是函数的极大值点，极大值为．故选：D．
【例6】函数y＝x＋(－2 A．－2 B．2
C．－ D．不存在
【答案】A
【分析】
求出导函数，判断导函数符号，结合极值的定义得答案.
【详解】
y′＝1－＝．令y′＝0得x＝－1．
在(－2，－1)上，y′>0；在(－1，0)上，y′<0，故函数在x＝－1处取得极大值－2．
故选：A
【例7】函数f(x)＝＋x(x∈[1，3])的值域为（ ）
A．(－∞，1)∪(1＋∞) B．[，＋∞)
C． D．
【答案】D
【分析】
先求导函数，从而由导数的正负确定函数的单调性，从而求函数的值域．
【详解】
解：，在，上单调递增，
，，的值域为；故选：．


【对点实战】
1.设函数，则（ ）
A．f（x）的极大值为 B．f（x）的极小值为
C．f（x）的极大值为 D．f（x）的极小值为
【答案】D
【分析】
直接求出导数，利用列表法求极值即可.
【详解】
的定义域为，.
令，解得x=2.列表得：
x

2


-
0
+

单减
极小值
单增
所以f（x）在x=2处取得极小值，，无极大值.故选：D
2.函数在上的极大值点为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【分析】
求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的极大值点.
【详解】
函数的导数为，令得，
又因为，所以，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以使得函数取得极大值的的值为.
故选：C.
3.函数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先对函数求导，求出函数的单调区间，进而可求出函数的最大值
【详解】
解：由，得，
当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
因为，
所以函数的最大值为，
故选：B
4.函数的极大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用导数研究函数的单调性，进而得到极大值.
【详解】
由题意得.
由，得；由，得或.
则在和上单调递减，在上单调递增，
故极大值.故选：C
5.函数y＝的最大值为（ ）
A．e－1 B．e C．e2 D．10
【答案】A
【分析】
先求导找极大值，再得最大值.
【详解】
令 当时， ；当 时 ，
所以函数得极大值为 ，因为在定义域内只有一个极值，所以
故选：A.
6.函数有
A．最大值为1 B．最小值为1
C．最大值为 D．最小值为
【答案】A
【分析】
对函数进行求导，判断出函数的单调性，进而判断出函数的最值情况.
【详解】
解:，当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
有最大值为，故选A.
7.函数在上的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
直接利用导数求出函数的最大值即可
【详解】
解：由，得，令，则得，当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，因为的最大值为和中最大者，
因为，所以的最大值为，故选：D
8.若函数的极大值点与极小值点分别为a，b，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
利用导数求函数的极值点，再比较选项.
【详解】
，当，；
当或时，．
故的极大值点与极小值点分别为，，
则，，所以．
故选：C

Ø 四、极值点存在（含参）
极值点存在，就是导函数有“穿越根”。
1. 当导函数是一元二次函数时，则是“根的分布”。 如例题1，2，3，4题。
2. 导函数是三角函数，则是三角函数在区间内零点情况，如例题5
3. 分段函数的导函数根的情况，如例题6
4. 难度较大的复杂的函数，极值点存在就是求导后恒成立，分离参数可求得，如例题7
5. 难度较大的复杂的函数，极值点的存在，需要二阶求导，如例题8

【典型例题】
【例1】已知函数有极值，则c的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
求导得，则，由此可求答案．
【详解】
解：由题意得，
若函数有极值，则，解得，故选：A．
【例2】已知函数在上无极值，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
求得导函数，根据无极值的条件，利用判别式解得m的取值范围.
【详解】
函数在上无极值在上无变号零点，故选D.
【例3】若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
求出函数的导数，由导函数有两个零点可得实数的取值范围.
【详解】
∵有两个不同的极值点，
∴在有2个不同的零点，
∴在有2个不同的零点，
∴，解得．故选：D.
【例4】若函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由题得，等价于函数在上有两个不相等的零点，解不等式组即得解.
【详解】
由题得，因为有两个极值点，
所以函数在上有两个不相等的零点，所以，
解得．故选：B
【例5】已知函数在上是增函数，且在上仅有一个极大值点，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
首先根据函数的单调性列出，求出，再由在处取得极大值，列出，解不等式即可求解.
【详解】
由题，所以有，得，又因为，所以；
又在处取得极大值，
可得，所以，则，故选：A.
【例6】若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先根据单调性画出函数的大致图象，再数形结合建立不等式，解不等式可得答案．
【详解】
解：令，，则，
令，解得；令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减．
又，作出函数的大致图象，

结合图象，由题意可得，解得，
所以实数的取值范围是，．故选：．
【例7】已知函数，若函数有三个极值点，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
要使有三个极值点，则有三个变号实根，转化为方程有两个不等于1的变号实根，令，通过研究的最小值可得的取值范围.
【详解】
，求导，得，令，得，或.
要使有三个极值点，则有三个变号实根，即方程有两个不等于1的变号实根.
，令，则，令，得.
易知，且，；，.
所以，当时，方程即有两个变号实根，
又，所以，即.
综上，的取值范围是.故选：C.
【例8】设函数恰有两个极值点，则实数的取值范围是____.
【答案】
【分析】
求导得有两个零点等价于函数有一个不等于1的零点，分离参数得，令，，利用的单调性可得：在取得最小值，作的图象，并作的图象，注意到，，对分类讨论即可得出．
【详解】
解：求导得有两个零点等价于函数有一个不等于1的零点，分离参数得，令，，
在递减，在递增，显然在取得最小值，
作的图象，并作的图象，注意到，，
（原定义域，这里为方便讨论，考虑，
当时，直线与只有一个交点即只有一个零点（该零点值大于；
当时在两侧附近同号，不是极值点；
当时函数有两个不同零点（其中一个零点等于，但此时在两侧附近同号，使得不是极值点不合．
故答案为：．


【对点实战】
1.若函数既有极大值，也有极小值，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
由函数解析式得到，根据题设知有两个不同的零点，由求的取值范围.
【详解】
由题设，，又既有极大值，也有极小值，
∴有两个不同的零点，
∴，可得或.
故选：A
2.已知函数的值域为，，则实数的取值范围是（ ）
A．， B． C． D．，
【答案】D
【分析】
由题意可得当时，，即，构造函数，利用导数求出其最大值，从而可求得答案
【详解】
解：因为函数的值域为，，且当时，，
所以当时，，即．令，则，
故在上，，单调递增；在上，，单调递减，
故当时，取得极大值为，，故选：D3.
3.已知函数有两个不同的极值点，则满足条件的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
求出导函数，由有两个不等的正实根（转化为一元二次方程有两个不等正实根）可得参数范围．
【详解】
解：函数，定义域为，则
因为函数有两个不同的极值点所以有两个不同的正实数根，
则有，解得所以满足条件的取值范围为故选：D.
4.设函数在上存在最小值(其中为自然对数的底数，)，则函数的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无法确定
【答案】C
【分析】
求出导函数，分类讨论得函数有最小值时的范围，然后由判别式判断零点个数．
【详解】
解析：
当时，在恒成立，所以在恒成立，
所以函数在上单调递增，没有最小值；
当时，令得，，且








0

0



极大值

极小值

当时，所以若有最小值，只需要
∵，
∴的判别式，因此有两个零点.
故选：C．
5. 若函数在区间内有最小值，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
在区间内有最小值，可转化为的导函数在区间有变号零点，再根据二次函数的零点分布，即可求解.
【详解】
由，若函数在区间内有最小值.此时函数必定存在极值点，由，设，为一元二次方程的两根，有不妨设，故只需要即可，令，有，解得.
故选：C.
6.已知函数在上有极值，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
求导可得，则在上有变号零点，令，利用二次函数的性质可求得的取值范围．
【详解】
，设，函数在区间上有极值，
在上有变号零点，即在上有解，
令，由可得，即，得到，解得： ．故选：
7.若函数没有极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先对函数求导，然后结合极值存在的条件转化为函数图象交点问题，分离参数后结合导数即可求解.
【详解】
由题意可得，没有零点，
或者有唯一解（但导数在点的两侧符号相同），
即没有交点，或者只有一个交点但交点的两侧符号相同.令，，
则，令则在上单调递减且，
所以当时，，，单调递增，
当时，，，单调递减，故当时，取得最大值，
又时，，时，，
结合图象可知，即.故选：C.

Ø 五、三次函数
形如一元三次函数
1. 一元三次函数有对称中心，对称中心横坐标是一元二次函数的对称轴横坐标
2. 一元三次函数，一般情况下，若三次项系数为正，是“增-减-增”；若三次项系数为负，是“减-增减”


【典型例题】
【例1】若函数在区间内既存在最大值也存在最小值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用导数求出在处取得极小值，在处取得极大值，再根据且，结合三次函数的图象列不等式组可求得结果.
【详解】
由得或，
可以判断在处取得极小值，在处取得极大值.
令，得或，令，得或，
由题意知函数在开区间内的最大、最小值只能在和处取得，

结合函数的图象可得：，解得， 故的取值范围是.故选：A
【例2】已知函数，若函数在上存在最小值，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
对函数求导，求出函数的单调区间和极值，再根据函数在上存在最小值求参数范围.
【详解】
，当时，单调递减；当或时，单调递增，在、处取得极值.，，
∴函数在处取得最小值，∵函数在上存在最小值，
∴，解得.故选：A.
【例3】设函数，若和是函数的两个零点，和是的两个极值点，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据零点得出的关系，再由和是的两根，可得出选项.
【详解】
，若和是函数的两个零点，即和是方程的两根，
所以得到，，，
由已知得和是的两根，所以，
故选：C.
【例4】若是函数的极值点，则的值为（ ）
A．-3 B．2 C．-2或3 D．–3或2
【答案】D
【分析】
由解析式求其导数，由是的极值点有即可求的值；
【详解】
由题意，知：且，
∴，解得：或.
当时，，即在的左侧，右侧，所以是极值点，而非拐点；
当时，，即在的左侧，右侧，所以是极值点，而非拐点；故选：D
【例5】已知函数的一个极值点为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
求出的导函数，由题意可得，可得，再根据基本不等式即可求得的最大值．
【详解】
解：，可得，
因为函数的一个极值点为1，
所以，即，即，
所以，当且仅当、时等号成立，
所以的最大值为．故选：．
【例6】已知函数的极大值点为，则的极小值为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【分析】
求导并令得或,再结合题意得,进而得函数的单调区间得函数在处取得极小值,极小值为.
【详解】
解:求导得,
令得或,
因为函数的极大值点为，
所以,即
所以函数在区间和上单调递增,在区间上单调递减,
所以函数在处取得极小值,极小值为
故选:D

【对点实战】
1.若函数的极大值点为，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【答案】B
【分析】
求出函数的导数，判断函数的单调性，然后求解函数的极值推出结果．
【详解】
．当或时，；当时，．
所以的极大值点为0，则，解得．故选：B．
2.已知函数在处有极值2，则的极小值点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由题意得，从而可求得，所以，，令求出极值点，再判断出极小值点即可
【详解】
解：由，得，
因为函数在处有极值2，
所以，即，解得，
所以，则，
由，得，解得或，
因为当或时，，当时，，
所以的极小值点为，
故选：B
3.已知函数f(x)的导数，且f(x)在x＝a处取得极大值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
讨论的正负，以及与的大小，分别判定在处的导数符号，从而确定是否在处取到极大值，从而求出所求．
【详解】
（1）当时，当时，，当时，，
则在处取到极小值，不符合题意；
（2）当时，函数无极值，不符合题意；
（3）当时，当时，，当时，，
则在处取到极大值，符合题意；
（4） 当时，，函数无极值，不符合题意；
（5） （5）当时，
当时，，当时，，则在处取到极小值，不符合题意；
综上所述，故选：．
4.函数在内有极小值，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
因为函数在内有极小值，得到，解得：.由解出b的范围.
【详解】

因为函数在内有极小值，
所以函数的极值点在内.
令，则有，解得：.
又因为，所以，解得：.
故选：A
5.已知的图像与x轴相切于非原点的一点，且f(x)极小值=-4，那么p，q值分别为（ ）
A．8，6 B．9，6 C．4，2 D．6，9
【答案】D
【分析】
设切点为，根据题意得到，然后求导，再由f(x)极小值=-4求解.，
【详解】
设切点为，，由题意得：有两个相等实根，
所以，，令，得或，
因为f(x)极小值=-4，而，所以，即，解得，
所以，所以.故选：D

Ø 六、压轴题：最值与范围综合（难点）

【典型例题】
【例1】若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
将原不等式化为，构造函数，由单调性的性质可知，即，构造函数，利用导数得出的最小值，即可得出的最大值.
【详解】
原不等式化为，即，令，
知在上单调递增，原不等式转化为，所以，即，设，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增，故当时取得最小值，所以的最大值为.
故选：C
【例2】已知函数f（x）＝xlnx﹣x+2a+2，若函数y＝f（x）与y＝f（f（x））有相同的值域，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，0] B．[0，+∞） C． D．
【答案】A
【分析】
用导数法判断f（x）的单调性，求出f（x）的值域，根据y＝f（x）与y＝f（f（x））有相同的值域，得出f（x）的最小值与极小值点的关系，求出a的范围.
【详解】
f′（x）＝lnx，当x＞1时，f′（x）＞0，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴f（x）的最小值为f（1）＝2a+1.即f（x）的值域为[2a+1，+∞），
∵函数y＝f（x）与y＝f（f（x））有相同的值域，∴2a+1≤1，解得：a≤0.故选：A.
【例3】已知函数（其中，），当时恒成立，则的取值范围为___________.
【答案】
【分析】
将拆分为、分别研究单调性，令可得，讨论该方程、情况下参数a、b、c的关系或范围，进而利用导数求目标式的范围.
【详解】
令，则，
∴时，时，
∴在上递减，在上递增，故，
若，则在上递减，在上递增，
令，即，，
1、即时，在上的两个零点为，同时它们恰好为的零点，
∴，即，又，则，
此时，，令，则，
∴递减且时，则，故.
2、，即时，在上，此时只需即即可.
此时，，令，则，即在递减，
∴，而，故.
综上，
【例4】已知函数，满足恒成立的最大整数为__________．
【答案】2
【分析】
已知条件等价于恒成立，临界条件为与有一个交点，即两曲线相切，利用导数的几何意义，求出切点，构造函数，利用零点存在性定理求出，利用对勾函数求出m的取值范围，从而得到答案.
【详解】
函数的定义域为，
结合指数，对数函数的图像变换知，

当时，恒成立，故考虑的情况
等价于，临界条件为与有一个交点，
设两曲线相切，切点的横坐标为，，
则利用导数的几何意义可知，解得：，即
令，求导，故单调递增，
又，
由零点存在性定理知，存在，使得，即
，令，则
则，，所以函数在上单调递减，
.所以最大整数为2.故答案为：2
【例5】对任意的，不等式恒成立，则的最小值为______.
【答案】
【分析】
根据不等式恒成立，构造，有，利用二阶导数研究单调性，再讨论、时的单调性，进而确定在上的最小值及对应m、n的关系式，将与所得关系式转化为直线与曲线相切的问题，求的最小值即可.
【详解】
令，则，即，
∴单调递增，
∴当时，，即在上递减，而当时，，故不满足；
当时，若得，即，
∴时，，即递减；当时，，即递增；若令，即，
则：①当，即，恒成立；
∴情况下最小，即直线与曲线相切，而，
∴时，，有，，则；
当，即，，得，
∴情况下最小，即直线与曲线相切，而，
∴时，，有，，则；
∴综上：，即的最小值为.故答案为：.
【例6】若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为__________．
【答案】
【分析】
首先不等式变形为，经讨论不成立，当时，不等式变形为，通过设函数，转化为不等式恒成立，通过函数的单调性，和正负区间，讨论求的取值范围.
【详解】
解：
若，时，，，∴，
此时不恒成立，∴，
，
令，，
时，，，，
在单调递减，单调递增，∴，
，时，，，原不等式恒成立；



时，令，，，
时，，时，，在单调递减，在单调递增，
∴，∴，
∴，即，∴，∴．故答案为：.
【例7】已知函数，若对于任意，不等式恒成立，则实数a的最大值为________.
【答案】1
【分析】
依题意，对任意，恒成立，令，则，利用导数求得的最小值，进而可得的最大值.
【详解】
依题意，对任意，恒成立，
令，则.
，
令，则，
所以在上单调递增，又，
所以，当时，即，单调递减；
当时，即，单调递增，
所以，故，即实数的最大值为1.
故答案为：1.
【例8】若时，关于不等式恒成立，则实数的最大值是______.
【答案】
【分析】
对分类讨论，当时，不等式显然恒成立. 当时，对不等式进行变形为，然后构造函数，根据函数单调性化简不等式，最后分离参数，即可求出的范围，进而求出的最大值.
【详解】
当，时，不等式显然恒成立.
当时， .
由于，即.
所以原不等式恒成立，等价于恒成立.
构造函数，.
易知在上单调递减，在上单调递增.
则原不等式等价于要证.
因为，要使实数的最大，则应.
即. 记函数，则.
易知，.
故函数在上单调递减，所以.
因此只需.
综上所述，实数的最大值是.故答案为：
【例9】函数，．若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由得出，构造函数，利用导数得出其最值，进而得出的最小值.
【详解】
，，即
设，
。
即函数在上单调递减，在上单调递增
即，故的最小值为故选：C
【例10】已知函数()有两个极值点､()，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
求得，设，根据题意，转化为在内有两个不等的实数根､，利用二次函数的性质，求得，结合二次函数根与系数关系和二次函数的性质，即可求解.
【详解】
由题意，函数，可得函数的定义域为，
且，
设，
因为函数()有两个极值点､()，
即在内有两个不等的实数根､()，
可得，解得，
又因为､，可得，
则
，当且仅当时，等号成立，
故的最大值为.
故选：D.