期末模拟卷（基础卷）- 2022-2023学年高二数学同步精讲+检测(人教A版2019选择性必修第二册)

期末模拟卷

基础卷

(时间：120分钟，分值：150分)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．在等差数列中，，则的公差为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【分析】

根据等差数列性质可得方程组，求得公差.

【详解】

等差数列中,,，由通项公式可得

解得

故选：A

2．抛物线的准线方程是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

将抛物线的方程化为标准方程，可得出该抛物线的准线方程.

【详解】

抛物线的标准方程为，则，可得，

因此，该抛物线的准线方程为.

故选：D.

3．若直线与圆相切，则（    ）

A． B．或2 C． D．或

【答案】D

【分析】

根据圆心到直线的距离等于半径列方程即可求解.

【详解】

由圆可得圆心，半径，

因为直线与圆相切，

所以圆心到直线的距离，

整理可得：，所以或，

故选：D.

4．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

由向量在向量上的投影向量为，计算即可求出答案．

【详解】

解：向量，

则，，，

所以向量在向量上的投影向量为．

故选：．

5．如图，M为OA的中点，以为基底，，则实数组等于（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

根据空间向量减法的几何意义进行求解即可.

【详解】

，所以实数组．

故选：B

6．设等比数列的前项和为，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据，求得，结合等比数列的求和公式，得到，即可求解．

【详解】

设等比数列的公比为，其中，

因为，所以，所以．

故选：C.

7．设，，是双曲线C：（，）的左、右焦点，以为圆心，a为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于M，N两点，若，则C的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

由和圆知，为等腰直角三角形，求出到的距离，找到的关系即可.

【详解】

解：

因为，所以，

取Q为的中点，则，由

所以到渐近线的距离为，即，

在中，有，即

所以，

故选：A．

8．设函数f(x)=若函数g(x)=f(x)–b有两个零点，则实数b的取值范围是（    ）

A．(–，0) B．(–，0]

C．(–，0]∪(1，+∞) D．(–，1)

【答案】C

【分析】

根据导数判断函数的单调性，画出函数图象，数形结合即可求出.

【详解】

当时，，则，

当时，，单调递减，当时，，单调递增，且，

画出的函数图象如下：

函数有两个零点，等价于与的函数图象有两个交点，

由图可知或.

故选：C.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9．设等比数列的前n项和为，则下列数列一定是等比数列的有（    ）

A．，，，… B．，，，…

C．，，，… D．，，，…

【答案】BD

【分析】

设数列的公比为，，判断选项中的数列的项和公比，是否满足等比数列的定义，从而求得结果.

【详解】

设数列的公比为，，

对于A和C，都有首项，当时，，不满足等比数列，故AC错误；

对于B，，且，

同理，故数列，，，…为等比数列，B正确；

对于D，，且，，

故数列，，，…为等比数列，D正确；

故选：BD

10．已知双曲线过点且渐近线为，点在双曲线的一条渐近线上，为坐标原点，为双曲线的右焦点，则下列结论正确的是（    ）

A．双曲线的离心率为2 B．双曲线的方程是

C．的最小值为2 D．直线与有两个公共点

【答案】AB

【分析】

设双曲线的方程为，由双曲线过点求出，判断B；再由离心率公式判断A；联立直线和双曲线方程判断D.

【详解】

设双曲线的方程为，由双曲线过点可得，即双曲线的方程是，故B正确；

可化为，则，，故A正确；

由题意可得，当直线与渐近线垂直时，取最小值，且最小值，故C错误；

由，解得，即直线与只有一个交点，故D错误；

故选：AB

11．空间直角坐标系中，为坐标原点，，，，，，则（    ）

A． B．，，，四点共面

C．向量是平面的法向量 D．与平面所成角的余弦值为

【答案】BC

【分析】

首先求出，，，即可得到，从而判断A、B，再根据平面向量数量积的坐标表示得到且，即可判断C，最后求出平面的法向量，利用空间向量法求出线面角的正弦值；

【详解】

解：因为，，，，，

所以，，，所以，故A错误；

设，即，解得，即，

设，即，即，显然无解，即与不共线，所以，，，四点共面，故B正确；

因为，所以，，所以且，所以向量是平面的一个法向量，故C正确；

设平面的法向量为，所以，令，则，，所以，又，设与平面所成角为，所以，即与平面所成角的正弦值为，故D错误；

故选：BC

12．已知函数，下列说法正确的是（    ）

A．当时，；当时，

B．函数的减区间为，增区间为

C．函数的值域

D．恒成立

【答案】ACD

【分析】

由对数函数的性质直接判断A，利用导数确定函数的单调性与极值判断BC，D选项中，不等式变形为，然后引入函数，由导数求得最小值判断D．

【详解】

对于选项A，当时，；当时，，故选项A正确；

对于选项B，，令可得，有，可知函数的减区间为，增区间为，故选项B错误；

对于选项C，由上可知，时，，故选项C正确；

对于选项D，，令，有，令可得，故函数的增区间为，减区间为，可得，故选项D正确．

故选：ACD．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.

13．直线与直线垂直，且相交于点，则______．

【答案】

【分析】

根据直线垂直可得斜率相乘为，可求出，再将代入直线可求出，再将代入直线即可求出.

【详解】

由两直线垂直可得，解得，

将代入直线，即，解得，

将代入直线，即，解得.

故答案为：.

14．过点作圆的切线，切点为，则的长为______.

【答案】4

【分析】

根据切线长公式计算．

【详解】

由题意圆心为，半径为，

，

所以．

故答案为：4．

15．已知正项等比数列中，，表示数列的前项和，则的取值范围是_______．

【答案】

【分析】

根据等比数列公式得到，，根据数列的单调性得到范围.

【详解】

，，解得，，故，

，，

是单调递增数列，当时，；当时，.故.

故答案为：.

16．若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是_________．

【答案】

【分析】

由导函数求得极大值，利用极大值点在区间上，且的极大值可得参数范围．

【详解】

，

或时，，时，，

所以在和上都递增，在上递减，

，

在区间上有最大值，则，解得．

故答案为：．

四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）已知公比大于1的等比数列满足，．

（1）求的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

【答案】

（1）

（2）

【分析】

（1）由已知条件可得，求出公比，从而可求出的通项公式，

（2）由（1）可得，然后利用等差数的求和公式求解即可

（1）

设数列的公比为，则由已知得，解得或（舍去），

∴．

（2）

由（1）得，

∴．

18．（12分）已知函数（为自然对数的底）.

（1）求函数的单调递增区间；

（2）求曲线在点处的切线方程.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）对函数求导，使导函数大于零，从而可求出函数的增区间，

（2）利用导数的几何意义求解即可

【详解】

解：（1）

令，即函数的单调递增区间是；

（2）因为，，

所以曲线在点处的切线方程为，

即.

19．（12分）已知圆，其圆心在直线上.

（1）求的值；

（2）若过点的直线与相切，求的方程.

【答案】

（1）

（2）或

【分析】

（1）将圆的一般方程化为标准方程，求出圆心，代入直线方程即可求解.

（2）设直线的方程为：，利用圆心到直线的距离即可求解.

（1）

圆的标准方程为：

，

所以，圆心为

由圆心在直线上，得.

所以，圆的方程为：

（2）

由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为：，

即

由于直线和圆相切，得

解得：

所以，直线方程为：或.

20．（12分）如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1，在底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点．

（1）求 的模；

（2）求cos〈，〉的值；

（3）求证：A1B⊥C1M.

【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.

【分析】

（1）如图，以点C作为坐标原点O，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量的模长公式计算即可；

（2）利用坐标运算计算cos〈，〉的值；

（3）通过计算·＝0可得答案.

【详解】

（1）如图，以点C作为坐标原点O，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系. 由题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)，

∴＝＝.

（2）由题意得A1(1，0，2)，B(0，1，0)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)，

∴＝(1，－1，2)，＝(0，1，2)，

·＝3，||＝，||＝，

∴cos〈，〉＝＝.

（3）由题意得C1(0，0，2)，M，＝(－1，1，－2)，＝，

∴·＝－＋＋0＝0，

∴⊥，即A1B⊥C1M.

21．（12分）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率，且____________．

在①过点；②过焦点且垂直于长轴的弦的长度为；③长轴长为6这三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并解答．

（1）求椭圆的方程；

（2）过右焦点的直线交椭圆于、两点．当直线的倾斜角为时，求的面积．

【答案】

（1）

（2）

【分析】

（1）根据离心率及选择的条件列方程即可求解；

（2）先求出直线方程，再根据点到直线的距离公式求出三角形的高，再由弦长公式求出，最后用面积公式即可求解.

（1）

设椭圆的标准方程为

若选①有，解得，所以椭圆的方程为；

若选②有，解得，所以椭圆的方程为；

若选③有，解得，所以椭圆的方程为.

（2）

由（1）可知右焦点为，当直线的倾斜角为时，可得直线方程为.

可得坐标原点到直线的距离，

直线联立椭圆方程整理化简得：，

由弦长公式可得,

所以

22．（12分）已知函数，．

（1）求函数过点的切线方程；

（2）讨论函数在的单调性．

【答案】

（1）或

（2）答案见解析

【分析】

（1）设切点为，切线的斜率为，再由点斜式可得切线方程，将点代入切线方程可得的值，进而可得切线方程；

（2）求出可得，讨论，，时，的解集，即可得在的单调性.

（1）

设切点为，由可得，

由导数的几何意义可得切线的斜率我，

又因为，所以切线方程为：，

将点代入，得

即，解得：或，

当时，切点坐标为，相应的切线方程为；

当时，切点坐标为，

相应的切线方程为，即，

所以切线方程为或.

（2）

由可得，

当时，，此时在上单调递增，

当时，由可得，由可得，

当时，，此时在上单调递增，

当时，，此时在上单调递减，在上单调递增，

综上所述：当时，在上单调递增，

当时，在上单调递减，在上单调递增.