湘教版（2019）必修 第一册4.2 指数函数导学案及答案

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教材要点
要点 指数函数的图象与性质
状元随笔 底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”．当a ＞1时，指数函数的图象是“上升”的；当0＜a＜1时，指数函数的图象是“下降”的．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)指数函数的图象都在y轴上方．( )
(2)因为a0＝1(a＞0且a≠1)，所以函数y＝ax恒过(0，1)点．( )
(3)若指数函数y＝mx是减函数，则0＜m＜1.( )
(4)函数y＝3x的图象在函数y＝2x图象的上方．( )
2．函数y＝2－x的图象是( )
3．函数f(x)＝2x-1的定义域是( )
A．[0，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(－∞，0] D．(－∞，1]
4．函数y＝ax－2(a＞0且a≠1)的图象恒过定点，则定点坐标为________．
题型1 指数型函数的定义域和值域
例1 求下列函数的定义域和值域．
(1)y＝21x-4；(2)y＝3x2-2x；(3)y＝2xx-1.
方法归纳
与指数函数有关的复合函数的定义域、值域的求法(a＞0且a≠1)：
(1)函数y＝af(x)的定义域与f(x)的定义域相同；
(2)求函数y＝af(x)的值域，需先确定f(x)的值域，再根据指数函数y＝ax的单调性确定函数y＝af(x)的值域；
(3)求函数y＝f(ax)的定义域，需先确定y＝f(u)的定义域，即u的取值范围，亦即u＝ax的值域，由此构造关于x的不等式(组)，确定x的取值范围，得y＝f(ax)的定义域；
(4)求函数y＝f(ax)的值域，需先利用函数u＝ax的单调性确定其值域，即u的取值范围，再确定函数y＝f(u)的值域，即为y＝f(ax)的值域．
跟踪训练1 (1)函数f(x)＝1-2x+1x+3的定义域为( )
A．(－3，0] B．(－3，1]
C．(－∞，－3)∪-3，0 D.-∞，-3∪-3，1
(2)函数f(x)＝12x+1的值域是________．
题型2 指数函数的图象
角度1 图象过定点
例2 已知函数f(x)＝a2x－1＋2(a为常数，且a＞0，a≠1)，无论a取何值，函数f(x)的图象恒过定点P，则点P的坐标是( )
A．(0，1) B．(1，2) C．(1，3) D．12，3
方法归纳
解决指数型函数图象过定点问题的思路
指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)的图象过定点(0，1)，据此可解决形如y＝k·ax＋c＋b(k≠0，a＞0，a≠1)的函数图象过定点的问题，即令指数x＋c＝0，即x＝－c，得y＝k＋b，函数图象过定点(－c，k＋b)．
角度2 指数函数的底与其图象的关系
例3 如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为( )
A.a＜b＜1＜c＜d
B．b＜a＜1＜d＜c
C．1＜a＜b＜c＜d
D．a＜b＜1＜d＜c
方法归纳
设a＞b＞1＞c＞d＞0，则y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的图象如图所示，从图中可以看出：在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小，即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大，或者说在第一象限内，指数函数的图象，底数大的在上边，也可以说底数越大越靠近y轴．
角度3 有关指数函数图象的识别
例4 二次函数y＝ax2＋bx与指数函数y＝bax的图象可以是( )
方法归纳
识别与指数函数图象有关问题应把握三点：
(1)根据图象“上升”或“下降”确定底数a＞1或0＜a＜1；
(2)在y轴右侧，指数函数的图象从下到上相应的底数由小到大；在y轴左侧，指数函数的图象从下到上相应的底数由大到小；
(3)根据“左加右减，上加下减”的原则，确定图象的平移变换，从而确定指数型函数．
跟踪训练2 (1)已知1＞n＞m＞0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为( )
(2)在同一平面直角坐标系中，函数f(x)＝ax与g(x)＝ax的图象可能是( )
(3)设函数f(x)＝3ax＋1－1(a＞0且a≠1)恒过定点(m，n)，则m＋n＝________．
题型3 指数函数图象的综合应用
例5 若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a＞0，且a≠1)的图象有两个不同的交点，求a的取值范围．
方法归纳
数形结合就是图形与代数方法紧密结合的一种数学思想，对于不易求解的方程解的个数问题，常构造函数，转化为函数图象的交点问题来解决．
跟踪训练3 若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．
易错辨析 换元法求函数的值域时，忽略新元的取值范围致误例6 求函数f(x)＝14x＋12x＋1的值域．
解析：令12x＝t＞0，
则原函数可化为f(t)＝t2＋t＋1＝t+122＋34，
因为f(t)＝t+122＋34在(0，＋∞)上是增函数，
所以f(x)＞1，即函数f(x)的值域是(1，＋∞)．
易错警示
课堂十分钟
1．已知函数f(x)＝4＋ax＋1的图象经过定点P，则点P的坐标是( )
A．(－1，5) B．(－1，4)
C．(0，4) D．(4，0)
2．已知函数g(x)＝3x＋t的图象不经过第二象限，则t的取值范围为( )
A．t≤－1 B．t＜－1
C．t≤－3 D．t≥－3
3．函数y＝ax－1a(a＞0，a≠1)的图象可能是( )
4．函数y＝10x-0.1的定义域为________．
5．已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点2，12，其中a＞0且a≠1.
(1)求a的值；
(2)求函数y＝f(x)＋1(x≥0)的值域．
4．2.2 指数函数的图象与性质
第1课时 指数函数的图象与性质(1)
新知初探·课前预习
要点
(0，＋∞) (0，1) 增函数 减函数
[基础自测]
1．答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．解析：y＝2－x＝12x是(－∞，＋∞)上的单调递减函数．
答案：B
3．解析：由2x－1≥0，得2x≥20，∴x≥0.
答案：A
4．解析：令x－2＝0，即x＝2时，y＝1，∴函数y＝ax－2的图象恒过定点(2，1)．
答案：(2，1)
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)要使函数有意义，则x－4≠0，解得x≠4，所以函数y＝21x-4的定义域为{x|x≠4}．因为1x-4≠0，所以21x-4≠1，即函数y＝21x-4的值域为{y|y>0且y≠1}．
(2)要使函数有意义，则x2－2x≥0，
∴x≤0或x≥2，
∴函数的定义域为{x|x≤0或x≥2}，
由于x2-2x≥0，∴3x2-2x≥30＝1，即y≥1，
∴函数的值域为[1，＋∞)．
(3)要使函数有意义，则x－1≠0，∴x≠1，
∴函数的定义域为{x|x≠1}，
由于xx-1＝x-1+1x-1＝1＋1x-1≠1，
∴2xx-1≠2且2xx-1>0，即y>0且y≠2.
∴函数的值域为(0，2)∪2，+∞．
跟踪训练1 解析：(1)由题意知1-2x≥0，x+3>0，解得－3(2)令t＝|x＋1|，则t≥0，∴0<12t≤1，故函数f(x)＝12x+1的值域是(0，1].
答案：(1)A (2)(0，1]
例2 解析：因为指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象恒过点(0，1)，所以2x－1＝0，即x＝12，此时y＝3.所以函数f(x)＝a2x－1＋2恒过定点12，3.
答案：D
例3 解析：由图象可知③④的底数必大于1，①②的底数必小于1.过点(1，0)作直线x＝1，如图所示，在第一象限内直线x＝1与各曲线的交点的纵坐标即为各指数函数的底数，则1答案：B
例4 解析：根据指数函数的解析式为y＝bax可得ba>0，∴－b2a<0，故二次函数y＝ax2＋bx图象的对称轴直线x＝－b2a位于y轴的左侧，排除A，C选项，对于选项B，由二次函数图象可得a<0，且函数图象与x轴交点的横坐标－ba<－1，∴ba>1，则指数函数应该单调递增，故B不正确．故选D.
答案：D
跟踪训练2 解析：(1)由于0(2)需要对a讨论：
①当a>1时，f(x)＝ax过原点且斜率大于1，g(x)＝ax是递增的；②当0(3)令x＋1＝0，即x＝－1时，此时f(－1)＝2.∴m＝－1，n＝2，∴m＋n＝－1＋2＝1.
答案：(1)C (2)B (3)1
例5 解析：作出y＝2a和y＝|ax－1|的图象．当0当a>1时，y＝|ax－1|的图象如图②所示．
由已知，得0<2a<1，所以01矛盾．综上可知，0跟踪训练3 解析：曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b如图所示，由图象可知：如果曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1，1].
答案：[－1，1]
[课堂十分钟]
1．解析：当x＋1＝0，即x＝－1时，ax＋1＝a0＝1，为常数，
此时f(x)＝4＋1＝5，即点P的坐标为(－1，5)．
答案：A
2．解析：由指数函数的性质，可得函数g(x)＝3x＋t恒过点坐标为(0，1＋t)，函数g(x)是增函数，图象不经过第二象限，∴1＋t≤0，解得t≤－1.
答案：A
3．解析：∵a>0，∴1a>0，∴函数y＝ax需向下平移1a个单位，不过(0，1)点，所以排除A，当a>1时，∴0<1a<1，所以排除B，当01，所以排除C.
答案：D
4．解析：由题意，函数y＝10x-0.1有意义，则满足10x－0.1≥0，即10x≥0.1，解得x≥－1，
所以函数的定义域为-1，+∞.
答案：-1，+∞
5．解析：(1)因为函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点2，12，
所以f(2)＝a2－1＝a＝12.
(2)由(1)得f(x)＝12x-1(x≥0)，
因为函数在[0，＋∞)上是减函数，
所以当x＝0时，函数取最大值2，
故f(x)∈(0，2]，
所以函数y＝f(x)＋1＝12x-1＋1(x≥0)∈(1，3]
故函数y＝f(x)＋1(x≥0)的值域为(1，3].
表达式
y＝ax(a＞1)
y＝ax(0＜a＜1)
图象
定义域
R
值域
________
性质
函数的图象过点________，即a0＝1
是R上的________
是R上的________
易错原因
纠错心得
换元时，t＝12x＞0，而不是t∈R，若误认为t∈R，则有f(x)∈34，+∞.
求形如f(ax)的函数的值域时，常利用换元法，设ax＝t，根据f(ax)的定义域求得t的取值范围，最后转化为f(t)的值域．