高中湘教版（2019）4.2 指数函数第一课时课后测评

课时跟踪检测(二十六)　指数函数的图象和性质

[A级　基础巩固]

1．函数f(x)＝的定义域为(　　)

A．[－1，0)∪(0，＋∞)　　　 B．(－1，＋∞)

C．[－1，＋∞)  D．(0，＋∞)

解析：选A　依题意得即

故函数f(x)的定义域为[－1，0)∪(0，＋∞)，故选A.

2．已知a>0且a≠1，则函数y＝a的值域为(　　)

A．(0，＋∞)  B．(－∞，1)∪(1，＋∞)

C．(0，1)∪(1，＋∞)  D．(1，＋∞)

解析：选C　设t＝，则y＝at，其中t≠0.∵t≠0，∴at≠a0，即at≠1，又at>0，∴y>0且y≠1，即函数y＝a的值域为(0，1)∪(1，＋∞)，故选C.

3．在同一坐标系中，函数y＝ax＋a与y＝ax的图象大致是(　　)

解析：选B　函数y＝ax＋a的图象经过(－1，0)和(0，a)两点，选项D错误；在图A中，由指数函数y＝ax的图象得a>1，由y＝ax＋a的图象得0<a<1，选项A错误；在图B中，由指数函数y＝ax的图象得a>1，由y＝ax＋a的图象得a>1，选项B正确；在图C中，由指数函数y＝ax的图象得0<a<1，由y＝ax＋a的图象得a>1，选项C错误．故选B.

4．(多选)下列说法正确的是(　　)

A．函数y＝3x与y＝的图象关于y轴对称

B．函数y＝3x与y＝的图象关于x轴对称

C．函数y＝3x与y＝－的图象关于原点对称

D．函数y＝3x与y＝－3x的图象关于x轴对称

解析：选ACD　易知函数y＝ax与y＝＝a－x的图象关于y轴对称，且函数y＝ax与y＝－ax的图象关于x轴对称，所以函数y＝ax与y＝－的图象关于原点对称，所以B说法错误．

5．(2021·湖南衡阳八中高一月考)设a，b，c，d均大于0，且均不等于1，y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx在同一坐标系中的图象如图，则a，b，c，d的大小顺序为(　　)

A．a<b<c<d  B．a<b<d<c

C．b<a<d<c  D．b<a<c<d

解析：选C　作出直线x＝1，如图所示．

直线x＝1与四个函数图象的交点从下到上依次为(1，b)，(1，a)，(1，d)，(1，c)，因此a，b，c，d的大小顺序是b<a<d<c，故选C.

6．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a＞b)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是(　　)

解析：选C　由函数f(x)的图象可知，－1＜b＜0，a＞1，则g(x)＝ax＋b为增函数，当x＝0时，g(0)＝1＋b＞0，故选C.

7．函数y＝ax－3＋3(a＞0，且a≠1)的图象过定点________．

解析：因为指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象过定点(0，1)，所以在函数y＝ax－3＋3中，令x－3＝0，得x＝3，此时y＝1＋3＝4，即函数y＝ax－3＋3的图象过定点(3，4)．

答案：(3，4)

8．若函数f(x)＝则函数f(x)的值域是________．

解析：由x＜0，得0＜2x＜1；∵x＞0，∴－x＜0，0＜2－x＜1，∴－1＜－2－x＜0.∴函数f(x)的值域为(－1，0)∪(0，1)．

答案：(－1，0)∪(0，1)

9．求下列函数的定义域、值域：

(1)y＝0.3；

(2)y＝3.

解：(1)由x－1≠0得x≠1，所以函数定义域为{x|x≠1}．由≠0得y≠1，所以函数值域为{y|y>0且y≠1}．

(2)由5x－1≥0得x≥，所以函数定义域为.由≥0得y≥1，所以函数值域为{y|y≥1}．

10．已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点，其中a＞0且a≠1.

(1)求a的值；

(2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域．

解：(1)函数图象经过点，所以a2－1＝，则a＝.

(2)由(1)知函数为f(x)＝(x≥0)，由x≥0，得x－1≥－1.于是0＜≤＝2，所以函数的值域为(0，2]．

[B级　综合运用]

11．(2021·广东珠海高一月考)已知函数f(x)满足f(x＋1)的定义域是[0，31)，则f(2x)的定义域是(　　)

A．[1，32)  B．[－1，30)

C．[0，5)  D．(－∞，30]

解析：选C　∵f(x＋1)的定义域是[0，31)，即0≤x<31，∴1≤x＋1<32，∴f(x)的定义域是[1，32)，

∴f(2x)有意义必须满足20＝1≤2x<32＝25，∴0≤x<5.

12．(多选)下列说法正确的是(　　)

A．函数f(x)＝在定义域上是减函数

B．函数f(x)＝2x－x2与x轴有且只有两个交点

C．函数y＝2|x|的最小值是1

D．在同一坐标系中函数y＝2x与y＝2－x的图象关于y轴对称

解析：选CD　对于A，f(x)＝在定义域上不具有单调性；对于B，在同一坐标系中，画出y＝2x与y＝x2的图象，有三个交点，故函数f(x)＝2x－x2与x轴有三个交点，一个负值，两个正值；对于C，因为|x|≥0，所以2|x|≥20＝1，所以函数y＝2|x|的最小值是1，正确；对于D，在同一坐标系中，函数y＝2x与y＝2－x的图象关于y轴对称，正确．故选C、D.

13．若函数y＝＋m的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是________．

解析：作出函数g(x)＝

＝的图象如图所示．

由图象可知0<g(x)≤1，则m<g(x)＋m≤1＋m，

即m<f(x)≤1＋m，

要使函数y＝＋m的图象与x轴有公共点，则解得－1≤m<0.

答案：[－1，0)

14．设f(x)＝3x，g(x)＝.

(1)在同一平面直角坐标系中作出f(x)，g(x)的图象；

(2)计算f(1)与g(－1)，f(π)与g(－π)，f(m)与g(－m)的值，从中你能得到什么结论？

解：(1)函数f(x)，g(x)的图象如图所示：

(2)f(1)＝31＝3，g(－1)＝＝3；

f(π)＝3π，g(－π)＝＝3π；

f(m)＝3m，g(－m)＝＝3m.

从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y轴对称．

[C级　拓展探究]

15．设f(x)＝，g(x)＝(其中a>0且a≠1)．

(1)由5＝2＋3，请你探究g(5)能否用f(2)，f(3)，g(2)，g(3)来表示；

(2)如果你在(1)中获得了一个结论，请探究能否将其推广．

解：(1)∵g(5)＝，

f(2)g(3)＋g(2)f(3)

＝·＋·

＝(a5＋a－a－1－a－5＋a5－a＋a－1－a－5)

＝(a5－a－5)，

∴g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)．

(2)探究(1)中的等式，可以得g(x＋y)＝f(x)g(y)＋g(x)f(y)恒成立．

证明：f(x)g(y)＋g(x)f(y)

＝·＋·

＝(ax＋y＋ay－x－ax－y－a－x－y＋ax＋y－ay－x＋ax－y－a－x－y)

＝(ax＋y－a－x－y)．

∵g(x＋y)＝，

∴g(x＋y)＝f(x)g(y)＋g(x)f(y)．