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    湘教版高中数学必修第一册5.3.2正切函数的图象与性质导学案
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    高中数学湘教版(2019)必修 第一册5.3 三角函数的图象与性质学案设计

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    这是一份高中数学湘教版(2019)必修 第一册5.3 三角函数的图象与性质学案设计,共13页。

    53.2 正切函数的图象与性质

    教材要点

    要点 函数ytan x的图象和性质

    解析式

    ytan x

    图象

    定义域

    ______________

    值域

    ____________

    周期

    ____________

    奇偶性

    ____________

    单调性

    在区间____________________都是增函数

    对称中心

    (kZ)

     

    状元随笔 如何作正切函数的图象

    (1)几何法

    就是利用单位圆中的正切线来做出正切函数的图象,该方法作图较为精确,但画图时较烦琐.

    (2)三点两线

    三点是指(00)两线是指x=-x.三点确定的情况下,类似于五点法图,可大致画出正切函数在上的简图,然后向右、向左扩展即可得到正切曲线.

     

    基础自测

    1.思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”)

    (1)正切函数在整个定义域内是增函数.(  )

    (2)存在某个区间,使正切函数为减函数.(  )

    (3)正切函数图象相邻两个对称中心的距离为周期π.(  )

    (4)函数ytan x为奇函数,故对任意xR都有tan (x)=-tan x(  )

    2.函数ytan 的定义域是(  )

    A             B

    C    D

    3.已知函数f(x)tan ,则函数f(x)的最小正周期为(  )

    A    B

    Cπ    D

    4.比较大小:tan 135°________tan 138°.()

     

     

     

      

     

     正切函数的定义域、周期性、奇偶性

    1 (1)函数f(x)tan 的最小正周期为(  )

    A    B

    Cπ    D

    (2)函数f(x)x·tan x的奇偶性为(  )

    A.奇函数   

    B.偶函数

    C.非奇非偶函数   

    D既是奇函数又是偶函数

    (3)函数y的定义域为________________

    方法归纳

    (1)求与正切函数有关的函数的定义域时,除了求函数定义域的一般要求外,还要保证正切函数ytan x有意义,即xkπkZ.而对于构建的三角不等式,常利用正切函数的图象求解.

    (2)一般地,函数yA tan (ωxφ)的最小正周期为T,常利用此公式来求与正切函数有关的周期.

    (3)函数ytan x是奇函数,其图象关于原点对称.若函数ytan (ωxφ)是奇函数,则φ(kZ)

    跟踪训练1 (1)函数y的定义域为(  )

    A{x|x0}                  B{x|xkπkZ}

    C     D

    (2)(多选)关于函数ytan ,下列说法正确的是(  )

    A.是奇函数

    B.在区间上单调递减

    C为其图象的一个对称中心

    D.最小正周期为

     正切函数的单调性及应用

    角度1 求正切函数的单调区间

    2 求函数ytan 的单调区间.

     

     

     

     

     

     

     

     

    方法归纳

    求函数yA tan (ωxφ)(Aωφ都是常数)的单调区间的方法

    (1)ω0,由于ytan x在每一个单调区间上都是增函数,故可用整体代换的思想,令kπωxφkπkZ,解得x范围即可.

    (2)ω0,可利用诱导公式先把yA tan (ωxφ)转化为yA tan [(ωxφ)]

    A tan (ωxφ),即把x的系数化为正值,再利用整体代换的思想,求得x的范围即可.

    角度2 比较大小

    3 比较tan 1.5tan 2.5tan 3.5的大小.

     

     

     

     

     

     

     

    方法归纳

    运用正切函数单调性比较大小的方法

    (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内.

    (2)运用单调性比较大小关系.

    跟踪训练2 (1)已知atan 1btan 2ctan 3,则(  )

    Aabc    Bcba

    Cbca    Dbac

    (2)函数ytan 的单调增区间为________

    题型3 正切函数图象与性质的综合应用

    4 已知函数f(x)2tan .

    (1)f(x)的最小正周期、定义域;

    (2)f(x)2,求x的取值范围.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    方法归纳

    解答正切函数图象与性质问题应注意的两点

    (1)对称性:正切函数图象的对称中心是(kZ),不存在对称轴.

    (2)单调性:正切函数在每个(kZ)区间内是单调递增的,但不能说其在定义域内是递增的.

    跟踪训练3 设函数f(x)tan .

    (1)求函数f(x)的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心;

    (2)求不等式-1f(x)的解集.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    易错辨析 不能正确掌握正切函数的对称中心致误

    5 函数ytan (2xθ)n的图象的一个对称中心为,其中θ,则点(θn)对应的坐标为________.

    解析:因为ytan x的对称中心为kZ,所以由ytan (2xθ)n的图象的一个对称中心为可知,n=-12×θkZ.

    θ,所以θ.

    答案:

    易错警示

    易错原因

    纠错心得

    误认为正切函数的对称中心是(kπ0)(kZ),导致解题错误.

    通过正切函数的图象准确掌握正切函数的对称中心是(kZ),而不是(kπ0)(kZ)

    课堂十分钟

    1函数ytan x(  )

    A.周期为π的偶函数    B.周期为的奇函数

    C.周期为的偶函数    D.周期为π的奇函数

    2.函数ytan (x)的单调递增区间是(  )

    A(kZ)

    B(kZ)

    C(kZ)

    D(kZ)

    3.已知atan 2btan 3ctan 5不通过求值,判断下列大小关系正确的是(  )

    Aabc    Babc

    Cbac    Dbac

    4.函数ytan 的定义域为________

    5.设函数f(x)tan .

    (1)求函数f(x)的最小正周期、对称中心;

    (2)作出函数f(x)在一个周期内的简图.

     

     

     

     

     

     

    53.2 正切函数的图象与性质

    新知初探·课前预习

    要点

     R kπ(kZk0) 奇函数 (kZ)

    [基础自测]

    1答案:(1)× (2)× (3)× (4)×

    2解析:xkπkZ,得xkπkZ.故选D.

    答案:D

    3解析:解法一 函数ytan (ωxφ)的周期T,可得T.

    解法二 由诱导公式可得tan

    tan tan

    所以ff(x),所以周期为T.

    故选B.

    答案:B

    4解析:因为90°135°138°270°,又函数ytan x在区间(90°270°)上是增函数,所以tan 135°tan 138°.

    答案:

    题型探究·课堂解透

    1 解析:(1)T

    T2π.故选D.

    (2)因为函数f(x)x·tan x的定义域为,关于原点对称,

    f(x)(x)·tan (x)(x)·(tan x)x·tan xf(x)

    所以函数f(x)x·tan x是偶函数.故选B.

    (3)由题意知

    解得

    所以函数的定义域为(kZ)

    答案:(1)D (2)B

    (3)(kZ)

    跟踪训练1 解析:(1)函数y有意义时,需使

    所以函数的定义域为.故选D.

    (2)函数ytan 是非奇非偶函数,A错误;在区间上单调递增,B错误;因为当x时,tan 0,所以为其图象的一个对称中心,C正确;最小正周期为D正确.

    答案:(1)D (2)CD

    2 解析:ytan =-tan .

    由-kπ<3x<kπ(kZ),得-<x<(kZ)

    所以函数ytan 的单调递减区间为(kZ)

    3 解析:tan 2.5tan (2.5π)tan 3.5tan (3.5π),又-<2.5π<3.5π<1.5<ytan x上是增函数.故tan (2.5π)<tan (3.5π)<tan 1.5,即tan 2.5<tan 3.5<tan 1.5.

    跟踪训练2 解析:(1)atan 1>0btan 2=-tan (π2)<0ctan 3=-tan (π3)<02>π3>0,且ytan x上单调递增,tan (π2)>tan (π-3)>0tan (π2)<tan (π3)<0,故a>0>c>b.故选C.

    (2)ytan ,由kπ<x<kπkZ,得2kπ<x<2kπkZ所以函数ytan 的递增区间是kZ.

    答案:(1)C (2)kZ

    4 解析:(1)对于函数f(x)2tan ,它的最小正周期为,由kπ,求得x2kπ,故它的定义域为.

    (2)f(x)2,即tan 1,故kπ<kπ,解得2kπx<2kπ,故x的取值范围为kZ.

    跟踪训练3 解析:(1)kπ(kZ).得x2kπ(kZ)

    所以f(x)的定义域是.

    因为ω,所以最小正周期T2π.

    由-kπ<<kπ(kZ)

    得-2kπ<x<2kπ(kZ)

    所以函数f(x)的单调递增区间是(kZ)

    (kZ),得xkππ(kZ),故函数f(x)的对称中心是kZ.

    (2)由-1tan

    得-kπkπ(kZ),解得2kπx2kπ(kZ)

    所以不等式-1f(x)的解集是.

    [课堂十分钟]

    1解析:函数的周期T,函数ytan x是奇函数.故选B.

    答案:B

    2解析:ytan x的单调递增区间为(kZ)

    kπxkπ,解得kπ-xkπkZ

    函数ytan (x)的单调递增区间是(kZ).故选B.

    答案:B

    3解析:tan 5tan [π(5π)]tan (5π)

    由正切函数在上为增函数且π>3>2>5π>,可得tan 3>tan 2>tan (5π).故选C.

    答案:C

    4解析:6xkπ(kZ), x(kZ)

    答案:

    5解析:(1)ftan T

    kZ,解得xπkπkZ

    故对称中心为.

    (2)0,解得xπ

    ,解得x

    =-,解得x

    ,解得x

    =-,解得x=-

    所以函数ftan 的图象与x轴的一个交点坐标为,图象上的点有两点,

    在这个周期内左右两侧相邻的渐近线方程分别为x=-x

    从而得到函数f在一个周期内的简图(如图)

     

     

     

     

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