第二课时　指数函数的图象与性质(二)

课标要求　1.会求指数型函数的定义域、值域、最值等问题.2.能借助指数函数的性质和图象解不等式.

素养要求　借助指数函数的性质研究指数型函数的相关问题，发展学生的逻辑推理素养、数学抽象素养和数学运算素养.

自 主 梳 理

由图象观察函数y＝ax(a>0且a≠1)的性质

(1)图象总在x轴上方，且图象与x轴永不相交，值域为(0，＋∞).

(2)图象恒过定点(0，1)，用式子表示为a0＝1.

(3)函数在区间(－∞，＋∞)上单调，当a>1时，在(－∞，＋∞)上是增函数；0<a<1时，在(－∞，＋∞)上是减函数.

自 主 检 验

1.思考辨析，判断正误

(1)y＝21－x是R上的增函数.(×)

提示　y＝21－x＝是R上的减函数.

(2)若0.1a>0.1b，则a>b.(×)

提示　y＝0.1x是减函数，0.1a>0.1b，

则a<b.

2.函数y＝2的定义域为________，值域为________.

答案　[1，＋∞)　[1，＋∞)

解析　由x－1≥0得x≥1.因为≥0，所以y≥1.

3.若2x＋1<1，则x的取值范围是________.

答案　(－∞，－1)

解析　∵2x＋1<1＝20，且y＝2x是增函数，∴x＋1<0，

∴x<－1.

4.函数y＝的值域是________.

答案　(0，2]

解析　∵x2－1≥－1，

∴y＝≤＝2，

又y＞0，∴函数值域为(0，2].

题型一　指数型函数的定义域、值域问题

例1 (1)函数f(x)＝＋的定义域为(　　)

A.(－3，0] B.(－3，1]

C.(－∞，－3)∪(－3，0] D.(－∞，－3)∪(－3，1]

(2)函数f(x)＝2×3x－1－1，x∈[2，4]的值域为________.

(3)函数y＝4x＋2x＋1＋1的值域为________.

答案　(1)A　(2)[5，53]　(3)(1，＋∞)

解析　(1)由题意得自变量x应满足

解得－3<x≤0.

(2)易得f(x)在[2，4]上单调递增，f(x)min＝f(2)＝5，f(x)max＝f(4)＝53，

故f(x)在[2，4]的值域为[5，53].

(3)函数的定义域为R，又y＝4x＋2x＋1＋1＝(2x)2＋2·2x＋1＝(2x＋1)2，易知2x>0，故y>1，即函数的值域为(1，＋∞).

思维升华　指数型函数y＝af(x)的定义域、值域的求法

(1)定义域：函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同.

(2)值域：①换元，t＝f(x).

②求t＝f(x)的定义域为x∈D.

③求t＝f(x)的值域为t∈M.

④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域.

训练1 求下列函数的定义域和值域：

(1)y＝2；(2)y＝；

(3)y＝；(4)y＝5.

解　(1)由x－4≠0，得x≠4，

故y＝2的定义域为{x|x∈R，且x≠4}.

又≠0，即2≠1.

故y＝2的值域为{y|y>0，且y≠1}.

(2)由1－2x≥0，得2x≤1，∴x≤0，

∴y＝的定义域为(－∞，0].

由0<2x≤1，得－1≤－2x<0，

∴0≤1－2x<1，

∴y＝的值域为[0，1).

(3)y＝的定义域为R.

∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，

∴≤＝16.

又∵>0，

故函数y＝的值域为(0，16].

(4)由2x－4>0，得x>2，故函数的定义域为{x|x>2}，

因为>0，所以y＝5>1，故函数的值域为{y|y>1}.

题型二　指数型函数的单调性及其应用

例2 (1)不等式≤2的解集为________.

(2)求f(x)＝的单调区间，并求其值域.

(1)答案　[0，＋∞)

解析　∵2＝，∴原不等式可化为≤，∵函数y＝在R上是减函数，∴3x－1≥－1，∴x≥0，故原不等式的解集是{x|x≥0}.

(2)解　令u＝x2－2x，

则原函数变为y＝.

∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，

又∵y＝在(－∞，＋∞)上递减，

∴y＝在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减.

∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，

∴y＝，u∈[－1，＋∞)，

∴0<≤＝3，

∴原函数的值域为(0，3].

思维升华　1.解指数不等式的类型及应注意的问题

(1)形如ax>ab的不等式，借助于函数y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，要对a分为0<a<1和a>1两种情况分类讨论.

(2)形如ax>b的不等式，注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助于函数y＝ax的单调性求解.

2.函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性的处理技巧

当a>1时，y＝af(x)与y＝f(x)的单调性相同，当0<a<1时，y＝af(x)与y＝f(x)的单调性相反.

训练2 已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x，则x的取值范围是________.

答案　

解析　∵a2＋a＋2＝＋>1，

∴(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x⇔x>1－x⇔x>.

∴x∈.

题型三　指数型函数的综合问题

例3 已知函数f(x)＝.

(1)证明f(x)为奇函数；

(2)判断f(x)的单调性，并用定义加以证明；

(3)求f(x)的值域.

(1)证明　由题意知f(x)的定义域为R，

f(－x)＝＝＝＝－f(x)，

所以f(x)为奇函数.

(2)解　f(x)在定义域上是增函数.证明如下：

任取x1, x2∈R，且x1<x2，

则f(x2)－f(x1)＝－

＝－

＝

∵x1<x2，∴3x2－3x1>0，3x1＋1>0，

3x2＋1>0，∴f(x2)>f(x1)，

∴f(x)为R上的增函数.

(3)解　f(x)＝＝1－，

∵3x＞0⇒3x＋1＞1⇒0＜＜2⇒－2＜－＜0，

∴－1＜1－＜1，

即f(x)的值域为(－1，1).

思维升华　解决指数函数性质的综合问题的注意点

(1)注意代数式的变形，如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等变形技巧.

(2)解答函数问题注意应在函数定义域内进行.

(3)由于指数函数单调性与底数有关，因此要注意是否需要讨论.

训练3 设a＞0，f(x)＝＋是R上的偶函数.

(1)求a的值；

(2)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数.

(1)解　依题意，对一切x∈R，

有f(x)＝f(－x)，

即＋＝＋aex，

 ∴＝0对一切x∈R成立.

由此得到a－＝0，

即a2＝1.又a＞0，∴a＝1.

(2)证明　由(1)得f(x)＝ex＋，

设0<x1<x2，

则f(x2)－f(x1)＝ex2＋－

＝，

∵0<x1<x2，

∴ex2－ex1>0，ex1＋x2－1>0，ex1＋x2>0，

∴f(x2)>f(x1)，故f(x)在(0，＋∞)上是增函数.

[课堂小结]

1.解简单指数不等式问题的关键是利用指数函数的单调性转化为一般不等式，有时需要对底数进行讨论，有时需借助图象求解.

2.形如y＝af(x)(a>0且a≠1)的函数的性质有

(1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域.

(2)当a>1时，y＝af(x)与y＝f(x)有相同的单调性；当0<a<1时，y＝af(x)与y＝f(x)有相反的单调性.

一、基础达标

1.f(x)＝，x∈R，那么f(x)是(　　)

A.奇函数且在(0，＋∞)上是增函数

B.偶函数且在(0，＋∞)上是增函数

C.奇函数且在(0，＋∞)上是减函数

D.偶函数且在(0，＋∞)上是减函数

答案　D

解析　由x∈R且f(－x)＝f(x)知f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)＝是减函数.

2.函数f(x)＝a－x2＋3x＋2(0<a<1)的单调递增区间是(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　B

解析　令u＝－x2＋3x＋2，对称轴是x＝，左增右减；

由于0<a<1，所以y＝au单调递减，

故f(x)的单调递增区间为，故选B.

3.若<，则实数a的取值范围是(　　)

A.   B.(1，＋∞)

C.(－∞，1)  D.

答案　A

解析　函数y＝在R上为减函数，

所以2a＋1>8－2a，所以a>.故选A.

4.已知a＝30.2，b＝0.2－3，c＝(－3)0.2，则a，b，c的大小关系为(　　)

A.a>b>c   B.b>a>c

C.c>a>b   D.b>c>a

答案　B

解析　a＝30.2∈(1，3)，b＝0.2－3＝＝53＝125，c＝(－3)0.2＝<0，所以b>a>c.

5.若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的递减区间是(　　)

A.(－∞，2]   B.[2，＋∞)

C.[－2，＋∞)   D.(－∞，－2]

答案　B

解析　由f(1)＝，得a2＝，

所以a＝(a＝－舍去)，

即f(x)＝.

由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上是减少的，在[2，＋∞)上是增加的，所以f(x)在

(－∞，2]上是增加的，在[2，＋∞)上是减少的.故选B.

6.函数y＝的定义域是________.

答案　(－∞，5]

解析　要使函数式有意义，需32－2x≥0，32≥2x，25≥2x，解得x≤5.

7.不等式23－2x<0.53x－4的解集为________.

答案　{x|x<1}

解析　原不等式可化为23－2x<24－3x，

因为函数y＝2x是R上的增函数，

所以3－2x<4－3x，解得x<1，

则解集为{x|x<1}.

8.已知函数f(x)＝为奇函数，则n的值为________.

答案　2

解析　由f(0)＝＝0，解得n＝2，当n＝2时，f(x)＝，易证其是奇函数.

9.设0≤x≤2，y＝4x－－3·2x＋5，试求该函数的最值.

解　令t＝2x，0≤x≤2，∴1≤t≤4.

则y＝22x－1－3·2x＋5＝t2－3t＋5.

配方得y＝(t－3)2＋，t∈[1，4]，

∴y＝(t－3)2＋，t∈[1，3]上是减函数；t∈[3，4]上是增函数，

∴当t＝3时，ymin＝；当t＝1时，ymax＝.

故函数的最大值为，最小值为.

10.已知函数f(x)＝.

(1)判断函数f(x)的奇偶性并证明；

(2)当x∈(1，＋∞)时，求函数f(x)的值域.

解　(1)函数f(x)为奇函数，证明如下：

函数f(x)＝的定义域为R，

又∵f(－x)＝＝＝－＝－f(x)，

∴f(x)是奇函数.

(2)令2x＝t，则g(t)＝＝－1＋.

∵x∈(1，＋∞)，∴t>2，∴t＋1>3，

∴0<<，∴－1<－1＋<－.

故函数f(x)的值域为.

二、能力提升

11.若函数f(x)，g(x)分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)－g(x)＝ex，则有(　　)

A.f(2)<f(3)<g(0) B.g(0)<f(2)<f(3)

C.f(2)<g(0)<f(3) D.g(0)<f(3)<f(2)

答案　B

解析　由f(x)，g(x)分别是R上的奇函数、偶函数，

又f(x)－g(x)＝ex，①

得f(－x)－g(－x)＝e－x，

即f(x)＋g(x)＝－e－x，②

由①＋②，①－②分别得

f(x)＝，g(x)＝－，

易得g(0)＝－1，

又因为f(x)是R上的增函数，

且f(0)＝0，

所以0<f(2)<f(3)，所以选B.

12.函数f(x)＝的递增区间是________，值域是________.

答案　(－∞，2]　

解析　令t(x)＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1，在(－∞，2]上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，

又<1，由复合函数单调性知，f(x)在(－∞，2]上是增函数，

又t(x)≥1，∴≤，

∴值域为.

13.已知函数f(x)＝·x3.

(1)求f(x)的定义域；

(2)讨论f(x)的奇偶性；

(3)证明：f(x)>0.

(1)解　由题意得2x－1≠0，即x≠0，

∴f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).

(2)解　由(1)知，f(x)的定义域关于原点对称.

令g(x)＝＋＝，φ(x)＝x3，

则f(x)＝g(x)·φ(x).

∵g(－x)＝＝＝－g(x)，φ(－x)＝(－x)3＝－x3＝－φ(x)，

∴f(－x)＝g(－x)·φ(－x)＝[－g(x)]·[－φ(x)]＝g(x)·φ(x)＝f(x)，

∴f(x)＝·x3为偶函数.

(3)证明　当x>0时，2x>1，

∴2x－1>0，∴＋>0.

∵x3>0，∴f(x)>0.

由偶函数的图象关于y轴对称，知当x<0时，f(x)>0也成立.故对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，恒有f(x)>0.

三、创新拓展

14.已知定义在R上的函数f(x)＝a＋是奇函数.

(1)求a的值；

(2)判断f(x)的单调性(不需要写出理由)；

(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求实数k的取值范围.

解　(1)∵f(x)的定义域为R，且f(x)为奇函数，

∴f(0)＝0，即a＋＝0，∴a＝－.

(2)由(1)知f(x)＝－＋，

故f(x)在R上为减函数.

(3)∵f(x)为奇函数，

∴f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0可化为

f(t2－2t)<f(k－2t2).

由(2)知f(x)在R上单调递减，

∴t2－2t>k－2t2，

即3t2－2t－k>0对于一切t∈R恒成立，

∴Δ＝4＋12k<0，得k<－，

∴k的取值范围是.