高中数学湘教版（2019）必修 第一册4.2 指数函数第二课时练习

课时跟踪检测(二十七)　指数函数性质的应用(习题课)

[A级　基础巩固]

1．函数f(x)＝()x在区间[1，2]上的最大值是(　　)

A.　　　　　　　　　　 B．

C．3  D．2

解析：选C　因为>1，所以指数函数f(x)＝()x为增函数，所以当x＝2时，函数取得最大值，且最大值为3.

2．已知a＝，b＝20.3，c＝0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是(　　)

A．b>c>a  B．b>a>c

C．a>b>c  D．c>b>a

解析：选A　a＝＝0.30.5.

∵f(x)＝0.3x在R上单调递减，

∴0.30.5<0.30.2<0.30⇒a<c<1.

又b＝20.3>20＝1，∴a<c<b，故选A.

3．f(x)＝2|x|，x∈R，那么f(x)是(　　)

A．奇函数且在(0，＋∞)上是增函数

B．偶函数且在(0，＋∞)上是增函数

C．奇函数且在(0，＋∞)上是减函数

D．偶函数且在(0，＋∞)上是减函数

解析：选B　由x∈R且f(－x)＝f(x)知f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)＝2x是增函数．

4．指数函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在R上是减函数，则函数g(x)＝(a－2)x3在R上的单调性为(　　)

A．单调递增

B．在(0，＋∞)上递减，在(－∞，0)上递增

C．单调递减

D．在(0，＋∞)上递增，在(－∞，0)上递减

解析：选C　∵指数函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在R上是减函数，

∴0<a<1，

∴a－2<0，

∴g(x)＝(a－2)x3在R上是减函数，故选C.

5．(多选)若f(x)＝3x＋1，则(　　)

A．f(x)在[－1，1]上单调递增

B．y＝3x＋1与y＝＋1的图象关于y轴对称

C．f(x)的图象过点(0，1)

D．f(x)的值域为[1，＋∞)

解析：选AB　f(x)＝3x＋1在R上单调递增，则A正确；y＝3x＋1与y＝3－x＋1的图象关于y轴对称，则B正确；由f(0)＝2，得f(x)的图象过点(0，2)，则C错误；由3x>0，可得f(x)>1，则D错误．故选A、B.

6．函数y＝3的单调递减区间是________．

解析：设u＝，则y＝3u，

因为u＝在(－∞，0) 和(0，＋∞)上是减函数，

且y＝3u在R上是增函数，

所以函数y＝3的单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)．

答案：(－∞，0)和(0，＋∞)

7．函数f(x)＝(a＞0，且a≠1)是R上的减函数，则a的取值范围是________．

解析：由单调性定义，f(x)为减函数应满足：

即≤a＜1.

答案：

8．函数y＝的单调递增区间为________；奇偶性为________．

解析：设u＝－|x|＋1，则y＝.易知u＝－|x|＋1的单调递减区间为[0，＋∞)，y＝是减函数，

∴y＝的单调递增区间为[0，＋∞)．

∵f(－x)＝＝＝f(x)，

∴f(x)是偶函数．

答案：[0，＋∞)　偶函数

9．已知函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点(2，4)．

(1)求a的值；

(2)若a2x＋1<a3x－1，求x的取值范围．

解：(1)∵f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点(2，4)，∴a2＝4，又a>0，且a≠1，∴a＝2.

(2)由(1)得a＝2，由a2x＋1<a3x－1，代入a＝2，可得22x＋1<23x－1，由指数函数的单调性可知2x＋1<3x－1，解得x>2，即x的取值范围是(2，＋∞)．

10．设0≤x≤2，y＝4x－－3·2x＋5，试求该函数的最值．

解：令t＝2x，0≤x≤2，∴1≤t≤4.

则y＝22x－1－3·2x＋5＝t2－3t＋5.

配方得y＝(t－3)2＋，t∈[1，4]，

∴y＝(t－3)2＋，t∈[1，3]上是减函数；t∈[3，4]上是增函数，

∴当t＝3时，ymin＝；

当t＝1时，ymax＝.

故函数的最大值为，最小值为.

[B级　综合运用]

11．若不等式2x2＋1≤的解集是函数y＝2x的定义域，则函数y＝2x的值域是(　　)

A.  B．

C.  D．[2，＋∞)

解析：选B　由2x2＋1≤得2x2＋1≤2－2x＋4，即x2＋1≤－2x＋4，解得－3≤x≤1，所以函数y＝2x的定义域为[－3，1]．由于函数y＝2x在R上单调递增，故当x＝－3时取得最小值，当x＝1时取得最大值2，所以函数的值域为.故选B.

12．(多选)函数y＝f(x)＝|ax－a|(a>0且a≠1)的图象可能为(　　)

解析：选BC　当a>1时，不妨取a＝2，则y＝|2x－2|的图象如图①，故C正确．

当0<a<1时，y＝|ax－a|的大致图象如图②，故B正确．

13．已知函数f(x)＝bax(其中a，b为常数，a>0，且a≠1)的图象经过A(1，6)，B(2，18)两点．若不等式＋－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，则实数m的最大值为________．

解析：由已知可得解得

则不等式＋－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，设g(x)＝＋－m，

显然函数g(x)＝＋－m在(－∞，1]上单调递减，

∴g(x)≥g(1)＝＋－m＝－m，

故－m≥0，即m≤，

∴实数m的最大值为.

答案：

14．已知函数f(x)＝2－x.

(1)求f(0)－2××2－2的值；

(2)若函数h(x)＝f(x)＋g(x)，且h(x)，g(x)满足下列条件：

①h(x)为偶函数；

②h(x)≥2且∃x∈R使得h(x)＝2；

③g(x)>0且g(x)恒过(0，1)点．

写出一个符合题意的函数g(x)，并说明理由．

解：(1)由题意知：f(0)－2××2－2＝20－2×2×2－2＝1－2＝1－20＝0.

(2)满足题意的函数g(x)＝2x.

理由如下：①因为h(x)＝2x＋2－x，所以h(－x)＝2－x＋2－(－x)＝2－x＋2x＝h(x)，

所以h(x)＝2x＋2－x为偶函数．

②h(x)＝2x＋2－x≥2＝2＝2＝2，

当且仅当2x＝2－x，即x＝0时等号成立，

③g(x)＝2x>0，g(x)恒过(0，1)点．

[C级　拓展探究]

15．已知函数f(x)＝是定义在R上的奇函数．

(1)判断并证明函数f(x)的单调性，并利用结论解不等式：f(x2－2x)＋f(3x－2)<0；

(2)是否存在实数k，使得函数f(x)在区间[m，n]上的取值范围是？若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，请说明理由．

解：(1)f(x)是R上的增函数，证明如下：

设任意x1，x2∈R且x1<x2，

f(x1)－f(x2)＝－

＝－＝，

∵x1<x2，∴4x1<4x2，4x1＋1>0，4x2＋1>0，

∴f(x1)<f(x2)，

∴f(x)是在(－∞，＋∞)上是单调增函数．

∵f(x2－2x)＋f(3x－2)<0，

又∵f(x)是定义在R上的奇函数且在(－∞，＋∞)上单调递增，

∴f(x2－2x)<f(2－3x)，∴x2－2x<2－3x，

∴－2<x<1.

(2)假设存在实数k，使之满足题意，

由(1)可得函数f(x)在[m，n]上单调递增，

∴∴

∴m，n为方程＝的两个根，即方程＝有两个不等的实根，令4x＝t>0，即方程t2－(1＋k)t－k＝0有两个不等的正根，于是有－[－(1＋k)]>0且－k>0且[－(1＋k)]2－4(－k)>0，解得－3＋2<k<0.

∴存在实数k，使得函数f(x)在[m，n]上的取值范围是，并且实数k的取值范围是.