湘教版（2019）必修 第一册4.3 对数函数导学案

第2课时　对数函数的图象与性质(2)

教材要点

要点一　y＝logaf(x)型函数性质的研究

(1)定义域：由f(x)＞0解得x的取值范围，即函数的定义域．

(2)值域：在函数y＝logaf(x)的定义域中确定t＝f(x)的值域，再由y＝logat的单调性确定函数的值域．

(3)单调性：在定义域内考虑t＝f(x)与y＝logat的单调性，根据________法则判定．(或运用单调性定义判定)

(4)奇偶性：根据奇偶函数的定义判定．

(5)最值：在f(x)＞0的条件下，确定t＝f(x)的值域，再根据a确定函数y＝logat的单调性，最后确定最值．

要点二　logaf(x)＜logag(x)型不等式的解法

(1)讨论a与1的关系，确定单调性；

(2)转化为f(x)与g(x)的不等关系求解，且注意真数大于零．

基础自测

1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)y＝log2x2在[0，＋∞)上为增函数．(　　)

(2)y＝在(0，＋∞)上为增函数．(　　)

(3)ln x＜1的解集为(－∞，e)．(　　)

(4)y＝log2[(x－1)(x－2)]的增区间是(－∞，1).(　　)

2．不等式log2(2x＋3)＞log2(5x－6)的解集为(　　)

A．(－∞，3)    B．(－，3)

C．    D．

3．若a＝lg 11，b＝lg 9，c＝lg ，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．b＞c＞a    B．b＞a＞c

C．a＞b＞c    D．a＞c＞b

4．函数f(x)＝ln (2－x)的单调递减区间是________．

　对数函数单调性的应用

角度1　比较大小

例1　(多选)下列各组的大小关系正确的是(　　)

　　　　B．log1.51.6＞log1.51.4

C．log0.57＜log0.67       D．log3π＞log20.8

方法归纳

比较对数值大小时常用的三种方法

角度2　解简单的对数不等式

例2　(1)已知log0.72x＜log0.7(x－1)，则x的取值范围为________；

(2)已知loga(x－1)≥loga(3－x)(a＞0，且a≠1)，求x的取值范围．

方法归纳

两类对数不等式的解法

(1)形如logaf(x)＜logag(x)的不等式．

①当0＜a＜1时，可转化为f(x)＞g(x)＞0；

②当a＞1时，可转化为0＜f(x)＜g(x)．

(2)形如logaf(x)＜b的不等式可变形为logaf(x)＜b＝logaab.

①当0＜a＜1时，可转化为f(x)＞ab；

②当a＞1时，可转化为0＜f(x)＜ab.

跟踪训练1　(1)已知a＝，b＝log2，c＝，则(　　)

A．a＞b＞c    B．a＞c＞b

C．c＞a＞b    D．c＞b＞a

(2)若loga＜1(a＞0且a≠1)，则实数a的取值范围是________.

　对数型函数的单调性

例3　函数y＝的单调递增区间为________；单调递减区间为________．

变式探究　将本例改为“函数y＝在区间(－∞，]上是增函数”，求实数a的取值范围．

方法归纳

形如y ＝loga f(x)的函数的单调性判断，首先要确保f(x)＞0.

当a＞1时，y ＝loga f(x)的单调性在f(x)＞0的前提下与y ＝f(x)的单调性一致．

当0＜a＜1时，y ＝loga f(x)的单调性在f(x)＞0的前提下与y ＝f(x)的单调性相反．

跟踪训练2　(1)函数y＝的单调增区间为________.

(2)已知函数y＝log2(ax－1)在(－2，－1)上单调递减，则a的取值范围是________．

　对数函数性质的综合应用

例4　已知奇函数f(x)＝ln .

(1)求实数a的值；

(2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并利用函数单调性的定义证明；

(3)当x∈[2，5]时，ln (1＋x)＞m＋ln (x－1)恒成立，求实数m的取值范围．

方法归纳

以对数函数为载体，考查函数的定义域、值域、单调区间、奇偶性等，这类问题综合性较强，明确各知识点与所求目标之间的联系，做好等价转化是解决问题的关键．解题中需注意运用常见方法和规避常见错误．

(1)定义域：研究此类综合性问题，首先要弄清函数的定义域，即遵循“定义域\”优先原则，在对数函数综合性问题的求解中尤其重要．

(2)单调性：复合函数单调性的核心是同增异减．

(3)奇偶性：难点在于对数式的化简与变形．

(4)值域：常采用换元法求解，注意新元的取值范围．

跟踪训练3　已知函数f(x)＝loga(a＞0且a≠1)．

(1)求f(x)的定义域；

(2)判断函数f(x)的奇偶性，并求函数的单调区间．

易错辨析　忽略对数函数大于0致误

例5　若函数f(x)＝ln (x2－ax＋1)在区间(2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________．

解析：设g(x)＝x2－ax＋1，要使f(x)＝ln (x2－ax＋1)在区间(2，＋∞)上单调递增，

则即得a≤

故实数a的取值范围是(－∞，].

易错警示

课堂十分钟

1．设a＝log2，b＝log3，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．c＞b＞a    B．c＞a＞b

C．a＞c＞b    D．a＞b＞c

2．函数f(x)＝(2－x)的单调递增区间是(　　)

A．(－∞，2)    B．(－∞，0)

C．(2，＋∞)    D．(0，＋∞)

3．不等式的解集为(　　)

A．(－∞，3)    B．

C．    D．

4．已知f(x)＝ln 是奇函数，则m＝________．

5．已知函数f(x)＝loga(1－ax)(a＞0且a≠1)．

(1)若a＞1，解不等式f(x)＜0.

(2)若函数f(x)在区间(0，2]上单调递增，求实数a的取值范围．

第2课时　对数函数的图象与性质(2)

新知初探·课前预习

要点一

同增异减

[基础自测]

1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×

2．解析：∵函数y＝log2x是增函数，

∴

解得<x<3.

答案：D

3．解析：∵函数y＝lg x是增函数，且11>9>，

∴lg 11>lg 9>lg，即a>b>c.

答案：C

4．解析：由2－x>0得，x<2，

所以函数f(x)＝ln (2－x)的单调递减区间是(－∞，2).

答案：(－∞，2)

题型探究·课堂解透

例1　解析：A中，因为函数y＝logx是减函数，且0.5<0.6，所以log0.5>log0.6，A错；B中，因为函数y＝log1.5x是增函数，且1.6>1.4，所以log1.51.6>log1.51.4，B正确；C中，因为0>log70.6>log70.5，所以<，即log0.67<log0.57，C不正确；D中，因为log3π>log31＝0，log20.8<log21＝0，所以log3π>log20.8，D正确．

答案：BD

例2　解析：(1)∵函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数，

∴由log0.72x＜log0.7(x－1)，得解得x＞1，

即x的取值范围是(1，＋∞).

(2)loga(x－1)≥loga(3－x)，

当a＞1时，有解得2≤x＜3.

当0＜a＜1时，有解得1＜x≤2.

综上可得，

当a＞1时，不等式loga(x－1)≥loga(3－x)中x的取值范围为[2，3)；

当0＜a＜1时，不等式loga(x－1)≥loga(3－x)中x的取值范围是(1，2].

答案：(1)(1，＋∞)　(2)见解析

跟踪训练1　解析：(1)∵a＝2－∈(0，1)，b＝log2<0，c＝log>1，∴b<a<c.

(2)当a>1时，loga<0<1成立，当0<a<1时，y＝logax为减函数．由loga<1＝logaa，得0<a<.综上所述，0<a<或a>1.

答案：(1)C　(2)∪(1，＋∞)

例3　解析：由题意知x2＋4x－12>0，

依据二次函数t＝x2＋4x－12的图象可得x>2或x<－6.

且t＝x2＋4x－12在(－∞，－6)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．

又∵y＝logt是(0，＋∞)上的减函数，

所以函数的单调递增区间是(－∞，－6)，单调递减区间是(2，＋∞).

答案：(－∞，－6)　(2，＋∞)

变式探究　解析：令g(x)＝x2－ax＋a，由于y＝f(x)＝logg(x)在区间(－∞，]上是增函数，故g(x)应在区间(－∞，]上是减函数，且g(x)>0故有即解得2≤a<2＋2，

故实数a的取值范围是[2，2＋2).

跟踪训练2　解析：(1)由1－x2>0，得－1<x<1，

令t＝1－x2，x∈(－1，1)，

当x∈(0，1)时，y＝log(1－x2)单调递增，

故y＝log(1－x2)的单调增区间为(0，1).

(2)若函数y＝log2(ax－1)在(－2，－1)上单调递减，则a<0且ax－1>0在(－2，－1)上恒成立，

即a<在(－2，－1)上恒成立，

所以a≤－1，故a的取值范围是(－∞，－1].

答案：(1)(0，1)　(2)(－∞，－1]

例4　解析：(1)∵f(x)是奇函数，

∴f(－x)＝－f(x)，

即ln ＝－ln .

∴＝，即(a2－1)x2＝0，得a＝±1，

经检验a＝－1时不符合题意，∴a＝1.

(2)f(x)在(1，＋∞)上单调递减．

证明：由(1)得f(x)＝ln ，x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1<x2，

f(x1)－f(x2)＝ln －ln ＝ln ＝ln .

∵1<x1<x2，

∴x2－x1>0，>1，

∴f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)，

∴f(x)在(1，＋∞)上单调递减．

(3)由已知得m<ln (1＋x)－ln (x－1)，即m<ln .

由(2)知f(x)＝ln 在[2，5]上为减函数．

∴f(x)在[2，5]上的最小值为f(5)＝ln .

于是m<ln ，

即实数m的取值范围为.

跟踪训练3　解析：(1)要使此函数有意义，则有或

解得x>1或x<－1，故此函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞).

(2)由(1)可得f(x)的定义域关于原点对称．∵f(－x)＝loga＝loga＝－loga＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．

f(x)＝loga＝loga，

函数u＝1＋在区间(－∞，－1)和区间(1，＋∞)上单调递减，

所以当a>1时，f(x)＝loga在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递减；当0<a<1时，f(x)＝loga在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增．

[课堂十分钟]

1．解析：∵a＝＝log23－1，b＝＝log34－1且2＝log24>log23>log34>log33＝1，则1>a>b>0，c＝log34>1.∴a，b，c的大小关系是c>a>b.

答案：B

2．解析：由2－x>0，得到x<2，令t＝2－x，则t＝2－x在(－∞，2)上递减，而y＝在(0，＋∞)上递减，由复合函数单调性同增异减法则，得到f(x)＝在(－∞，2)上递增．

答案：A

3．解析：因为函数y＝在(0，＋∞)上是减函数，所以,解得<x<3.

答案：D

4．解析：∵f(－x)＝ln ＝ln，－f(x)＝－＝，∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即ln＝，∴m＝－1.

答案：－1

5．解析：(1)因为a>1，loga(1－ax)<0，所以loga(1－ax)<loga1，

所以0<1－ax<1，所以－1<－ax<0，

解得0<x<.

所以a>1时，不等式的解集为.

(2)因为关于x的函数f(x)在区间(0，2]上单调递增，

而t＝1－ax在区间(0，2]上单调递减，

所以0<a<1，且t>0.

再由，解得0<a<，

则实数a的取值范围为.