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高中数学湘教版（2019）必修 第一册第4章 幂函数、指数函数和对数函数4.2 指数函数多媒体教学课件ppt
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这是一份高中数学湘教版（2019）必修 第一册第4章 幂函数、指数函数和对数函数4.2 指数函数多媒体教学课件ppt，共52页。PPT课件主要包含了内容索引，课前篇自主预习，课堂篇探究学习，情境导入，知识梳理，1答案64，答案AB，答案B，答案C等内容，欢迎下载使用。
1.通过具体实例,了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念.(数学抽象)2.运用指数爆炸和指数衰减类的函数模型解决简单的实际问题,理解该模型所蕴含的运算规律.(数学建模、数学运算)3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点.(直观想象)4.能够应用指数函数的图象及性质解决问题.(数学运算、逻辑推理)
杰米是千万富翁,一天,他碰到一件奇怪的事,一个叫韦伯的人对他说:“我想和你订个合同,我将在整整一个月中(这个月有31天),每天给你10万元,而你第一天只需给我1分钱,以后你每天给我的钱是前一天的两倍.”杰米说:“真的?你说话算数?”合同开始生效了,杰米欣喜若狂.第一天杰米支出1分钱,收入10万元.第二天杰米支出2分钱,收入10万元,到了第10天,杰米共得100万元,而总共才付出10元2角3分.到了第20天,杰米共得200万元,而韦伯才得1万多元.杰米想:要是合同订二三个月该多好!可从第21天起,情况发生了转变.
第22天杰米支出2万多,收入10万,到第28天,杰米支出134万多,收入10万.结果,杰米在一个月(31天)内得到310万元的同时,共付给韦伯2 100多万元.问题1:写出杰米每天的收入y(单位:分)与天数x的函数关系式.问题2:写出杰米每天的支出y(单位:分)与天数x的函数关系式.
知识点一:指数函数的概念1.在幂的表达式au中,让底数为常数而取指数为自变量x,则得到一类新的函数y=ax(x∈R),这叫作指数函数,其中a>0,且a≠1.2.指数函数的特征:(1)底数a>0,且a≠1;(2)ax的系数是1.
微思考指数函数为什么要规定a>0,且a≠1?
如果a=0,那么当x>0时,ax=0,当x≤0时,ax无意义;如果a=1,y=1x=1是个常数函数,没有研究的必要.所以规定a>0,且a≠1,此时x可以是任意实数.
知识点二:指数爆炸和指数衰减1.当底数a>1时,指数函数值随自变量的增长而增大,底数a较大时指数函数值增长速度惊人,被称为指数爆炸.2.当底数00,且a≠1)的值从au变化到au+T,变化率为(au+T-au)÷au=aT-1,增长(缩小)百分比是一个常量,当a>1时,这个量就被描述为指数式增长,也称指数增长.
微练习(1)下列函数是指数函数的是 . ①y= x;②y=2x+1;③y=3·2x;④y=2-x;⑤y=x2;⑥y=-2x.(2)若函数y=2x,求其在区间[2,6]上的增长百分比.(1)答案 ①④(2)解 增长百分比为(au+T-au)÷au=aT-1=24-1=15.
知识点三:指数函数的图象与性质
微判断(1)指数函数y=mx(m>0,且m≠1)是R上的增函数.( )(2)指数函数y=ax(a>0,且a≠1)既不是奇函数,也不是偶函数.( )(3)所有的指数函数图象过定点(0,1).( )(4)函数y=a|x|与函数y=|ax|(a>0,且a≠1)的图象是相同的.( )答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×
微思考指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于什么?具体变化特征是什么?提示 指数函数y=ax(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于字母a.当a>1时,图象具有上升趋势,且当x>0时底数a的值越大,函数图象“越陡”,函数值增长得越快;当0
要点笔记指数函数是一个形式定义,其特征如下:
变式训练1下列以x为自变量的函数是指数函数的为( )A.y=(π-1)x B.y=(1-π)xC.y=3x+1 D.y=x2答案 A解析 π-1为正实数,A是指数函数;B式中,1-π<0,B不是指数函数;C式中,指数位置不是x,C不是指数函数;D式中,自变量不在指数上,D不是指数函数.
例2(1)将一张足够大的纸进行对折,如果不考虑折叠过程中的阻力,那么对折100次之后,纸的厚度约为 km(假设一张纸的厚度大约是0.08 mm). (2)一种放射性物质不断变化成其他物质,每经过一年的残留量是原来的76%,则经过12年后,残留量约为原来的 .
答案 (1)1.02×1023 (2)3.7%解析 (1)2100×0.08≈1.27×1030×0.08(mm)≈1.02×1023(km).(2)0.7612≈0.037,即残留量约为原来的3.7%.
反思感悟 1.通过例2(1)我们可以体会出指数爆炸的威力,它反映了当a>1时,指数函数的值的增长速度是非常大的,另外“人口增长”“病毒繁殖”都是这一模型.2.例2(2)是一个指数衰减问题,它是0
答案 (1)224 (2)4
1.指数型函数图象过定点问题例3已知函数f(x)=ax+1+3(a>0,且a≠1)的图象一定过点P,则点P的坐标是 . 答案 (-1,4)解析 ∵当x+1=0,即x=-1时,f(-1)=a0+3=4恒成立,故函数f(x)=ax+1+3的图象恒过点(-1,4).
要点笔记指数型函数图象过定点问题的解法因为函数y=ax的图象恒过定点(0,1),所以对于函数f(x)=kag(x)+b(k,a,b均为常数,且k≠0,a>0,且a≠1).若g(m)=0,则f(x)的图象过定点(m,k+b).即令指数等于0,解出相应的x,f(x),则点(x,f(x))为所求点.
延伸探究若将本例中的函数改为f(x)=5a3x-2+3呢?
2.指数函数图象的识别
例4函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是( )A.a>1,b<0B.a>1,b>0C.00D.00,b<0,故选D.
反思感悟 指数函数图象问题的处理技巧(1)抓住图象上的特殊点,如指数函数的图象过定点、特殊点的函数的值的符号等;(2)利用图象变换,如函数图象的平移变换(左右平移、上下平移);(3)利用函数的奇偶性与单调性,奇偶性确定函数的对称情况,单调性决定函数图象的走势.
变式训练3已知1>n>m>0,则指数函数①y=mx,②y=nx的图象为( )
答案 C解析 由于0
∵y= (x>0)和y=2x(x<0)的图象关于y轴对称,∴原函数的图象关于y轴对称.由图象可知值域是(0,1],单调递增区间是(-∞,0),单调递减区间是(0,+∞).
要点笔记指数函数y=ax与y= (a>0,且a≠1)的图象关于y轴对称.处理函数图象问题的常用方法:一是抓住图象上的特殊点;二是利用图象的变换;三是利用函数的奇偶性与单调性.
变式训练4画出下列函数的图象,并说明它们是由函数f(x)=2x的图象经过怎样的变换得到的.(1)y=2x-1;(2)y=2x+1;(3)y=-2x;(4)y=2|x|.
解 (1)如图1,y=2x-1的图象是由y=2x的图象向右平移1个单位长度得到的.(2)如图1,y=2x+1的图象是由y=2x的图象向上平移1个单位长度得到的.(3)如图1,y=-2x的图象与y=2x的图象关于x轴对称.(4)函数y=2|x|为偶函数,图象关于y轴对称,且其在x≥0上的图象与y=2x的图象一致,可得y=2|x|的图象如图2所示.
例6比较下列各题中两个值的大小:(1)2.53,2.55.7;
(3)2.3-0.28,0.67-3.1;(4)(a-1)1.3,(a-1)2.4(a>1,且a≠2).
解 (1)(单调性法)由于2.53与2.55.7的底数是2.5,故构造函数y=2.5x,而函数y=2.5x在R上是增函数.又3<5.7,∴2.53<
(3)(中间量法)由指数函数的性质,知2.3-0.28<2.30=1,0.67-3.1>0.670=1,则2.3-0.28<0.67-3.1.(4)∵a>1,且a≠2,∴a-1>0,且a-1≠1.若a-1>1,即a>2,则y=(a-1)x是增函数,∴(a-1)1.3<(a-1)2.4.若0(a-1)2.4.故当a>2时,(a-1)1.3<(a-1)2.4;当1(a-1)2.4.
反思感悟 比较幂的大小的常用方法
变式训练5(多选题)(2021福建漳州龙海二中高一期中)下列式子不正确的是( )>1.53.2 <0.92.1
数形结合思想——指数函数图象的应用
典例 若直线y=2a与函数y=|ax-1|+1(a>0,且a≠1)的图象有两个公共点,求实数a的取值范围.
方法点睛在运用指数型函数的图象求解相关问题时,要注意已知函数与指数函数的联系,把握图象的特点,抓住特殊点,巧用函数图象的平移和对称变换规律,结合函数的性质进行研究.
1.函数y=2-x的大致图象是( )
2.(2021内蒙古集宁一中高一期中)若函数y=(2a-1)x(x是自变量)是指数函数,则a的取值范围是( )A.{a|a>0,且a≠1}B.{a|a≥0,且a≠1}
A.a>b>cB.a
4.若a>3,则函数f(x)=4(a-2)2x+6-1的图象恒过的定点的坐标是 .
答案 (-3,3)解析 ∵a>3,∴a-2>1.令2x+6=0,得x=-3,则f(-3)=4(a-2)0-1=3.故函数f(x)的图象恒过定点的坐标是(-3,3).
1.通过具体实例,了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念.(数学抽象)2.运用指数爆炸和指数衰减类的函数模型解决简单的实际问题,理解该模型所蕴含的运算规律.(数学建模、数学运算)3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点.(直观想象)4.能够应用指数函数的图象及性质解决问题.(数学运算、逻辑推理)
杰米是千万富翁,一天,他碰到一件奇怪的事,一个叫韦伯的人对他说:“我想和你订个合同,我将在整整一个月中(这个月有31天),每天给你10万元,而你第一天只需给我1分钱,以后你每天给我的钱是前一天的两倍.”杰米说:“真的?你说话算数?”合同开始生效了,杰米欣喜若狂.第一天杰米支出1分钱,收入10万元.第二天杰米支出2分钱,收入10万元,到了第10天,杰米共得100万元,而总共才付出10元2角3分.到了第20天,杰米共得200万元,而韦伯才得1万多元.杰米想:要是合同订二三个月该多好!可从第21天起,情况发生了转变.
第22天杰米支出2万多,收入10万,到第28天,杰米支出134万多,收入10万.结果,杰米在一个月(31天)内得到310万元的同时,共付给韦伯2 100多万元.问题1:写出杰米每天的收入y(单位:分)与天数x的函数关系式.问题2:写出杰米每天的支出y(单位:分)与天数x的函数关系式.
知识点一:指数函数的概念1.在幂的表达式au中,让底数为常数而取指数为自变量x,则得到一类新的函数y=ax(x∈R),这叫作指数函数,其中a>0,且a≠1.2.指数函数的特征:(1)底数a>0,且a≠1;(2)ax的系数是1.
微思考指数函数为什么要规定a>0,且a≠1?
如果a=0,那么当x>0时,ax=0,当x≤0时,ax无意义;如果a=1,y=1x=1是个常数函数,没有研究的必要.所以规定a>0,且a≠1,此时x可以是任意实数.
知识点二:指数爆炸和指数衰减1.当底数a>1时,指数函数值随自变量的增长而增大,底数a较大时指数函数值增长速度惊人,被称为指数爆炸.2.当底数0
微练习(1)下列函数是指数函数的是 . ①y= x;②y=2x+1;③y=3·2x;④y=2-x;⑤y=x2;⑥y=-2x.(2)若函数y=2x,求其在区间[2,6]上的增长百分比.(1)答案 ①④(2)解 增长百分比为(au+T-au)÷au=aT-1=24-1=15.
知识点三:指数函数的图象与性质
微判断(1)指数函数y=mx(m>0,且m≠1)是R上的增函数.( )(2)指数函数y=ax(a>0,且a≠1)既不是奇函数,也不是偶函数.( )(3)所有的指数函数图象过定点(0,1).( )(4)函数y=a|x|与函数y=|ax|(a>0,且a≠1)的图象是相同的.( )答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×
微思考指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于什么?具体变化特征是什么?提示 指数函数y=ax(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于字母a.当a>1时,图象具有上升趋势,且当x>0时底数a的值越大,函数图象“越陡”,函数值增长得越快;当0
要点笔记指数函数是一个形式定义,其特征如下:
变式训练1下列以x为自变量的函数是指数函数的为( )A.y=(π-1)x B.y=(1-π)xC.y=3x+1 D.y=x2答案 A解析 π-1为正实数,A是指数函数;B式中,1-π<0,B不是指数函数;C式中,指数位置不是x,C不是指数函数;D式中,自变量不在指数上,D不是指数函数.
例2(1)将一张足够大的纸进行对折,如果不考虑折叠过程中的阻力,那么对折100次之后,纸的厚度约为 km(假设一张纸的厚度大约是0.08 mm). (2)一种放射性物质不断变化成其他物质,每经过一年的残留量是原来的76%,则经过12年后,残留量约为原来的 .
答案 (1)1.02×1023 (2)3.7%解析 (1)2100×0.08≈1.27×1030×0.08(mm)≈1.02×1023(km).(2)0.7612≈0.037,即残留量约为原来的3.7%.
反思感悟 1.通过例2(1)我们可以体会出指数爆炸的威力,它反映了当a>1时,指数函数的值的增长速度是非常大的,另外“人口增长”“病毒繁殖”都是这一模型.2.例2(2)是一个指数衰减问题,它是0
答案 (1)224 (2)4
1.指数型函数图象过定点问题例3已知函数f(x)=ax+1+3(a>0,且a≠1)的图象一定过点P,则点P的坐标是 . 答案 (-1,4)解析 ∵当x+1=0,即x=-1时,f(-1)=a0+3=4恒成立,故函数f(x)=ax+1+3的图象恒过点(-1,4).
要点笔记指数型函数图象过定点问题的解法因为函数y=ax的图象恒过定点(0,1),所以对于函数f(x)=kag(x)+b(k,a,b均为常数,且k≠0,a>0,且a≠1).若g(m)=0,则f(x)的图象过定点(m,k+b).即令指数等于0,解出相应的x,f(x),则点(x,f(x))为所求点.
延伸探究若将本例中的函数改为f(x)=5a3x-2+3呢?
2.指数函数图象的识别
例4函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是( )A.a>1,b<0B.a>1,b>0C.0
反思感悟 指数函数图象问题的处理技巧(1)抓住图象上的特殊点,如指数函数的图象过定点、特殊点的函数的值的符号等;(2)利用图象变换,如函数图象的平移变换(左右平移、上下平移);(3)利用函数的奇偶性与单调性,奇偶性确定函数的对称情况,单调性决定函数图象的走势.
变式训练3已知1>n>m>0,则指数函数①y=mx,②y=nx的图象为( )
答案 C解析 由于0
∵y= (x>0)和y=2x(x<0)的图象关于y轴对称,∴原函数的图象关于y轴对称.由图象可知值域是(0,1],单调递增区间是(-∞,0),单调递减区间是(0,+∞).
要点笔记指数函数y=ax与y= (a>0,且a≠1)的图象关于y轴对称.处理函数图象问题的常用方法:一是抓住图象上的特殊点;二是利用图象的变换;三是利用函数的奇偶性与单调性.
变式训练4画出下列函数的图象,并说明它们是由函数f(x)=2x的图象经过怎样的变换得到的.(1)y=2x-1;(2)y=2x+1;(3)y=-2x;(4)y=2|x|.
解 (1)如图1,y=2x-1的图象是由y=2x的图象向右平移1个单位长度得到的.(2)如图1,y=2x+1的图象是由y=2x的图象向上平移1个单位长度得到的.(3)如图1,y=-2x的图象与y=2x的图象关于x轴对称.(4)函数y=2|x|为偶函数,图象关于y轴对称,且其在x≥0上的图象与y=2x的图象一致,可得y=2|x|的图象如图2所示.
例6比较下列各题中两个值的大小:(1)2.53,2.55.7;
(3)2.3-0.28,0.67-3.1;(4)(a-1)1.3,(a-1)2.4(a>1,且a≠2).
解 (1)(单调性法)由于2.53与2.55.7的底数是2.5,故构造函数y=2.5x,而函数y=2.5x在R上是增函数.又3<5.7,∴2.53<
(3)(中间量法)由指数函数的性质,知2.3-0.28<2.30=1,0.67-3.1>0.670=1,则2.3-0.28<0.67-3.1.(4)∵a>1,且a≠2,∴a-1>0,且a-1≠1.若a-1>1,即a>2,则y=(a-1)x是增函数,∴(a-1)1.3<(a-1)2.4.若0
反思感悟 比较幂的大小的常用方法
变式训练5(多选题)(2021福建漳州龙海二中高一期中)下列式子不正确的是( )>1.53.2 <0.92.1
数形结合思想——指数函数图象的应用
典例 若直线y=2a与函数y=|ax-1|+1(a>0,且a≠1)的图象有两个公共点,求实数a的取值范围.
方法点睛在运用指数型函数的图象求解相关问题时,要注意已知函数与指数函数的联系,把握图象的特点,抓住特殊点,巧用函数图象的平移和对称变换规律,结合函数的性质进行研究.
1.函数y=2-x的大致图象是( )
2.(2021内蒙古集宁一中高一期中)若函数y=(2a-1)x(x是自变量)是指数函数,则a的取值范围是( )A.{a|a>0,且a≠1}B.{a|a≥0,且a≠1}
A.a>b>cB.a
4.若a>3,则函数f(x)=4(a-2)2x+6-1的图象恒过的定点的坐标是 .
答案 (-3,3)解析 ∵a>3,∴a-2>1.令2x+6=0,得x=-3,则f(-3)=4(a-2)0-1=3.故函数f(x)的图象恒过定点的坐标是(-3,3).
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