高中数学湘教版（2019）必修 第一册4.3 对数函数导学案

这是一份高中数学湘教版（2019）必修 第一册4.3 对数函数导学案，共13页。


教材要点
要点一 对数函数的概念
对数运算y＝____________________确定了一个函数，叫作(以a为底的)对数函数．
状元随笔 (1)因为对数函数是由指数函数变化而来的，对数函数的自变量恰好是指数函数的函数值，所以对数函数的定义域是(0，＋∞)，对数函数的底数a＞0，且a≠1.
(2)形式上的严格性：在对数函数的定义表达式y＝lgax(a＞0，且a≠1)中，lgax前边的系数必须是1，自变量x在真数的位置上，否则就不是对数函数．
要点二 反函数
一般地，指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝lgax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换．
要点三 对数函数的图象与性质
状元随笔 底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)y＝lg2x2是对数函数．( )
(2)对数函数y＝lg5x与y＝lg15x的图象关于y轴对称．( )
(3)对数函数的图象都在y轴的右侧．( )
(4)函数y＝ax与函数y＝lgax的图象关于直线y＝x对称．( )

2．(多选)若函数y＝lgax的图象如图所示，则a的值可能是( )
A．0.3 B．15
C．32 D．π
3．函数f(x)＝lg (2x－1)的定义域为( )
A．12，+∞ B．12，1
C．12，+∞ D．12，1
4．函数y＝lga(x－3)－2的图象过的定点是________．
对数函数的图象问题
角度1 图象过定点问题
例1 已知函数y＝lga(x＋3)－1(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，则f(lg32)＝________．
方法归纳
解决与对数函数有关的函数图象过定点问题的方法：对任意的a＞0且a≠1，都有lga1＝0，例如，解答函数y＝m＋lgaf(x)(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点的问题时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点(x，m)．
角度2 对数函数的底与图象变化的关系
例2 如图所示的曲线是对数函数y＝lgax，y＝lgbx，y＝lgcx，y＝lgdx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为________.
方法归纳
当0＜a＜1时，对数函数的图象是下降的，而且随着a由大变小，图象下降的速度变慢．当a＞1时，对数函数的图象是上升的，而且随着a由小变大，图象上升的速度变慢．
角度3 图象的识别问题
例3 函数y＝lga|x|＋1(0＜a＜1)的图象大致为( )
方法归纳
(1)对有关对数函数图象的识别问题，主要依据底数确定图象是上升还是下降、图象位置、图象所过的定点、图象与坐标轴的交点等求解．
(2)根据函数解析式确定函数图象的问题，主要是通过不同的角度来确定函数解析式与函数图象的对应关系，如函数的定义域(值域)、单调性，图象是否过定点、图象的对称性等．
跟踪训练1 (1)函数y＝x＋a与y＝lgax的图象只可能是下图中的( )
(2)图中曲线是对数函数y＝lgax的图象，已知a取3，43，35，110四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的a值依次为( )
A．3，43，35，110
B．3，43，110，35
C．43，3，35，110
D．43，3，110，35
(3)函数y＝lga(2x－1)＋2的图象恒过定点P，点P在指数函数f(x)的图象上，则f(－1)＝________．
题型2 对数型函数的定义域
例4 求下列函数的定义域：
(1)y＝lgx2-2(x-2)；
(2)f(x)＝x+10x-x＋lg (x＋2)．
方法归纳
求函数的定义域，首先要分析自变量x的约束条件，在与对数函数有关的问题中应注意真数大于零，底数大于零且不等于1；其次求解不等式时，要充分应用函数的性质．
跟踪训练2 (1)函数y＝lg22x-1的定义域为( )
A．12，+∞ B．[1，＋∞)
C．12，1 D．(－∞，1)
(2)函数y＝lga(x－1)＋lga(1＋x)的定义域为________．
对数型函数的值域与最值问题
例5 求函数f(x)＝lg24xlg14x2，x∈12，4的值域．
方法归纳
(1)利用对数运算性质化为关于lg2x的一个二次函数，再通过二次函数的性质求最值．
(2)求形如y＝lgaf(x)(a＞0且a≠1)的复合函数值域的步骤：①求函数的定义域；②将原函数拆分成y＝lgau(a＞0，且a≠1)，u＝f(x)两个函数；③由定义域求u的取值范围；④利用函数y＝lgau(a＞0且a≠1)的单调性求值域．
跟踪训练3 已知函数f(x)＝lga(1＋x)＋lga(3－x)(a＞0且a≠1)．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)若函数f(x)的最小值为－2，求实数a的值．
易错辨析 忽视对底数的讨论致误
例6 若函数y＝lgax(a＞0且a≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a的值为________．
解析：当a＞1时，函数y＝lgax在[2，4]上是增函数，所以lga4－lga2＝1，即lga42＝1，所以a＝2.
当0＜a＜1时，函数y＝lgax在[2，4]上是减函数，所以lga2－lga4＝1，即lga24＝1，所以a＝12.
综上可知a＝2或a＝12.
答案：2或12
易错警示
课堂十分钟
1．(多选)函数f(x)＝lga(x＋2)(0＜a＜1)的图象必过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．函数f(x)＝1-lg2x+2的定义域为( )
A．[－2，0] B．(－2，0)
C．(－2，0] D．(－2，＋∞)
3．函数f(x)＝xxlgax(0＜a＜1)的图象大致为( )
4．若函数y＝(a2＋a－5)lgax为对数函数，则f(1)＝________．
5．设a＞1，函数f(x)＝lgax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为12，求实数a的值．
4．3.3 对数函数的图象与性质
第1课时 对数函数的图象与性质(1)
新知初探·课前预习
要点一
lgax(x>0，a>0且a≠1)
要点三
(0，＋∞) (1，0) 增函数 减函数
[基础自测]
1．答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√
2．解析：由图象可知函数y＝lgax在(0，＋∞)上单调递减，所以0答案：AB
3．解析：由对数函数的概念可知2x－1>0，即x>12，故选C.
答案：C
4．解析：因为对数函数y＝lgax(a>0且a≠1)恒过定点(1，0)，所以令x－3＝1，即x＝4，此时y＝－2，所以函数y＝lga(x－3)－2过定点(4，－2).
答案：(4，－2)
题型探究·课堂解透
例1 解析：依题意可知定点A(－2，－1)，f(－2)＝3－2＋b＝－1，b＝－ eq \f(10,9) ，故f(x)＝3x－ eq \f(10,9) ，f(lg32)＝3lg32－ eq \f(10,9) ＝2－ eq \f(10,9) ＝ eq \f(8,9) .
答案： eq \f(8,9)
例2 解析：由题干图可知函数y＝lgax，y＝lgbx的底数a＞1，b＞1，函数y＝lgcx，y＝lgdx的底数0＜c＜1，0＜d＜1.
过点(0，1)作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c，d，a，b，显然b＞a＞1＞d＞c.
答案：b>a>1>d>c
例3 解析：函数为偶函数，在(0，＋∞)上为减函数，(－∞，0)上为增函数，故可排除选项B，C，又x＝±1时y＝1.
答案：A
跟踪训练1 解析：(1)A中，由y＝x＋a的图象知a＞1，而y＝lgax为减函数，A错；B中，0＜a＜1，而y＝lgax为增函数，B错；C中，0＜a＜1，且y＝lgax为减函数，所以C对；D中，a＜0，而y＝lgax无意义，也不对．
(2)已知图中曲线是对数函数y＝lgax的图象，
由对数函数的图象和性质，可得C1，C2，C3，C4的a值从小到大依次为：C4，C3，C2，C1，
由a取 eq \r(3) ， eq \f(4,3) ， eq \f(3,5) ， eq \f(1,10) 四个值，故C1，C2，C3，C4的a值依次为 eq \r(3) ， eq \f(4,3) ， eq \f(3,5) ， eq \f(1,10) .
(3)根据题意，令2x－1＝1，得x＝1，此时y＝2，所以定点P的坐标是(1，2)，所以f(x)＝2x，所以f(－1)＝ eq \f(1,2) .
答案：(1)C (2)A (3) eq \f(1,2)
例4 解析：(1)由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－2>0,x2－2≠1,x－2>0)) 得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x<－\r(2)或x>\r(2),x≠±\r(3),x>2)) ，所以定义域为(2，＋∞).
(2)由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋1≠0,|x|>x,x＋2>0)) 得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x≠－1,x<0,x>－2)) ，所以定义域为(－2，－1)∪(－1，0).
跟踪训练2 解析：(1)由题意得x-1>lg2(2x-1)≥0即x>12x≥1故函数的定义域为[1，＋∞).
(2)由题意知x-1>01+x>0 解得x>1，
∴函数y＝lga(x－1)＋lga(1＋x)的定义域为(1，＋∞).
答案：(1)B (2)(1，＋∞)
例5 解析：f(x)＝lg2(4x)·lg eq \s\d9(\f(1,4)) eq \f(x,2)
＝(lg2x＋2)· eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)（lg2x－1）))
＝－ eq \f(1,2) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(（lg2x）2＋lg2x－2)) .
设lg2x＝t.
∵x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，4)) ，∴t∈[－1，2]，
则有y＝－ eq \f(1,2) (t2＋t－2)，t∈[－1，2]，
因此二次函数图象的对称轴为t＝－ eq \f(1,2) ，
∴函数y＝－ eq \f(1,2) (t2＋t－2)在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，－\f(1,2))) 上是增函数，在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，2)) 上是减函数，
∴当t＝－ eq \f(1,2) 时，y有最大值，且ymax＝ eq \f(9,8) ；当t＝2时，y有最小值，且ymin＝－2.
∴f(x)的值域为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，\f(9,8))) .
跟踪训练3 解析：(1)由题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＋x>0，,3－x>0，))
解得－1＜x＜3，所以函数f(x)的定义域为(－1，3).
(2)因为f(x)＝lga[(1＋x)(3－x)]
＝lga(－x2＋2x＋3)
＝lga[－(x－1)2＋4]，
若0＜a＜1，则当x＝1时，f(x)有最小值lga4，
所以lga4＝－2，a－2＝4，
又0＜a＜1，所以a＝ eq \f(1,2) .
若a＞1，则当x＝1时，f(x)有最大值lga4，f(x)无最小值．
综上可知，a＝ eq \f(1,2) .
[课堂十分钟]
1．解析：f(x)＝lga(x＋2)(0所以必过第二、三、四象限．
答案：BCD
2．解析：要使函数有意义，则1－lg2(x＋2)≥0得lg2(x＋2)≤1，即0＜x＋2≤2，得－2＜x≤0，即函数的定义域为(－2，0].
答案：C
3．解析：在lgax中x>0，∴y＝xxlgax＝lgax(0答案：B
4．解析：由对数函数的定义可知a2＋a－5＝1.
解得a＝2或a＝－3(a＝－3舍去)，
∴f(x)＝lg2x，∴f(1)＝0.
答案：0
5．解析：∵a>1，∴f(x)＝lgax在(0，＋∞)上是增函数．
∴最大值为f(2a)，最小值为f(a).
∴f(2a)－f(a)＝lga2a－lgaa＝ eq \f(1,2) ，即lga2＝ eq \f(1,2) .∴a＝4.
最新课程标准
1.通过具体实例，了解对数的概念，能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．
2．知道对数函数y＝lgax与指数函数y＝ax互为反函数(a＞0且a≠1)．
学科核心素养
1. 了解对数函数的概念．(数学抽象)
2．掌握对数函数的图象和性质，并会解决相关的问题．(数学抽象，逻辑推理)
3．会解决对数型函数的定义域、值域、单调性等有关的问题．(逻辑推理、数学运算 )
表达式
y＝lgax(a＞1)
y＝lgax(0＜a＜1)
图象
性质
定义域________
值域R
过点________，即当x＝1时，y＝0
在(0，＋∞)上是________
在(0，＋∞)上是________
易错原因
纠错心得
忽视对底数a的分类讨论，只考虑了a＞1的情况，漏掉了0＜a＜1的情况．
底数的范围不同决定了对数函数的单调性不同，从而影响了在闭区间上的最值．所以一定要对底数进行讨论．