高中数学湘教版（2019）必修 第一册第4章 幂函数、指数函数和对数函数4.3 对数函数导学案

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教材要点
要点 对数的运算法则
若a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：
(1)lga(M·N)＝________________，
(2)lgaMN＝________________，
(3)lgaMn＝____________(n∈R)．
状元随笔 对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立．例如，lg2[(－3)·(－5)]＝lg2(－3) ＋lg2(－5)是错误的．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)lg (x＋y)＝lg x＋lg y．( )
(2)lga(xy)＝lgax·lgay(a＞0，且a≠1，x，y＞0)．( )
(3)lgax·lgay＝lga(x＋y)．( )
(4)lga(xy)＝lgax＋lgay.(a＞0，且a≠1，x，y＞0)．( )
2．计算：lg 2＋lg 5＝( )
A．1 B．2 C．5 D．10
3．lg618＋2lg62的结果是( )
A．－2 B．2
C．2 D．lg62
4. lg345－lg35＝________．
题型1 对数式的化简
例1 用lgax，lgay，lgaz表示下列各式：
(1)lgaxyz； (2)lgax3y5；
(3)lgaxyz； (4)lgax2y3z.
方法归纳
运用对数运算法则进行对数式的化简，要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立．
跟踪训练1 请用lg x, lg y, lg z，lg (x＋y), lg (x－y)表示下列各式．
(1)lg (x2－y2)；
(2)lg xy2z.
题型2 对数式的求值
角度1 对数运算法则的正用
例2 计算：
(1)lg5100；
(2)lg247×25.
方法归纳
选择适当的对数运算法则求值，注意掌握一些对数的性质：lga1＝0，lgaa＝1，algaN＝N(a>0且a≠1，N>0)．
角度2 对数运算法则的综合应用
例3 计算下列各式的值．
(1)lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18；
(2)lg27+lg8-3lg10lg1.2；
(3)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.
方法归纳
1．对于同底的对数的化简，常用方法是：
(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．
2．对数式的求值一般是正用或逆用公式，要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，
lg 2＋lg 5＝1在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式．
角度3 带有附加条件的对数式求值
例4 (1)已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，则lg 45＝________．
(2)已知3a＝2，3b＝15，则2a－b＝________．
方法归纳
先将条件或结论适当变形，再准确应用对数运算公式及有关性质解题．
跟踪训练2 (1)已知lg 2＝a，lg 3＝b，则lg 12等于( )
A．a2＋b B．b＋2a
C．a＋2b D．a＋b2
23lg34-2723－lg 0.01＋ln e3等于( )
A．14 B．0
C．1 D．6
(3)lg2+lg5-lg12lg12+lg8·(lg 32－lg 2)＝________．
(4)lg 2－lg 14＋3lg 5－lg32·lg49＝________．
易错辨析 忽视对数的限制条件
例5 若lg x＋lg y＝2lg (x－2y)，则xy的值为________．
解析：∵lg x＋lg y＝2lg (x－2y)，∴xy＝(x－2y)2，
即x2－5xy＋4y2＝0，∴(x－y)(x－4y)＝0.
解得x＝y或x＝4y.
∴xy＝1或xy＝4.
由已知得x＞0，y＞0，x－2y＞0.
当xy＝1时，x－2y＜0，此时lg (x－2y)无意义，舍去．
当xy＝4时，代入已知条件，符合题意，综上xy＝4.
答案：4
易错警示
课堂十分钟
1．lg513＋lg53等于( )
A．0 B．1
C．－1 D．lg5103
2．lg36－lg32＝( )
A．12 B．1
C．lg34 D．lg312
3．若10a＝5，10b＝2，则a＋b等于( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
4．lg 5＋lg 20的值是________．
5．计算：
(1)(lg 5)2＋lg 2×lg 50；
(2)lg2732·lg6427＋lg92·lg427.
4．3.2 对数的运算法则
第1课时 对数的运算法则(1)
新知初探·课前预习
要点
(1)lgaM＋lgaN (2)lgaM－lgaN (3)nlgaM
[基础自测]
1．答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
2．解析：lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.
答案：A
3．解析：原式＝lg618＋lg62＝lg636＝2.故选B.
答案：B
4．解析：lg345－lg35＝lg3455＝lg39＝lg31232＝212lg33＝4.
答案：4
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1) (1)lgaxyz＝lga(xy)－lgaz＝lgax＋lgay－lgaz；
(2)lgax3y5＝lgax3＋lgay5＝3lgax＋5lgay；
(3)lgaxyz＝lgax－lga(yz)＝12lgax－(lgay+lgaz )＝12lgax－lgay－lgaz；
(4)lgax2y3z＝lgax2＋lgay－lga3z＝2lgax＋12lgay－13lgaz.
跟踪训练1 解析：(1)lg (x2－y2)＝lg[(x-y)(x+y)]＝lg (x－y)＋lg (x＋y).
(2)lg xy2z＝lg x＋lg y2－lg z＝lg x＋2lg y－lg z．
例2 解析：(1)lg5100＝15lg 100＝25；
(2)lg2(47×25)＝lg247＋lg225＝14＋5＝19.
例3 解析：(1)原式＝lg (2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg (32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.
(3)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.
例4 解析：(1) lg 45＝12lg 45＝12lg 902
＝12 (lg 9＋lg 10－lg 2)＝12 (2lg 3＋1－lg 2)
＝lg 3＋12－12lg 2≈0.477 1＋0.5－0.150 5＝0.826 6.
(2)∵3a＝2，3b＝15，两边取对数得a＝lg32，b＝lg315＝－lg35，∴2a－b＝2lg32＋lg35＝lg320.
答案：(1)0.826 6 (2)lg320
跟踪训练2 解析：(1)lg 12＝lg 4＋lg 3＝2lg 2＋lg 3＝2a＋b.故选B.
(2)3lg34－2723－lg 0.01＋ln e3＝4－ eq \r(3,272) －lg eq \f(1,100) ＋3＝4－32－(－2)＋3＝0.故选B.
(3)原式＝ eq \f(lg （2×5）－0,lg \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(2)×8))) ×lg eq \f(32,2) ＝ eq \f(1,lg 2) ·lg 24＝4.
(4)原式＝lg 2＋2lg 2＋3lg 5－lg32·lg23＝3lg 2＋3lg 5－1＝3(lg 2＋lg 5)－1＝3lg 10－1＝3－1＝2.
答案：(1)B (2)B (3)4 (4)2
[课堂十分钟]
1．解析：因为lg513＋lg53＝lg5(13×3)＝lg51＝0.
答案：A
2．解析： lg36－lg32＝lg362＝lg33＝1.
答案：B
3．解析：由已知得a＝lg 5，b＝lg 2，
故a＋b＝lg 5＋lg 2＝lg 10＝1，故选C.
答案：C
4．解析：lg 5＋lg 20＝lg100＝lg 10＝1.
答案：1
5．解析：(1)原式＝(lg 5)2＋lg 2(lg 5＋lg 10)
＝(lg 5)2＋lg 2×lg 5＋lg 2
＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2＝lg 5＋lg 2＝1.
(2)lg2732·lg6427＋lg92·lg4 eq \r(27)
＝ eq \f(lg 32,lg 27) · eq \f(lg 27,lg 64) ＋ eq \f(lg 2,lg 9) · eq \f(lg \r(27),lg 4)
＝ eq \f(lg 32,lg 64) ＋ eq \f(lg \r(27),2lg 9) ＝ eq \f(5lg 2,6lg 2) ＋ eq \f(\f(3,2)lg 3,2×2lg 3)
＝ eq \f(5,6) ＋ eq \f(3,8) ＝ eq \f(29,24) .
最新课程标准
1.理解对数运算性质．
2．知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数．
学科核心素养
1.会推导对数运算性质并进行化简求值．(数学运算)
2．了解换底公式及其推导并进行化简求值．(数学运算)
易错原因
纠错心得
本题易错地方是忽视对数的限制条件，尤其x－2y＞0这一条件，得出错误答案1或4.
在对数的定义中，要求真数大于0，底数大于0且不等于1.在解题时不能漏掉任何一个条件．