高中数学湘教版（2019）必修 第一册4.2 指数函数导学案

4．2.2　指数函数的图象与性质

第一课时　指数函数的图象和性质

分别在同一平面直角坐标系内画出y＝2x与y＝的图象及y＝3x与y＝的图象，通过观察具体的指数函数的图象，归纳、抽象出y＝ax(a>0，且a≠1)的图象与性质．

[问题]　(1)图象分布在哪几个象限？说明了什么？

(2)猜想图象的上升、下降与底数a有怎样的关系？对应的函数的单调性如何？

知识点　指数函数的图象和性质

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)指数函数的图象都在x轴的上方．(　　)

(2)若指数函数y＝ax是减函数，则0<a<1.(　　)

(3)函数y＝3x的图象在函数y＝2x图象的上方．(　　)

答案：(1)√　(2)√　(3)×

2．函数y＝2－x的图象是(　　)

答案：B

3．函数y＝ax(a>0且a≠1)在R上是增函数，则a的取值范围是________．

答案：(1，＋∞)

4．函数f(x)＝2x＋3的值域为________．

答案：(3，＋∞)

[例1]　求下列函数的定义域和值域：

(1)y＝2；(2)y＝；(3)y＝ .

[解]　(1)∵x满足x≠0，∴定义域为{x|x≠0}．

∵≠0，∴2≠1.

∴y＝2的值域为{y|y>0，且y≠1}．

(2)定义域为R.

∵|x|≥0，∴y＝＝≥＝1，

∴此函数的值域为[1，＋∞)．

(3)由题意知1－≥0，

∴≤1＝，

∴x≥0，

∴定义域为{x|x≥0，x∈R}．

∵x≥0，∴≤1.

又∵>0，∴0<≤1.

∴0≤1－<1，

∴0≤y<1，∴此函数的值域为[0，1)．

函数y＝af(x)定义域、值域的求法

(1)定义域：形如y＝af(x)形式的函数的定义域是使得f(x)有意义的x的取值集合；

(2)值域：①换元，令t＝f(x)；

②求t＝f(x)的定义域x∈D；

③求t＝f(x)的值域t∈M；

④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域．

[注意]　(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集；

(2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论．　　　　

[跟踪训练]

1．函数f(x)＝＋的定义域是(　　)

A．[2，4)　　　　　　　 B．[2，4)∪(4，＋∞)

C．(2，4)∪(4，＋∞)  D．[2，＋∞)

解析：选B　依题意有

解得x∈[2，4)∪(4，＋∞)．

2．函数y＝－1的值域为(　　)

A．[1，＋∞)  B．(－1，1)

C．[－1，＋∞)  D．[－1，1)

解析：选D　∵2x>0，∴4－2x<4.又∵4－2x≥0，∴0≤4－2x<4.令t＝4－2x，则t∈[0，4)，∴∈[0，2)，∴y∈[－1，1)，即函数的值域是[－1，1)，故选D.

3．若函数f(x)＝的定义域是[1，＋∞)，则a的取值范围是________．

解析：∵ax－a≥0，∴ax≥a，∴当a>1时，x≥1.故函数定义域为[1，＋∞)时，a>1.

答案：(1，＋∞)

[例2]　(链接教科书第107页例3)(1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)

A．a＞1，b＜0　　　　　　 B．a＞1，b＞0

C．0＜a＜1，b＞0  D．0＜a＜1，b＜0

(2)在平面直角坐标系中，若直线y＝m与函数f(x)＝|2x－1|的图象只有一个交点，则实数m的取值范围是________．

[解析]　(1)从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而有0＜a＜1；从曲线位置看，是由函数y＝ax(0＜a＜1)的图象向左平移|－b|个单位长度得到，所以－b＞0，即b＜0.

(2)画出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图所示．

若直线y＝m与函数f(x)＝|2x－1|的图象只有1个交点，则m≥1或m＝0，

即实数m的取值范围是{m|m≥1或m＝0}．

[答案]　(1)D　(2){m|m≥1或m＝0}

处理函数图象问题的策略

(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0，1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点；

(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)；

(3)利用函数的性质：奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图象的走势．　　　　

[跟踪训练]

1．函数f(x)＝3－ax＋1(a>0且a≠1)的图象恒过定点(　　)

A．(－1，2)  B．(1，2)

C．(－1，1)  D．(0，2)

解析：选A　依题意，由x＋1＝0得，x＝－1，将x＝－1代入f(x)＝3－ax＋1得，f(x)＝3－a0＝2，所以函数f(x)＝3－ax＋1(a>0且a≠1)的图象恒过定点(－1，2)．

2．已知1>n>m>0，则指数函数：①y＝mx，②y＝nx的图象为(　　)

解析：选C　由于0<m<n<1，所以y＝mx与y＝nx都是减函数，故排除A、B，作直线x＝1与两条曲线相交(图略)，下面交点所在的曲线是函数y＝mx的图象，故选C.

3．画出下列函数的图象，并说明它们是由函数f(x)＝2x的图象经过怎样的变换得到的．

(1)y＝2x＋1；

(2)y＝－2x.

解：如图．

(1)y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向上平移1个单位长度得到的；

(2)y＝－2x的图象与y＝2x的图象关于x轴对称．

指数函数图象变换问题探究

为研究函数图象的变换规律，某数学兴趣小组以指数函数f(x)＝2x为例，借助几何画板画出了下面4组函数的图象：

(1)y＝f(x－1)；(2)y＝f(|x|)＋1；(3)y＝－f(x)；(4)y＝|f(x)－1|.

[问题探究]

1．请分别写出这4组函数的解析式．

提示：(1)y＝f(x－1)＝2x－1；

(2)y＝f(|x|)＋1＝2|x|＋1；

(3)y＝－f(x)＝－2x；

(4)y＝|f(x)－1|＝|2x－1|.

2．已知函数y＝f(x)的图象，怎样利用图象变换的方法分别得到函数y＝f(x±a)(a>0)，y＝f(x)±b(b>0)，y＝－f(x)，y＝f(|x|)，y＝|f(x)|的图象，试写出变换过程．

提示：(1)函数y＝f(x±a)(a>0)的图象，可由y＝f(x)的图象向左(＋)或向右(－)平移a个单位长度得到．

(2)函数y＝f(x)±b(b>0)的图象，可由y＝f(x)的图象向上(＋)或向下(－)平移b个单位长度得到．

(3)将函数y＝f(x)的图象关于x轴对称，便得到函数y＝－f(x)的图象．

(4)保留函数y＝f(x)(x≥0)的部分图象，再将其沿y轴翻折到左侧，便得到函数y＝f(|x|)的图象．

(5)保留函数y＝f(x)在x轴上方的图象，并将y＝f(x)在x轴下方的图象沿x轴翻折到上方，便得到函数y＝|f(x)|的图象．

[迁移应用]

若将函数更换为y＝，并得到图象如图所示，试根据函数y＝的图象，作出下列各函数的图象：(1)y＝；(2)y＝－1；(3)y＝－.

解：(1)、(2)、(3)中的函数的图象分别如图①②③所示：

1.指数函数y＝ax与y＝bx的图象如图所示，则(　　)

A．a<0，b<0

B．a<0，b>0

C．0<a<1，b>1

D．0<a<1，0<b<1

解析：选C　结合指数函数的图象知，b>1，0<a<1.

2．函数y＝ 的定义域是(　　)

A．(－∞，0)　　　　　　 B．(－∞，0]

C．[0，＋∞)  D．(0，＋∞)

解析：选C　由2x－1≥0，得2x≥20，∴x≥0.

3．若a>1，－1<b<0，则函数y＝ax＋b的图象一定在(　　)

A．第一、二、三象限  B．第一、三、四象限

C．第二、三、四象限  D．第一、二、四象限

解析：选A　∵a>1，且－1<b<0，∴函数y＝ax＋b的大致图象如图所示．故选A.