2021学年4.1 实数指数幂和幂函数学案设计

4．1.2　无理数指数幂

教材要点

要点一　有理数指数幂的基本不等式

(1)基本形式：对任意的正有理数r和正数a，若a＞1，则ar＞1；若a<1，则ar<1.

(2)推论：对任意的正数a＞1和两有理数r>s，有＝ar－s>1，即ar＞as.

对任意的正数a<1和两有理数r>s，有＝ar－s<1，即ar< as.

要点二　无理数指数幂的概念

给定任意正数a，对任意实数u，a的u次幂au都有了定义，其中a叫作底数，u叫作指数．

　(1)无理数指数幂通常用近似逼近的方法转化为有理数指数幂，即用无理数指数幂的不足近似值(逢数都舍)和过剩近似值(逢数进位)不断地逼近无理数指数幂的准确值．具体方法是：先取无理数指数的两种近似值(不足近似值和过剩近似值)，然后计算无理数指数幂的不足近似值和过剩近似值，这两个值可以无限逼近一个实数aα(a＞0，α是无理数).

(2)0的正无理数指数幂为0，0的负无理数指数幂没有意义．

要点三　幂运算基本不等式

对任意的正数u和正数a，若a＞1，则au＞1；若a<1，则au<1.

对任意的负数u和正数a，若a＞1，则au<1；若a<1，则au＞1.

要点四　实数指数幂的运算性质

对于任意正数a，b和实数r，s，指数幂均满足下面的运算性质：

(1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈R)；

(2)(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈R)；

(3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈R).

　实数指数幂的运算性质除了上述三个外，还有如下两个常用性质：

(1)ar÷as ＝ar－s(a＞0，r，s∈R)；

(2)＝(a＞0，b＞0，r∈R).

基础自测

1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)5是一个确定的实数．(　　)

(2)指数幂aα的指数α只能取无理数．(　　)

(3)(2)＝8.(　　)

(4)2∈R.(　　)

2．(2)2＝(　　)

A．4　　　　B．8　　　　C．8　　　　D．16

3．化简： ＝________．(a＞0)

4．计算：()2＝________．

题型1　无理数指数幂的运算

例1　(1)(3·)3；

(2) (a＞0).

方法归纳

关于无理数指数幂的运算

(1)底数相同时直接对指数上的无理数进行加减运算；

(2)若式子中含有根式，则先化为指数式再进行运算，一般指数中的根式可以保留．

跟踪训练1　计算：

(1)；

(2)(·)12(m＞0).

题型2　条件因式的化简与求值

角度1　“已知值”的化简求值

例2　已知x＝，y＝，求－的值．

角度2　“整体代换”的化简求值

例3　已知＋＝3，求下列各式的值．

(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3) .

方法归纳

解条件求值问题的原则

(1)对于含条件的求值问题，可以把所要求的式子先进行变形，找出与条件的联系，然后求值．

(2)也可以先对条件加以变形，使它与所要求的式子的联系更加明显，从整体上把握代数式的结构特点，然后求值．

跟踪训练2　(1)已知am＝4，an＝3，则 的值为(　　)

A．    B．6

C．    D．2

(2)已知x＋y＝12，xy＝9，且x＜y，则＝________．

题型3　实数指数幂比较大小

例4　已知a>1，h>0，对任意的实数u，求证：

(1)au＋2h－au＋h>au＋h－au；

(2)(1＋h)100>1＋100h.

方法归纳

进行实数指数幂的大小比较时，要善于应用幂运算基本不等式，同时注意数的正负性，对于正数a，b，<1⇔0<a<b；对于负数a，b，<1⇔0>a>b.

跟踪训练3　已知0<a<1，h>0，对任意的实数u，求证：au＋h－au＋2h<au－au＋h.

课堂十分钟

1．计算(π)－的结果是(　　)

A．π　　　　B．　　　　C．－π　　　　D．

2.·等于(　　)

A．－    B．－    C．    D．

3．若2x＝7，2y＝6，则4x－y等于(　　)

A．    B．    C．    D．

4．化简(＋)2 020·(－)2 021＝________．

5．已知＋＝4，求的值．

4．1.2　无理数指数幂

新知初探·课前预习

[基础自测]

1．答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√

2．解析：＝＝24＝16.

答案：D

3．解析： ＝＝.

答案：

4．解析：＝＝＝53＝125.

答案：125

题型探究·课堂解透

例1　解析：(1)原式＝(3·2)3＝(3)3·2·3＝36·22＝2 916.

(2)原式＝a＋－π＝a－.

跟踪训练1　解析：(1)原式＝(π－)2＝(π)2＝π3.

(2)原式＝(m－)12＝()12＝m2π.

例2　解析：－

＝－＝.

∵x＝，y＝，

∴原式＝＝＝－24＝－8.

例3　解析：(1)将a＋a－＝3两边平方，

得a＋a－1＋2＝9，即a＋a－1＝7.

(2)将a＋a－1＝7两边平方，有a2＋a－2＋2＝49，∴a2＋a－2＝47.

(3)由于a－a－＝(a)3－(a－)3，

所以有

＝

＝a＋a－1＋1＝7＋1＝8.

跟踪训练2　解析：(1)＝＝＝.

(2)∵x＋y＝12，xy＝9，

∴2＝＝＝＝.

∵x<y，∴原式＝－＝－.

答案：(1)A　(2)－

例4　证明：(1)因为au＋2h，au＋h，au都是正数，且＝＝ah>1，故au＋2h－au＋h，au＋h－au也是正数．

又因为＝＝＝ah>1，

即得au＋2h－au＋h>au＋h－au.

(2)由于对正数A和B有(1＋A)(1＋B)>1＋A＋B，

故(1＋h)2>1＋2h，(1＋h)3>(1＋2h)(1＋h)>1＋3h，

从而(1＋h)10＝[(1＋h)2(1＋h)3]2>[(1＋2h)(1＋3h)]2>(1＋5h)2>1＋10h，两端10次方得(1＋h)100>(1＋10h)10>1＋100h.

跟踪训练3　证明：由au，au＋h，au＋2h都是正数，且＝＝ah<1，得au＋h－au＋2h>0，au－au＋h>0，

所以＝＝＝ah<1，

所以au＋h－au＋2h<au－au＋h.

[课堂十分钟]

1．解析：＝＝π－1＝.

答案：D

2．解析：·＝·

＝－·＝－＝－  .

答案：A

3．解析：4x－y＝22x－2y＝＝.

答案：D

4．解析：()2 020·()2 021＝[()()]2 020·()＝12 020·()＝.

答案：－

5．解析：∵＋＝4，∴x＋2＋x－1＝16.

∴x＋x－1＝14，∴x2＋2＋x－2＝196，

∴x2＋x－2＝194，

∴原式＝＝－3.