高中数学湘教版（2019）必修 第一册4.2 指数函数教课课件ppt

4.2　指数函数

4.2.1　指数爆炸和指数衰减

4.2.2　指数函数的图象与性质

第1课时　指数函数的概念、图象与性质

知识点1　指数函数的概念

如果让底数为常数而取指数为自变量x，则得到一类新的函数y＝ax(x∈R)，叫作指数函数，其中a>0，且a≠1．

1．为什么指数函数的底数a>0，且a≠1．

[提示]　①当a≤0时，ax可能无意义；②当a>0时，x可以取任何实数；③当a＝1时，ax＝1(x∈R)，无研究价值．因此规定y＝ax中a>0，且a≠1．

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)y＝x2是指数函数．  (　　)

(2)函数y＝2－x不是指数函数．  (　　)

[答案]　(1)×　(2)×

知识点2　指数爆炸和指数衰减

(1)指数爆炸：当底数a>1时，指数函数值随自变量的增长而增大，底数a较大时指数函数值增长速度惊人，被称为指数爆炸．

(2)指数增长：在经济学或其他学科中，当某个量在一个既定的时间周期中，其增长百分比是一个常量时，这个量就被描述为指数式增长，也称指数增长．

(3)指数衰减：如果底数0<a<1时，指数函数值随自变量的增长而缩小以至无限接近于0，叫作指数衰减．指数衰减的特点是：在一个既定的时间周期中，其缩小百分比是一个常量．

2.某市现有人口总数为100万人，如果年平均增长率为1.2%.则x年后该城市人口总数y(万人)与年份x(年)之间的函数关系式为________．

y＝100(1＋1.2%)x　[1年后城市人口总数为：y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)；

2年后城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2；

同理3年后城市人口总数为y＝100(1＋1.2%)3，

……

故x年后的城市人口总数为y＝100(1＋1.2%)x.]

分别求出指数函数y＝2x在自变量取－2，－1，－，0，，1,2时所对应的函数值(填写下表)，并由此猜测指数函数y＝2x的定义域、值域、奇偶性、单调性，尝试说明理由．

知识点3　指数函数的图象与性质

2.指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于什么？

[提示]　指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于字母a.当a>1时，图象具有上升趋势；当0<a<1时，图象具有下降趋势．

指数函数图象的特征

同一坐标系中，画出不同底数的指数函数的图象如图所示．

直线x＝1与四个指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的交点依次为(1，a)，(1，b)，(1，c)，(1，d)，所以有0<b<a<1<d<c，因此可得出以下结论：在y轴的右侧，底数越大，图象越高，简称“底大图高”．

3.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)指数函数y＝mx(m>0且m≠1)是R上的增函数． (　　)

(2)指数函数y＝ax(a>0且a≠1)既不是奇函数，也不是偶函数．

  (　　)

(3)所有的指数函数图象过定点(0,1)． (　　)

(4)函数y＝a|x|与函数y＝|ax|的图象是相同的． (　　)

[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×

4.函数y＝3－x的图象是(　　)

A　　　　　　　　B

C　　　　　　　　D

B　[∵y＝3－x＝，∴B选项正确．]

类型1　指数函数的概念

【例1】　(1)下列函数中，指数函数的个数是(　　)

①y＝(－8)x；②y＝2；③y＝ax；④y＝2·3x.

A．1　 B．2　　　　

C．3　　　　 D．0

(2)已知函数f(x)为指数函数，且f＝，则f(－2)＝________.

(1)D　(2)　[(1)①中底数－8<0，所以不是指数函数；

②中指数不是自变量x，所以不是指数函数；

③中，只有规定a>0且a≠1时，才是指数函数；

④中3x前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数，故选D．

(2)设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，由f＝得a＝，所以a＝3，又f(－2)＝a－2，所以f(－2)＝3－2＝.]

判断一个函数是否为指数函数，要牢牢抓住3点

(1)底数是大于0且不等于1的常数；

(2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上；

(3)ax的系数必须为1．

1．已知函数f(x)＝(2a－1)x是指数函数，则实数a的取值范围是________．

∪(1，＋∞)　[由题意可知

解得a>，且a≠1，

所以实数a的取值范围是∪(1，＋∞)．]

类型2　指数函数的实际应用

【例2】　(对接教材P109例题)某林区2020年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均递增率能达到5%.

(1)若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，求y＝f(x)的表达式，并求此函数的定义域；

(2)求经过多少年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米．

[解]　(1)现有木材蓄积量为200万立方米，经过1年后木材蓄积量为200＋200×5%＝200(1＋5%)．

经过2年后木材蓄积量为：200(1＋5%)＋200(1＋5%)×5%＝200×(1＋5%)2.

∴经过x年后木材蓄积量为200(1＋5%)x.

∴y＝f(x)＝200(1＋5%)x，函数的定义域为x∈N＋.

(2)作函数y＝f(x)＝200(1＋5%)x(x≥0)图象如图所示．

作直线y＝300与函数y＝200(1＋5%)x的图象交于A点，则A(x0,300)，A点的横坐标x0的值就是函数值y＝300时(木材蓄积量为300万立方米时)所经过的时间x年的值．

∵8<x0<9，则取x＝9(计划留有余地，取过剩近似值)．

即经过9年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米．

实际应用问题中指数函数模型的类型

(1)指数增长模型

设原有量为N，每次的增长率为p，则经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N)．

(2)指数减少模型

设原有量为N，每次的减少率为p，则经过x次减少，该量减少到y，则y＝N(1－p)x(x∈N)．

(3)指数型函数

把形如y＝kax(k≠0，a>0，且a≠1)的函数称为指数型函数，这是非常有用的函数模型．

2．若镭经过100年后剩留量为原来的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是(　　)

A．y＝(0.957 6) B．y＝(0.957 6)100x

C．y＝ D．y＝1－(0.042 4)

A　[由100年后剩留量为原来的95.76%，故x年后的剩留量y＝(0.957 6).]

类型3　指数函数的图象的应用

【例3】　(1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)

A．a>1，b<0 B．a>1，b>0

C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0

(2)函数y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点________．

(1)D　(2)(3,4)　[(1)由于f(x)的图象单调递减，所以0<a<1，又0<f(0)<1，所以0<a－b<1＝a0，即－b>0，所以b<0，故选D．

(2)令x－3＝0得x＝3，此时y＝4.故函数y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点(3,4)．]

指数函数图象问题的处理技巧

(1)抓住图象上的特殊点，如指数函数的图象过定点．

(2)利用图象变换，如函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．

(3)利用函数的奇偶性与单调性．奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图象的走势．

3．已知f(x)＝2x，指出下列函数的图象是由y＝f(x)的图象通过怎样的变化得到：

(1)y＝2x＋1；(2)y＝2x－1；(3)y＝2x＋1；

(4)y＝2－x；(5)y＝2|x|.

[解]　(1)y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向左平移1个单位得到．

(2)y＝2x－1的图象是由y＝2x的图象向右平移1个单位得到．

(3)y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向上平移1个单位得到．

(4)∵y＝2－x与y＝2x的图象关于y轴对称，∴作y＝2x的图象关于y轴的对称图形便可得到y＝2－x的图象．

(5)∵y＝2|x|为偶函数，故其图象关于y轴对称，故先作出当x≥0时，y＝2x的图象，再作关于y轴的对称图形，即可得到y＝2|x|的图象．

1．下列函数一定是指数函数的是(　　)

A．y＝2x＋1　　　 B．y＝x3

C．y＝3·2x D．y＝3－x

D　[结合指函数的定义可知D正确，故选D．]

2．若指数函数f(x)的图象过点(3,8)，则f(x)的解析式为(　　)

A．f(x)＝x3　　 B．f(x)＝2x

C．f(x)＝ D．f(x)＝x

B　[设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则由f(3)＝8得

a3＝8，

∴a＝2，

∴f(x)＝2x，故选B．]

3．如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是(　　)

A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c

C．1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜c

B　[作直线x＝1，与四个图象分别交于A，B，C，D四点，则A(1，a)，B(1，b)，C(1，c)，D(1，d)，由图可知b<a<1<d<c，故选B．

]

4．碳14的半衰期为5 730年，那么碳14的年衰变率为________．

　[设原物质的量为1，则经过一年后该物质剩余量为，即年衰变量为.]

5．若函数f(x)＝(4－3a)x是指数函数，则实数a的取值范围是________．

　[由题意可知故a<且a≠1．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1．函数f(x)＝ax是指数函数吗？

[提示]　不一定，当a>0且a≠1时，f(x)＝ax是指数函数．

2．指数型函数的形式是什么样的？

[提示]　形如y＝kax(a>0且a≠1)．

3．指数函数的图象主要由谁决定？

[提示]　指数函数的底数决定图象的变化趋势．