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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.4 充分条件与必要条件学案
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.4 充分条件与必要条件学案，共9页。学案主要包含了课程标准，知识要点归纳，经典例题，当堂检测等内容，欢迎下载使用。
1.4.2充要条件
【课程标准】
1.理解充要条件概念．
2.结合具体问题，利用集合等知识，学会判断充要条件.
【知识要点归纳】
充要条件
一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p 就记作 .
此时，我们说，p是q的 ，简称 .显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.
概括地说，如果p⇔q，那么p与q .
2.四种条件
3.总结判断充分必要的条件的方法
（1）定义法
（2）集合法
【经典例题】
例1.下列各题中，p是q的什么条件（“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”）
例2 “x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的( )
A.充要条件 B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
例3 已知ab≠0，求证：a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件．
注意：从充分性、必要性两方面证明．
例3 求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．
[跟踪训练] 已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件．
【当堂检测】
一．选择题（共4小题）
1．设，则“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．使不等式成立的一个充分不必要条件是
A．B．C．D．
3．“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．不等式成立的一个必要不充分条件是
A．B．，
C．，，D．，，
二．填空题（共2小题）
5．已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为 ．
6．下列说法中是的必要条件的是 ．
①：“”， ：“”；
②设，是实数，：“”， ：“”．
三．解答题（共1小题）
7．已知，．
（1）若，求；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
当堂检测答案
一．选择题（共4小题）
1．设，则“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】由解得范围，结合充分必要条件的定义，即可判断出结论．
【解答】解：，，
推不出，
，
是的必要不充分条件，
即是的必要不充分条件，
故选：．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，属于基础题．
2．使不等式成立的一个充分不必要条件是
A．B．C．D．
【分析】解出不等式，进而可判断出其一个充分不必要条件．
【解答】解：不等式，
，解得，
故不等式的解集为：，
则其一个充分不必要条件可以是，
故选：．
【点评】本题考查了充分、必要条件的判断与应用，属于基础题．
3．“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】根据必要条件和充分条件的定义即可判断．
【解答】解：由“”不能推出“”，由“”能推出“”，
故“”是“”的必要不充分条件，
故选：．
【点评】本题考查了充分条件和必要条件，属于基础题．
4．不等式成立的一个必要不充分条件是
A．B．，
C．，，D．，，
【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：由不等式，解得或，即不等式的解集为，，，
则不等式成立的一个必要不充分条件是，，，
故选：．
【点评】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
二．填空题（共2小题）
5．已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为 ， ．
【分析】根据是的必要不充分条件便得到，解该不等式组即得的取值范围．
【解答】解：，；
是的必要不充分条件；
即由能得到，而得不到；
，解得；
的取值范围是，．
故答案为：，．
【点评】考查解一元二次不等式，以及必要条件，充分条件，必要不充分条件的概念，属于基础题．
6．下列说法中是的必要条件的是 ① ．
①：“”， ：“”；
②设，是实数，：“”， ：“”．
【分析】①：“”，即，由，即可判断出结论；
②由已知可得：与相互推不出，即可判断出结论．
【解答】解：①：“”，即，由，因此是的必要条件；
②设，是实数，：“”， ：“”．可得：与相互推不出，因此不是的必要条件．
故答案为：①．
【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
三．解答题（共1小题）
7．已知，．
（1）若，求；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【分析】（1）分别解出不等式，，利用交集运算性质可得：．
（2）根据是的充分不必要条件，可得是的真子集，进而得出结论．
【解答】解：（1）由题意得，，，（2分）
时，或，（4分）
或．（5分）
（2）或，
是的充分不必要条件
所以是的真子集，（8分）
所以，或，
所以，或．（10分）
【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、方程与不等式的解法、集合运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
推出关系
充分性、必要性
集合关系
（）
充要条件
A=B
充分不必要条件
必要不充分条件
既不必要也不充分条件
1.4.2充要条件
【课程标准】
1.理解充要条件概念．
2.结合具体问题，利用集合等知识，学会判断充要条件.
【知识要点归纳】
充要条件
一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p 就记作 .
此时，我们说，p是q的 ，简称 .显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.
概括地说，如果p⇔q，那么p与q .
2.四种条件
3.总结判断充分必要的条件的方法
（1）定义法
（2）集合法
【经典例题】
例1.下列各题中，p是q的什么条件（“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”）
例2 “x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的( )
A.充要条件 B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
例3 已知ab≠0，求证：a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件．
注意：从充分性、必要性两方面证明．
例3 求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．
[跟踪训练] 已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件．
【当堂检测】
一．选择题（共4小题）
1．设，则“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．使不等式成立的一个充分不必要条件是
A．B．C．D．
3．“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．不等式成立的一个必要不充分条件是
A．B．，
C．，，D．，，
二．填空题（共2小题）
5．已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为 ．
6．下列说法中是的必要条件的是 ．
①：“”， ：“”；
②设，是实数，：“”， ：“”．
三．解答题（共1小题）
7．已知，．
（1）若，求；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
当堂检测答案
一．选择题（共4小题）
1．设，则“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】由解得范围，结合充分必要条件的定义，即可判断出结论．
【解答】解：，，
推不出，
，
是的必要不充分条件，
即是的必要不充分条件，
故选：．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，属于基础题．
2．使不等式成立的一个充分不必要条件是
A．B．C．D．
【分析】解出不等式，进而可判断出其一个充分不必要条件．
【解答】解：不等式，
，解得，
故不等式的解集为：，
则其一个充分不必要条件可以是，
故选：．
【点评】本题考查了充分、必要条件的判断与应用，属于基础题．
3．“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】根据必要条件和充分条件的定义即可判断．
【解答】解：由“”不能推出“”，由“”能推出“”，
故“”是“”的必要不充分条件，
故选：．
【点评】本题考查了充分条件和必要条件，属于基础题．
4．不等式成立的一个必要不充分条件是
A．B．，
C．，，D．，，
【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：由不等式，解得或，即不等式的解集为，，，
则不等式成立的一个必要不充分条件是，，，
故选：．
【点评】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
二．填空题（共2小题）
5．已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为 ， ．
【分析】根据是的必要不充分条件便得到，解该不等式组即得的取值范围．
【解答】解：，；
是的必要不充分条件；
即由能得到，而得不到；
，解得；
的取值范围是，．
故答案为：，．
【点评】考查解一元二次不等式，以及必要条件，充分条件，必要不充分条件的概念，属于基础题．
6．下列说法中是的必要条件的是 ① ．
①：“”， ：“”；
②设，是实数，：“”， ：“”．
【分析】①：“”，即，由，即可判断出结论；
②由已知可得：与相互推不出，即可判断出结论．
【解答】解：①：“”，即，由，因此是的必要条件；
②设，是实数，：“”， ：“”．可得：与相互推不出，因此不是的必要条件．
故答案为：①．
【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
三．解答题（共1小题）
7．已知，．
（1）若，求；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【分析】（1）分别解出不等式，，利用交集运算性质可得：．
（2）根据是的充分不必要条件，可得是的真子集，进而得出结论．
【解答】解：（1）由题意得，，，（2分）
时，或，（4分）
或．（5分）
（2）或，
是的充分不必要条件
所以是的真子集，（8分）
所以，或，
所以，或．（10分）
【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、方程与不等式的解法、集合运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
推出关系
充分性、必要性
集合关系
（）
充要条件
A=B
充分不必要条件
必要不充分条件
既不必要也不充分条件
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