2020-2021学年1.4 充分条件与必要条件导学案

这是一份2020-2021学年1.4 充分条件与必要条件导学案，共9页。学案主要包含了充分条件的判断，必要条件的判断，充分条件与必要条件的应用等内容，欢迎下载使用。

学习目标 1.理解充分条件、必要条件的概念.2.了解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系.3.能通过充分性、必要性解决简单的问题．
知识点 充分条件与必要条件
思考1 若p是q的充分条件，这样的条件p唯一吗？
答案 不唯一．例如“x>1”是“x>0”的充分条件，p可以是“x>2”“x>3”或“2思考2 p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？
答案 相同，都是p⇒q.
思考3 以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？
答案 等价．
1．若条件p：两个三角形相似，q：两个三角形全等，则p是q的________条件．
答案 必要
解析 因为两个三角形全等，所以这两个三角形相似，
即q⇒p，所以p是q的必要条件．
2．已知A⊆B，则“x∈A”是“x∈B”的________条件．
答案 充分
解析 因为A⊆B，所以x∈A⇒x∈B，
所以“x∈A”是“x∈B”的充分条件．
3．p：|x|＝|y|，q：x＝y，则p是q的________条件．
答案 必要
解析 ∵x＝y⇒|x|＝|y|，即q⇒p，
∴p是q的必要条件．
4．p：a＝0，q：ab＝0，则p是q的________条件．
答案 充分
解析 因为当a＝0时，一定有ab＝0成立，
即p⇒q，所以p是q的充分条件．
一、充分条件的判断
例1 指出下列哪些命题中p是q的充分条件？
(1)在△ABC中，p：∠B>∠C，q：AC>AB；
(2)已知x，y∈R，p：x＝1，q：(x－1)·(x－2)＝0；
(3)已知x∈R，p：x>1，q：x>2.
解 (1)在△ABC中，由大角对大边知，∠B>∠C⇒AC>AB，所以p是q的充分条件．
(2)由x＝1⇒(x－1)(x－2)＝0，故p是q的充分条件．
(3)方法一 由x>1⇏x>2，所以p不是q的充分条件．
方法二 设集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x>2}，
所以B⊆A，所以p不是q的充分条件．
反思感悟 充分条件的判断方法
(1)判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p⇒q问题．
(2)除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A⊆B，则p是q的充分条件．
跟踪训练1 “x>2”是“x2>4”的________条件．
答案 充分
解析 x>2⇒x2>4，故x>2是x2>4的充分条件．
二、必要条件的判断
例2 指出下列哪些命题中q是p的必要条件？
(1)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；
(2)p：A⊆B，q：A∩B＝A；
(3)p：a>b，q：ac>bc.
解 (1)因为矩形的对角线相等，所以q是p的必要条件．
(2)因为p⇒q，
所以q是p的必要条件．
(3)因为p⇏q，
所以q不是p的必要条件．
(学生)
反思感悟 必要条件的判断方法
(1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p⇒q为真，则p是q的充分条件，若q⇒p为真，则p是q的必要条件．
(2)也可利用集合的关系判断，如条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若A⊇B，则甲是乙的必要条件．
跟踪训练2 指出下列哪些命题中q是p的必要条件？
(1)p：∠A和∠B是对顶角，q：∠A＝∠B；
(2)p：|x|>2，q：x>2.
解 (1)因为对顶角相等，所以p⇒q，
所以q是p的必要条件．
(2)因为当|x|>2时，x>2或x<－2，所以p⇏q，
所以q不是p的必要条件．
三、充分条件与必要条件的应用
例3 已知p：实数x满足3a解 p：3aq：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．
因为p⇒q，所以A⊆B，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a≥－2，,a≤3，,a<0))⇒－eq \f(2,3)≤a<0，
所以a的取值范围是－eq \f(2,3)≤a<0.
(教师)
延伸探究
将本例中条件p改为“实数x满足a0”，若p是q的必要条件，求实数a的取值范围．
解 p：aq：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．
因为q⇒p，所以B⊆A，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a>3，,a<－2，,a>0))⇒a∈∅.
反思感悟 充分条件与必要条件的应用技巧
(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．
(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．
跟踪训练3 已知P＝{x|a－4答案 －1≤a≤5
解析 因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q⊆P，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－4≤1，,a＋4≥3，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≤5，,a≥－1，))所以－1≤a≤5.
1．若p是q的充分条件，则q是p的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．既不是充分条件也不是必要条件
D．既是充分条件又是必要条件
答案 B
解析 因为p是q的充分条件，所以p⇒q，
所以q是p的必要条件．
2．“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．既是充分条件又是必要条件
D．既不是充分条件也不是必要条件
答案 B
解析 因为正方形的四条边相等，但四条边相等的四边形不一定是正方形，所以“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的必要条件．
3．使x>3成立的一个充分条件是( )
A．x>4 B．x>0
C．x>2 D．x<2
答案 A
解析 只有x>4⇒x>3，其他选项均不可推出x>3.
4．已知命题p：a是末位是0的整数，q：a能被5整除，则p是q的________条件；q是p的________条件．(用“充分”“必要”填空)
答案 充分 必要
解析 因为p⇒q，所以p是q的充分条件，q是p的必要条件．
5．若“x>1”是“x>a”的充分条件，则a的取值范围是________．
答案 a≤1
解析 因为x>1⇒x>a，所以a≤1.
1．知识清单：
(1)充分条件、必要条件的概念．
(2)充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系．
(3)充分条件、必要条件的判断．
(4)充分条件与必要条件的应用．
2．方法归纳：等价转化．
3．常见误区：充分条件、必要条件不唯一；求参数范围能否取到端点值．
1．(多选)使ab>0成立的充分条件是( )
A．a>0，b>0 B．a＋b>0
C．a<0，b<0 D．a>1，b>1
答案 ACD
解析 因为a>0，b>0⇒ab>0；a<0，b<0⇒ab>0；a>1，b>1⇒ab>0，所以选项ACD都是使ab>0成立的充分条件．
2．使x>1成立的一个必要条件是( )
A．x>0 B．x>3
C．x>2 D．x<2
答案 A
解析 只有x>1⇒x>0，其他选项均不可由x>1推出．
3．下列命题中，p是q的充分条件的是( )
A．p：ab≠0，q：a≠0
B．p：a2＋b2≥0，q：a≥0且b≥0
C．p：x2>1，q：x>1
D．p：a>b，q：eq \r(a)>eq \r(b)
答案 A
解析 根据充分条件的概念逐一判断．
只有ab≠0⇒a≠0.
4．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．既不是充分条件也不是必要条件
D．既是充分条件又是必要条件
答案 A
解析 ∵A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，A⊆B，
∴a∈B且a≠1，∴a＝2或3，即a＝3⇒A⊆B，
∴“a＝3”是“A⊆B”的充分条件．
5．(多选)下列命题中，p是q的充分条件的是( )
A．p：a是无理数，q：a2是无理数
B．p：四边形为等腰梯形，q：四边形对角线相等
C．p：x>2，q：x≥1
D．p：a>b，q：ac2>bc2
答案 BC
解析 A中，a＝eq \r(2)是无理数，a2＝2是有理数，所以p不是q的充分条件；
B中，因为等腰梯形的对角线相等，所以p是q的充分条件；
C中，x>2⇒x≥1，所以p是q的充分条件；
D中，当c＝0时ac2＝bc2，所以p不是q的充分条件．
6．“x2＝2x”是“x＝0”的________条件，“x＝0”是“x2＝2x”的________条件(用“充分”“必要”填空)．
答案 必要 充分
解析 由于x＝0⇒x2＝2x，所以“x2＝2x”是“x＝0”的必要条件，“x＝0”是“x2＝2x”的充分条件．
7．下列说法不正确的是________．(只填序号)
①“x>5”是“x>4”的充分条件；
②“xy＝0”是“x＝0且y＝0”的充分条件；
③“－2答案 ②
解析 ②中由xy＝0不能推出x＝0且y＝0，则②不正确；①③正确．
8．条件p：2－x>0，条件q：x答案 {a|a≥2}
解析 p：x<2，若p是q的充分条件，则p⇒q，即p对应集合是q对应集合的子集，故a≥2.
9．指出下列命题中，p是q的什么条件？
(1)p：x2＝2x＋1，q：x＝eq \r(2x＋1)；
(2)p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0；
(3)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.
解 (1)∵x2＝2x＋1⇏x＝eq \r(2x＋1)，x＝eq \r(2x＋1)⇒x2＝2x＋1，∴p是q的必要条件．
(2)∵a2＋b2＝0⇒a＝b＝0⇒a＋b＝0，a＋b＝0⇏a2＋b2＝0，∴p是q的充分条件．
(3)∵(x－1)2＋(y－2)2＝0⇒x＝1且y＝2⇒(x－1)·(y－2)＝0，
而(x－1)(y－2)＝0⇏ (x－1)2＋(y－2)2＝0，∴p是q的充分条件．
10．已知p：－1b恒成立的实数b的取值范围．
解 由于p：－1又由－a依题意，得{x|－1所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－a≤－1，,1＋a≥3，))解得a≥2，
则使a>b恒成立的实数b的取值范围是{b|b<2}．
11．设x，y是两个实数，命题：“x，y中至少有一个数大于1”的充分条件是( )
A．x＋y＝2 B．x＋y>2
C．x2＋y2>2 D．xy>1
答案 B
解析 对于选项A，当x＝1，y＝1时，满足x＋y＝2，但命题不成立；对于选项C，D，当x＝－2，y＝－3时，满足x2＋y2>2，xy>1，但命题不成立，也不符合题意．
12．集合A＝{x|－1A．{b|－2≤b<0} B．{b|0C．{b|－2答案 C
解析 A＝{x|－1因为“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件，
所以－1≤b－1<1或－113．设命题p：k>5，b<5，命题q：一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴，则p是q的________条件；q是p的________条件．(用“充分”“必要”填空)
答案 充分 必要
解析 当k>5，b<5时，函数y＝(k－4)x＋b－5的图象如图所示，
此时一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴，
∴p是q的充分条件，q是p的必要条件．
14．已知p：x<－2或x>10，q：x<1＋a或x>1－a.若p是q的必要条件，则实数a的取值范围为________．
答案 {a|a≤－9}
解析 ∵q：x<1＋a或x>1－a，∴a≤0.
∵p是q的必要条件，∴q⇒p，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋a≤－2，,1－a≥10，,a≤0，))解得a≤－9.
15．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么( )
A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C．丙既是甲的充分条件，又是甲的必要条件
D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
答案 A
解析 因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．
又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙⇏丙，
如图．
综上，有丙⇒甲，但甲⇏丙，
即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．
16．(1)是否存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件？
(2)是否存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件？
解 (1)欲使2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件，
则只要eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<－\f(m,2)))))⊆{x|x<－1或x>3}，
即只需－eq \f(m,2)≤－1，所以m≥2.
故存在实数m≥2，使2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件．
(2)欲使2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件，则只要{x|x<－1或x>3}⊆eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<－\f(m,2)))))，
这是不可能的．
故不存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件．“若p，则q”为真命题
“若p，则q”为假命题
推出关系
p⇒q
p⇏q
条件关系
p是q的充分条件
q是p的必要条件
p不是q的充分条件
q不是p的必要条件
定理关系
判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件
性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件