高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.4 充分条件与必要条件第4课时同步练习题

充分条件与必要条件

学习目标：

1.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义；

2.结合具体命题，学会判断充分条件、必要条件、充要条件的方法；

3.培养学生的辩证思维能力.

知识要点：

1. 命题与推出符号

一般地，命题“若则”为真，记作“___”（或“___”）,读作“推出”；

“若则”为假，记作“___”（或“___”），读作“推不出”

2.充分条件与必要条件

（1）一般地，如果，那么称：的________条件, 的________条件。

（2）①如果且，那么称是的__________条件,简称______条件，记作_____

②如果且,那么称是的_________________________条件；

③如果且,那么称是的_________________________条件；

④如果且,那么称是的________________________条件.

3.集合的包含关系与条件关系

如果条件对应的集合为，条件对应的集合为，则

（1）若是的充分不必要条件，则；

（2）若是的必要不充分条件，则；

（3）若是的充分必要条件，则；

（4）若是的既不充分又不必要条件，则；

典型例题：

题组一　利用定义判断条件关系

例1. （1）“”是“”的__________条件；

（2）“”是“”的________条件；

（3）已知、，则“”是“”的_______条件；

（4）设、，若；.则是的______条件；

（5）若、、是常数，则“且”是“对任意，有”的________条件.

变式：“”的____________________条件是“”；

题组二　利用等价性判定条件关系

例2. “”是“不都为”的________条件.

变式：若或，，则是的___________条件.

题组三　利用集合关系判断条件关系

例3. （1）设，为两个不相等的集合，条件：，条件：，则是的______．

（2）下列不等式：①；②；③；④；⑤.其中可以作

变式： “且”， “且”.则是的______条件.

题组四　条件关系的应用

例4. 设，，，是的必要条件，但不是的充分条件，求实数的取值范围.

变式：已知全集为，集合，.

（1）求；

（2）若，且“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围.

题组五　充要条件的探究

例5.求至少有一个负实根的充要条件．

变式：已知，求证：的充要条件是.

当堂检测：

1.是成立的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2. 生活中，我们还常用“水滴石穿”、“有志者，事竟成”、“坚持就是胜利”等熟语来勉励自己和他人保持信心、坚持不懈地努力.在这些熟语里，“石穿”、“事成”、“胜利”分别是“水滴”、“有志”、“坚持”的______条件，这正是我们努力的信心之源，激励着我们直面一切困难与挑战，不断取得进步。（填“充分不必要、必要不充分、充要或者既不充分也不必要”）

3.在下列命题中，试判断是的什么条件.

（1），，则是______条件；

（2），，则是______条件；

（3）四边形的对角线相等，四边形是平行四边形. 则是______条件；

4.已知p：，q：{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}．

（1）若，则p是q的什么条件？

（2）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

参考答案：

知识要点：

1. 命题与推出符号

（或）,___（或“”），

2.充分条件与必要条件

（1）充分，必要

（2）①充分必要，充要，；②充分不必要；③必要不充分；④既不充分又不必要.

3.集合的包含关系与条件关系

（1）；（2）；（3）；（4）；

典型例题：

例1.（1），所以，“”是“”的必要非充分条件；

（2）解不等式，即，解得或，

或，所以，“”是“”的充分非必要条件；

（3）充分性：，取，，则，充分性不成立；

必要性：若，可取，，则，必要性不成立.

所以，“”是“”的既不充分也不必要条件；

（4）若，则，所以，.

若，则、中至少有一个为零，若，，则，则.所以，是的充分非必要条件；

（5）充分性：若、、是常数，且，则对任意，有，

充分性成立；

必要性：若、、是常数，对任意，有，

则“且”或“且”，必要性不成立.

所以，“且”是“对任意，有”的充分非必要条件.

变式：充分不必要

例2.充分非必要 解：考虑与的关系，

容易知道：“”是“”的必要不充分条件，

故“”是“，不都为”的充分不必要条件.

故答案为：充分非必要．

变式：必要不充分，分析同例2.

例3. （1）必要不充分条件 当，且，满足，即充分性不成立，若，则成立，即必要性成立，故是必要不充分条件

故答案为：必要不充分条件．

（2）②③ 由，解得，

对①，是必要不充分条件，对②，是充分不必要条件，

对③，是充分不必要条件，对④，是充要条件，

对⑤，是必要不充分条件，

故选：②③.

变式：充分不必要 “且”在坐标平面上对应的集合为，“且”在坐标平面上对应的集合为，如图，是的真子集，故填充分不必要.

例4.由题意可知，是的必要不充分条件，所以，，

所以，解之得.因此，实数的取值范围是.

变式：（1），又

，

（2）因为“”是“”的必要不充分条件，所以，因为

所以解得，即

例5.（1）时方程为一元一次方程，其根为，符合题目要求.

（2）当时，方程为一元二次方程，它有实根的充要条件是判断式，即，从而，

又设方程的两根为，则由韦达定理得

①方程有一个负实根的充要条件是，得，

②方程有两个负根的充要条件是，即,

综上，至少有一个负实根的充要条件是：.

变式：因为，所以.

所以

.所以必要性成立.

（2）证明充分性：

因为，即，又，

所以且.因为，

所以，即.

所以充分性成立.

综上可得当时，的充要条件是.

当堂检测：

1.A 充分性显然成立，必要性可以举反例：，，显然必要性不成立.

故选：A

2.必要不充分 由“石穿”、“事成”、“胜利”不能推出“水滴”、“有志”、“坚持”,如“石穿”可能推出“化学腐蚀”；

由“水滴”、“有志”、“坚持”能推出“石穿”、“事成”、“胜利”

如“水滴”可以推出“石穿”；

综上所述, “石穿”、“事成”、“胜利”是“水滴”、“有志”、“坚持”必要不充分条件.

3.（1）因为“”是真命题，“”也是真命题，

所以是的充要条件；

（2）因为“ ”是真命题，“”是假命题，

所以是的充分不必要条件；

（3）因为“四边形的对角线相等四边形是平行四边形”是假命题，

“四边形是平行四边形四边形的对角线相等”也是假命题，

所以是的既不充分也不必要条件.

4.（1）因为，

当，，

因为，所是的必要不充分条件．

（2）由（1），知

因为是的充分不必要条件，所以 ，解得.