人教A版 (2019)必修 第一册1.4 充分条件与必要条件导学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册1.4 充分条件与必要条件导学案，共5页。


授课提示：对应学生用书第13页
[教材提炼]
知识点 充要条件
eq \a\vs4\al(预习教材，思考问题)
若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；原命题与逆命题的真假如何？
知识梳理 充要条件
如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.
此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件(sufficient and necessary cnditin)．显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．
概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．
[自主检测]
1．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：A
2．“ab＝0”是“a＝0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：B
3．p：ab＝0，q：a2＋b2＝0.则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：B
4．p：|a|＋|b|＝0，q：a2＋b2＝0.则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：C
授课提示：对应学生用书第13页
探究一 充要条件的判断
[例1] 已知实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，在下列各结论中正确的为( )
①Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实根的充分条件；
②Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实根的必要条件；
③Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实根的充要条件；
④Δ＝b2－4ac＝0是这个方程有实根的充分条件．
A．③ B．①②
C．①②③ D．①②③④
[解析] 首先我们应搞清楚Δ＝b2－4ac≥0是实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根的充要条件．利用该结论可知：上述①②③是正确的．同时当Δ＝b2－4ac＝0时，方程有两相等的实根，故④也是正确的．
[答案] D
当p是q的充要条件正确时，p是q的充分条件及p是q的必要条件将都是正确的，故上述结论③正确时，结论①②也正确．应该指出的是：p是q的充分条件包含了两种可能：p是q的充分不必要条件与p是q的充要条件；同样，p是q的必要条件也包含了两种可能：p是q的必要不充分条件与p是q的充要条件．其实结论④可进一步明确成：Δ＝b2－4ac＝0是这个方程有实根的充分不必要条件．
给出下列各组条件：
(1)p：ab＝0，q：a2＋b2＝0；
(2)p：xy≥0，q：|x|＋|y|＝|x＋y|；
(3)p：m＞0，q：方程x2－x－m＝0有实根；
(4)p：|x－1|＞2，q：x＜－1.
其中p是q的充要条件的有( )
A．1组 B．2组
C．3组 D．4组
解析：对(1)，ab＝0指其中至少有一个为零，而a2＋b2＝0指两个都为零，因此q⇒p，但p⇒q，p是q的必要不充分条件；对(2)，|x＋y|＝|x|＋|y|⇔(|x＋y|)2＝(|x|＋|y|)2⇔x2＋2xy＋y2＝x2＋2|xy|＋y2⇔xy＝|xy|⇔xy≥0，所以p是q的充要条件；对(3)，方程x2－x－m＝0有实根的充要条件是Δ＝1＋4m＞0，m＞－eq \f(1,4)，所以p⇒q但q⇒p，p是q的充分不必要条件；对(4)，|x－1|＞2⇒x＞3或x＜－1，所以p⇒q但q⇒p，所以p是q的必要不充分条件．综上可知选A.
答案：A
探究二 证明充要条件
[例2] [教材P22例4拓展]
已知⊙O的半径为r，圆心O到点P的距离为d.
求证d＝r是点P在⊙O上的充要条件．
[证明] (充分性)根据圆的定义，
当d＞r，P在圆外．
d＜r时，P在圆内．
故当d＝r时，点P在圆上
必要性：若P在⊙O上，则满足P到⊙O的距离d＝r.
证明充要条件，即证明条件的充分性和必要性．证明充要性时一定要注意分类讨论，要搞清它的叙述格式，避免在论证时将充分性错当必要性证，而又将必要性错当充分性证．
求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
证明：必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，
∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0，
a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
充分性：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b.
代入方程ax2＋bx＋c＝0中可得ax2＋bx－a－b＝0.
即(x－1)(ax＋a＋b)＝0.
故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.
探究三 利用充要条件求参数
[例3] 求方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实数根的充要条件．
[解析] 当a＝0时，方程为2x＋1＝0，∴x＝－eq \f(1,2)为一负根．
当a＜0时，∵Δ＝4－4a＞0，且x1x2＝eq \f(1,a)＜0，x1＋x2＝－eq \f(3,a)＞0，为一正根、一负根．
当a＞0时，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＝4－4a≥0，,x1＋x2＝－\f(a,2)＜0，,x1x2＝\f(1,a)＞0，))得0＜a≤1.
综上：a≤1.
充要条件是一种等价转化，解决问题的关键就是找清原问题的充要条件．
函数y＝x2－2x－a的图象与x轴无交点的充要条件是________．
解析：Δ＝4＋4a＜0，
∴a＜－1.
答案：a＜－1
授课提示：对应学生用书第14页
一、识得庐山真面目——转化与化归思想的应用eq \x(►逻辑推理)
数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识转化，命题之间的转化，数与形的转化，转化的唯一原则就是“等价”，而“等价”就是“寻找充要条件”的关系．
[典例] 设A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－1＜x＜m＋1，x∈R}，若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，则实数m的取值范围是________．
[解析] 因为A＝{x|－1＜x＜3}，x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，所以AB，所以m＋1＞3，即m＞2.
[答案] m＞2
二、转化不等价致错eq \x(►逻辑推理)
[典例] 设集合A＝{x|2≤x≤6}，B＝{x|2m≤x≤m＋3}，若B⊆A，则实数m的取值范围是________．
[解析] ①当B≠∅时，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2m≤m＋3，,2m≥2，,m＋3≤6，))
解得1≤m≤3；
②当B＝∅时，2m＞m＋3，解得m＞3.
综合①②，得m≥1，故实数m的取值范围是{m|m≥1}．
[答案] {m|m≥1}
纠错心得 此题求解时只求了一种情况，当B≠∅时，1≤m≤3，而实际与B⊆A等价的有B≠∅与B＝∅两种情况.
内 容 标 准
学 科 素 养
1.理解充要条件的含义．
数学抽象
逻辑推理
2.会证明充要条件的关系.