人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.4 充分条件与必要条件导学案

1.4.2  充要条件

【学习目标】

【自主学习】

一．如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有       ，又有        ，就记作         ，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为        条件.

二．如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为        条件.

思考：“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？

三．“⇔”的传递性

若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件．

【小试牛刀】

思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)

(1)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．(　　)

(2)符号“⇔”具有传递性．(　　)

(3)若pq和qp有一个成立，则p一定不是q的充要条件．(　　)

(4)数学中的每一个定义都是一个充要条件．(　　)

【经典例题】

题型一  充要条件的判断

点拨：判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法

(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假.

(2)集合法：即利用集合的包含关系判断.

(3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性.

例1 下列各组命题中，哪些p是q的充要条件？

（1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分；

（2）p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例；

（3）p：xy>0，q：x>0，y>0；

（4）p：x=1是一元二次方程ax²+bx+c=0的一个根，q：a+b+c=0(a≠0).

【跟踪训练】1  “x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的(　　)

A.充要条件    B.充分而不必要条件

C.必要而不充分条件   D.既不充分也不必要条件

题型二  充要条件的证明

点拨：充要条件证明的两个思路

(1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性.

(2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件.

例2 已知：圆 O 的半径为r ，圆心O到是直线l的距离为d，求证：d=r是直线l与圆O相切的充要条件。

【跟踪训练】2  求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.

题型三 充要条件的应用

点拨：应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤

(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系.

(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解.

例3　已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.

【跟踪训练】3 已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件．

【当堂达标】

1 .已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的(　　)

A.充分不必要条件   B.必要不充分条件

C.充要条件         D.既不充分也不必要条件

2.已知A，B是非空集合，命题p：A∪B＝B，命题q：AB，则p是q的(　　)

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．既不充分也不必要条件 D．必要不充分条件

3.“x2＋(y－2)2＝0”是“x(y－2)＝0”的(　　)

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4.设x∈R，则“x<－1”是“|x|>1”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5.关于x的不等式|x|>a的解集为R的充要条件是________．

6. 求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.

【课堂小结】

1.概念充要条件概念的理解.

2.充要条件的证明.

3.充要条件的应用.

【参考答案】

【自主学习】

p⇒q  q⇒p  p⇔q  充要  充要

思考：(1)p是q的充要条件说明p是条件，q是结论.

(2)p的充要条件是q说明q是条件，p是结论.

【小试牛刀】

(1)√　(2)√　(3)√　(4)√

【经典例题】

 例1 解（1）因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形，所以pq，所以p不是q的充要条件。

（2）因为“若p，则q”是三角形的性质定理，“若q，则p”是相似三角形的判定定理，它们均为真命题，既p ⇔ q，所以p是q的充要条件。

（3）因为x>0时，x>0,y>0不一定成立（为什么），所以pq,所以p不是q的充要条件。

（4）因为“若p，则q”与“若q，则p”均为真命题，p⇔q，所以p是q的充要条件。

 【跟踪训练】1  A 解析　解x2－2x＋1＝0得x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件.

例2 证明：设p:d=r，q:直线l与圆O相切.

（1）充分性(p ⇒ q):如图，作OP⊥l于点P，则OP=d.

若d=r，则点P在圆O上.在直线l上任取一点Q(异于点P)，

连接OQ.在Rt△OPQ中，OQ＞OP=r.所以，除点P外直线

l上的点都在圆 O 的外部，即直线l与圆O 仅有一个公共点P.所以直线l与圆 O 相切.

（2）必要性(q⇒ p):若直线l与圆 O相切，不妨设切点为P，则OP⊥l.因此，d=OP=r.

由(1)(2)可得，d=r是直线l与圆 O 相切的充要条件.

 【跟踪训练】2  证明　必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，

所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根.

综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.

例3 解：∵p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，

记

由p是q的必要不充分条件可得BA

解得：m≤3，又m＞0

所以实数m的取值范围为

【跟踪训练】3  解　方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，则方程有两个大于1的实数根x1，x2：

⇔⇔

⇔⇔k<－2.

所以使方程有两个大于1的实根的充要条件是k<－2.

【当堂达标】

1. A 解析：a＝3时，A＝{1，3}，A⊆B，当A⊆B时，a＝2或3.

2.D 解析：由A∪B＝B，得AB或A＝B；反之，由AB，得A∪B＝B，所以p是q的必要不充分条件．

3.B 解析：x2＋(y－2)2＝0，即x＝0且y＝2，∴x(y－2)＝0.反之，x(y－2)＝0，即x＝0或y＝2，x2＋(y－2)2＝0不一定成立．

4. A 解析：因为x<－1⇒|x|>1，而|x|>1⇒x<－1或x>1，故“x<－1”是“|x|>1”的充分不必要条件．

5．a<0 解析：由题意知|x|>a恒成立，∵|x|≥0，∴a<0.

6.证明　①充分性：如果b＝0，那么y＝kx，

当x＝0时，y＝0，函数图象过原点.

②必要性：因为y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点，

所以当x＝0时，y＝0，得0＝k·0＋b，所以b＝0.

综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.