2022-2023学年人教B版2019必修一第二章 等式与不等式 单元测试卷(word版含答案)

第二章 等式与不等式 单元测试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题(共40分)

1、(4分)不等式对任意a，恒成立，则实数x的取值范围是(   )

A. B. C. D.

2、(4分)若正数a，b满足，则的最小值为(   )

A. B. C. D.

3、(4分)若，则当取得最大值时，x的值为(   )

A. B. C. D.

4、(4分)已知不等式的解集为，则不等式的解集为(   )

A. B.或 C. D.或

5、(4分)不等式的解集是(   )

A. B. C.或 D.或

6、(4分)若不等式的解集为,则不等式的解集为(   ).

A. B. C. D.

7、(4分)某工厂近期要生产一批化工试剂,经市场调查得知,生产这批试剂的成本分为以下三个部分:

①生产1单位试剂需要原料费50元;②支付所有职工的工资总额由7 500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成:③后续保养的费用是每单位元(试剂的总产量为x单位,).则要使生产每单位试剂的成本最低,试剂总产量应为(   )

A.60单位 B.70单位 C.80单位 D.90单位

8、(4分)若某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运,据市场分析每辆客车营运的总利润y(单位:10万元)与营运年数为二次函数关系(如图所示),则每辆客车营运(   )年时,其营运的年平均利润最大.

A.3 B.4 C.5 D.6

9、(4分)已知关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有5个整数,则实数a的取值范围是(   )

A.(0,5) B.[0,5) C.[0,5] D.(0,5]

10、(4分)某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用新工艺把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为，为使每吨的平均处理成本最低，该单位每月处理量应为(   )

A.200吨 B.300吨 C.400吨 D.600吨

二、填空题(共25分)

11、(5分)已知a，b均为正数，且，则ab的最大值为________，的最小值为__________.

12、(5分)对于实数x，当时，规定，若，则________，不等式的解集为_______.

13、(5分)若某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系为,则当每台机器运转_________年时,年平均利润最大.

14、(5分)已知二次函数(a,b,c均为正数)的图象过点(1,1),最小值为0,若实数λ满足,则实数λ的取值范围为_______.

15、(5分)若正数满足，则的取值范围是______．

三、解答题(共35分)

16、(8分)已知，满足.

（1）求证：；

（2）现推广：把的分子改为另一个大于1的正整数p，使对任意恒成立，试写出一个p，并证明之.

17、(9分)某工厂某种产品的月固定成本为10万元，每生产x件，需另投入成本为C，当月产量不足30件时，（万元）.当月产量不小于30件时，（万元）.每件商品售价为5万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.因设备问题，该厂月生产量不超过50件.

（1）写出月利润L（万元）关于月产量x（件）的表达式；

（2）当月产量为多少件时，该厂在这一商品的生产中所获月利润最大？

18、(9分)已知正数a，b满足.

（1）若，，求的值；

（2）求的最大值.

19、(9分)已知函数的最小值为m.

(1)求m；

(2)若正实数a，b，c满足，求的最小值.

参考答案

1、答案：C

解析：，当且仅当，即时取等号，不等式对任意a，恒成立，，，实数x的取值范围是.故选：C.

2、答案：D

解析：本题考查基本不等式.因为，，且，所以，，当且仅当，即，时等号成立，故的最小值为.

3、答案：D

解析：本题考查基本不等式的应用.，，当且仅当，即时，取得“=”.

4、答案：B

解析：本题考查一元二次不等式的解集.由已知可得-3，2是方程的两根.由根与系数的关系可知，，所以，，代入不等式，得，解得或.

5、答案：D

解析：本题考查一元二次不等式的解法.不等式化简为，解得或，即不等式的解集是或.

6、答案：A

解析：因为不等式的解集为,所以,且故,代入不等式得到,即,解得.

7、答案：D

解析：设每生产1单位试剂的成本为y,因为试剂总产量为x单位,则由题意可知,原料总费用为元,职工的工资总额为元,后续保养总费用为元,则，当且仅当,即时取等号,满足,所以要使生产每单位试剂的成本最低,试剂总产量应为90单位.故选D.

8、答案：C

解析：根据题意得到,抛物线的顶点为(6,11),过点(4,7),图象开口向下,设二次函数的解析式为,所以,解得,即,因为,所以,当且仅当,即时取等号.故选C.

9、答案：D

解析：原不等式变形为,故当时,原不等式才有解,且解为,要使其中只有5个整数,则,即,解得.故选D.

10、答案：C

解析：由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为，当且仅当，即时，等号成立，故该单位每月处理量为400吨时，可使每吨的平均处理成本最低.

11、答案：2，

解析：由题意，得，当且仅当，即，时等号成立，所以，所以ab的最大值为2，，当，时取等号.

12、答案：20，

解析：本题考查新定义及一元二次不等式的解集.由，得，则不等式化为，解得，即不等式的解集为.

13、答案：5

解析：每台机器运转x年的年平均利润为,且,由基本不等式得,当且仅当,即时等号成立,故,当且仅当时等号成立,此时年平均利润最大.

14、答案：

解析：，且，，则，，，，即，，，，当且仅当，即时,等号成立.又∵当时,.

15、答案：

解析：因为，

由均值不等式得：，

令，则．

化简得

解得或（舍去），

所以的取值范围为.

故答案为：.

16、答案： (1)见解析(2) 见解析

解析：(1) 证明 : 由 ，得 ，,
要证 ，
只要证 ，
左边

当且仅当 ，即 时等号成立；

(2)要使,
只至至,

左边

则 ， 可取 或 3
取 ，问题转化为.
证明如下 : 要证 ，
只需证明 ，
左边

当且仅当 ，即 时等号成立.

17、答案：（1）见解析

（2）当月产量为30件时，月获利润最大.

解析：（1）因为每件商品售价为5万元，所以x件商品销售额为5x万元，
依题意得，
当时，；
当时，.
（2）当时，，
对称轴为.
即当时，（万元）；
当时，，
当且仅当时，（万元）.

综上所述，当月产量为30件时，月获利润最大.

18、答案：（1）3

（2）见解析

解析：（1）由，可得，则.

（2）由（1）得，，
则

，
当且仅当中，即时，等号成立.

19、答案：(1).

(2)最小值为.

解析：(1)因为

可知在上单调递减，在上单调递增，

所以当时，有最小值，最小值为4，

即.

(2)由(1)知，可得.

又a，b，c为正实数，

所以

，

当且仅当时，等号成立，

所以的最小值为.