人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质学案，共13页。


1．了解正弦函数、余弦函数的图象．
2．会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象．
3．能利用正弦函数、余弦函数的图象解决简单问题．
1．正弦曲线
正弦函数y＝sinx，x∈R的图象叫正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线．
2．正弦函数图象的画法
(1)几何法
①利用正弦线画出y＝sinx，x∈[0,2π]的图象；
②将图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)．
(2)五点法
①画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点(0,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)，用光滑的曲线连接；
②将所得图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)．
3．余弦曲线
余弦函数y＝csx，x∈R的图象叫余弦曲线．它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线．
4．余弦函数图象的画法
(1)要得到y＝csx的图象，只需把y＝sinx的图象向左平移eq \f(π,2)个单位长度即可，这是由于csx＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2))).
(2)用“五点法”：画余弦曲线y＝csx在[0,2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)，再用光滑的曲线连接．
温馨提示：(1)“五点法”作图中的“五点”是指函数的最高点、最低点以及图象与坐标轴的交点，这是作正弦函数、余弦函数图象最常用的方法．
(2)“五点法”画正弦函数、余弦函数的图象时要注意图象的对称性和凸凹方向．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝csx的图象与y轴只有一个交点．( )
(2)将正弦曲线向右平移eq \f(π,2)个单位就得到余弦曲线．( )
(3)函数y＝sinx，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(5π,2)))的图象与函数y＝csx，x∈[0,2π]的图象的形状完全一致．( )
(4)函数y＝sinx，x∈[2kπ，2(k＋1)π]k∈Z，且k≠0的图象与y＝sinx，x∈[0,2π]的图象形状完全一致．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√
题型一 用“五点法”作简图
【典例1】 用“五点法”作出下列函数的简图．
(1)y＝sinx－1，x∈[0,2π]；
(2)y＝2＋csx，x∈[0,2π]．
[思路导引] 利用“五点法”作函数简图时，应先列表，再描点，再连线．
[解] (1)列表：
描点连线，如图所示．
(2)列表：
描点连线，如图所示．
用“五点法”画函数y＝Asinx＋b(A≠0)在[0,2π]上的简图的步骤
(1)列表
(2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，y2))，(π，y3)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，y4))，(2π，y5)．
(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来．
[针对训练]
1．利用“五点法”作出下列函数的简图：
(1)y＝1＋2sinx，x∈[0,2π]；
(2)y＝1－csx，x∈[0,2π]．
[解] (1)列表：
在直角坐标系中描出五点(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，3))，(π，1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)， －1))，(2π，1)，然后用光滑曲线顺次连接起来，就得到y＝1＋2sinx，x∈[0,2π]的图象．如图．
(2)列表：
在直角坐标系中，描出五点(0,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))，(π，2)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，1))，(2π，0)，然后并用光滑的曲线连接起来，就得到y＝1－csx，x∈[0,2π]的图象．如图．
题型二 正、余弦函数图象的简单应用
【典例2】 利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x的集合．
(1)sinx≥eq \f(1,2)；(2)csx≤eq \f(1,2).
[思路导引] 先在[0,2π]上找到使等式成立的关键点，再依据图象或三角函数线找到不等式的解．
[解] (1)作出正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x的集合为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋2kπ，\f(5π,6)＋2kπ))，k∈Z.
(2)作出余弦函数y＝csx，x∈[0,2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x的集合为
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋2kπ，\f(5π,3)＋2kπ))，k∈Z.
用三角函数图象解三角不等式的步骤
(1)作出相应的正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象(也可以是[－π，π]上的图象)；
(2)在[0,2π]上或([－π，π]上)写出适合三角不等式的解集；
(3)根据公式一写出定义域内的解集．
[针对训练]
2．求下列函数的定义域．
(1)y＝lg(－csx)；(2)y＝eq \r(2sinx－\r(2)).
[解] (1)为使函数有意义，则需要满足－csx>0，即csx<0.
由余弦函数图象可知满足条件的x为eq \f(π,2)＋2kπeq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2kπ(2)为使函数有意义，则需要满足2sinx－eq \r(2)≥0，即sinx≥eq \f(\r(2),2).由正弦函数图象可知满足条件的x为eq \f(π,4)＋2kπ≤x≤eq \f(3π,4)＋2kπ，k∈Z.
所以原函数定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋2kπ≤x≤\f(3π,4)＋2kπ，k∈Z)))).
课堂归纳小结
1．本节课要牢记正、余弦函数图象中“五点”的确定
y＝sinx，x∈[0,2π]与y＝csx，x∈[0,2π]的图象上的关键五点分为两类：(1)图象与x轴的交点；(2)图象上的最高点和最低点．
2．用“五点法”在[0,2π]内做出正、余弦函数的简图，再通过平移即可得到正、余弦曲线.
1．用“五点法”画y＝sinx，x∈[0,2π]的图象时，下列哪个点不是关键点( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(1,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))
C．(π，0) D．(2π，0)
[解析] 五个关键点为(0,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)，故选A.
[答案] A
2．对于余弦函数y＝csx的图象，有以下三项描述：
①向左向右无限延伸；
②与x轴有无数多个交点；
③与y＝sinx的图象形状一样，只是位置不同．
其中正确的有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[解析] 如图所示为y＝csx的图象．
可知三项描述均正确．
[答案] D
3．函数y＝1－sinx，x∈[0,2π]的大致图象是( )
[解析] 列表
描点与选项比较，可知选B.
[答案] B
4．在[0,2π]内，不等式sinx<－eq \f(\r(3),2)的解集是( )
A．(0，π) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(4π,3)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π,3)，\f(5π,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)，2π))
[解析] 画出y＝sinx，x∈[0,2π]的图象如下：
因为sineq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),2)，所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,3)))＝－eq \f(\r(3),2)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π－\f(π,3)))＝－eq \f(\r(3),2).
即在[0,2π]内，满足sinx＝－eq \f(\r(3),2)的是x＝eq \f(4π,3)或x＝eq \f(5π,3).
由图可知不等式sinx<－eq \f(\r(3),2)的解集是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π,3)，\f(5π,3))).
[答案] C
5．画出函数y＝1＋sinx，x∈[0,2π]的图象，并利用图象判断与直线y＝eq \f(3,2)的交点个数．
[解] 在同一坐标系内画出y＝1＋sinx和y＝eq \f(3,2)的图象(如图所示)，观察可得交点的个数为2.
课后作业(四十三)
复习巩固
一、选择题
1．用“五点法”作y＝2sin2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是( )
A．0，eq \f(π,2)，π，eq \f(3,2)π，2π B．0，eq \f(π,4)，eq \f(π,2)，eq \f(3,4)π，π
C．0，π，2π，3π，4π D．0，eq \f(π,6)，eq \f(π,3)，eq \f(π,2)，eq \f(2π,3)
[解析] 由五点作图法，令2x＝0，eq \f(π,2)，π，eq \f(3,2)π，2π，解得x＝0，eq \f(π,4)，eq \f(π,2)，eq \f(3,4)π，π.
[答案] B
2．函数y＝－csx(x>0)的图象中与y轴最近的最高点的坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1)) B．(π，1)
C．(0,1) D．(2π，1)
[解析] 用五点作图法作出函数y＝－csx(x>0)的图象如图所示，由图易知与y轴最近的最高点的坐标为(π，1)．
[答案] B
3．函数y＝－sinx，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(3π,2)))的简图是( )
[解析] 将x＝－eq \f(π,2)代入y＝－sinx中，
得y＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)))＝sineq \f(π,2)＝1.
故排除A、B、C，故选D.
[答案] D
4．使不等式eq \r(2)－2sinx≥0成立的x的取值集合是( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,4)≤x≤2kπ＋\f(3π,4)，k∈Z))))
B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,4)≤x≤2kπ＋\f(7π,4)，k∈Z))))
C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(5π,4)≤x≤2kπ＋\f(π,4)，k∈Z))))
D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(5π,4)≤x≤2kπ＋\f(7π,4)，k∈Z))))
[解析] ∵eq \r(2)－2sinx≥0，∴sinx≤eq \f(\r(2),2)，作出y＝sinx在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3π,2)，\f(π,2)))内的图象，如图所示，则满足条件的x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(5π,4)，\f(π,4))).∴使不等式成立的x的取值范围为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(5π,4)≤x≤2kπ＋\f(π,4)，k∈Z)))).
[答案] C
5．方程x＋sinx＝0的根有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．无数个
[解析] 设f(x)＝－x，g(x)＝sinx，在同一直角坐标系中画出f(x)和g(x)的图象，如图所示．由图知f(x)和g(x)的图象仅有一个交点，则方程x＋sinx＝0仅有一个根．
[答案] B
二、填空题
6．已知函数f(x)＝3＋2csx的图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，b))，则b＝________.
[解析] 由题意知，b＝3＋2cseq \f(π,3)＝3＋2×eq \f(1,2)＝4.
[答案] 4
7．不等式csx<0，x∈[0,2π]的解集为________．
[解析] 由y＝csx，x∈[0,2π]的图象知csx<0的解为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(π,2)[答案] eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(π,2)8．函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象与直线y＝－eq \f(1,2)的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝________.
[解析] 解法一：y＝sinx，x∈[0,2π]的图象与直线y＝－eq \f(1,2)的交点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,6)，－\f(1,2)))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11π,6)，－\f(1,2)))，故x1＋x2＝eq \f(7π,6)＋eq \f(11π,6)＝eq \f(18π,6)＝3π.
解法二：∵A、B两点关于x＝eq \f(3π,2)对称，∴x1＋x2＝2×eq \f(3π,2)＝3π.
[答案] 3π
三、解答题
9．用“五点法”作出函数y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(11π,6)))的图象．
[解] 找出五个关键点，列表如下：
描点并将它们用光滑的曲线连接起来．
10．求函数y＝ eq \r(sinx－\f(1,2))＋eq \r(csx)的定义域．
[解] 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sinx－\f(1,2)≥0，,csx≥0，))
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sinx≥\f(1,2)，,2kπ－\f(π,2)≤x≤2kπ＋\f(π,2)，k∈Z.))
所以2kπ＋eq \f(π,6)≤x≤2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，即函数y＝eq \r(sinx－\f(1,2))＋eq \r(csx)的定义域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,6)，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)．
综合运用
11．函数y＝csx＋|csx|，x∈[0,2π]的大致图象为( )
[解析] y＝csx＋|csx|
＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2csx，x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))∪\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，,0，x∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，))故选D.
[答案] D
12．方程|x|＝csx在(－∞，＋∞)内( )
A．没有根 B．有且仅有一个根
C．有且仅有两个根 D．有无穷多个根
[解析] 求解方程|x|＝csx在(－∞，＋∞)内根的个数问题，可转化为求解函数f(x)＝|x|和g(x)＝csx在(－∞，＋∞)内的交点个数问题．
f(x)＝|x|和g(x)＝csx的图象显然有两交点，即原方程有且仅有两个根．故选C.
[答案] C
13．函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sinx，x≥0，,x＋2，x<0，))则不等式f(x)>eq \f(1,2)的解集是________．
[解析] 在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)和y＝eq \f(1,2)的图象，由图易得－eq \f(3,2)[答案] eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)14．关于三角函数的图象，有下列命题：
①y＝sin|x|与y＝sinx的图象关于y轴对称；
②y＝cs(－x)与y＝cs|x|的图象相同；
③y＝|sinx|与y＝sin(－x)的图象关于x轴对称；
④y＝csx与y＝cs(－x)的图象关于y轴对称．
其中正确命题的序号是________．
[解析] 对②，y＝cs(－x)＝csx，y＝cs|x|＝csx，故其图象相同；对④，y＝cs(－x)＝csx，故其图象关于y轴对称，由作图可知①③均不正确．
[答案] ②④
15．若函数y＝2csx(0≤x≤2π)的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，求这个封闭图形的面积．
[解] 观察图可知，图形S1与S2，S3与S4都是两个对称图形；有S1＝S2，S3＝S4，因此函数y＝2csx的图象与直线y＝2所围成的图形面积，可以等价转化为求矩形OABC的面积，因为|OA|＝2，|OC|＝2π，
所以S矩形OABC＝2×2π＝4π.
所以所求封闭图形的面积为4π.
x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
sinx
0
1
0
－1
0
sinx－1
－1
0
－1
－2
－1
x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
csx
1
0
－1
0
1
2＋csx
3
2
1
2
3
x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
sinx
0
1
0
－1
0
y
y1
y2
y3
y4
y5
x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
sinx
0
1
0
－1
0
1＋2sinx
1
3
1
－1
1
x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
csx
1
0
－1
0
1
1－csx
0
1
2
1
0
x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
sinx
0
1
0
－1
0
1－sinx
1
0
1
2
1
u＝x＋eq \f(π,6)
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
x
－eq \f(π,6)
eq \f(π,3)
eq \f(5π,6)
eq \f(4π,3)
eq \f(11π,6)
y＝csu
1
0
－1
0
1