3.1.3 函数的奇偶性（第1课时）

【教学目标】

1.知识与技能：

理解函数的奇偶性及其几何意义；学会运用函数图象理解和研究函数的生质；学会判断函数的奇偶性；

2.过程与方法：

通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，参透数形结合的数学思想.

3.情态与价值：

通过函数的奇偶性教学，培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力.

【核心素养】

1.数学抽象：奇函数、偶函数的定义及对称性；

2.逻辑推理：判断函数奇偶性的步骤；

3.数学运算：判断函数的奇偶性；

4.直观想象：奇函数、偶函数图象的对称性；

教学重点：

用代数运算和函数图象揭示函数的奇偶性。

教学难点：

函数奇偶性的代数运算与图象表示之间的关系。

教学过程：

一、情境与问题

问题1：请写出点(x,y)分别关于y轴、x轴、原点的对称点的坐标。

预设答案：点(x,y)分别关于y轴的对称点的坐标是(-x,y)、关于x轴的对称点的坐标是(x,-y)、关于原点的对称点的坐标是(-x,-y)。

问题2：填写下表，观察自变量之间的对称关系，并回答当自变量互为相反数时，函数值具备什么关系？　　

　　预设答案：表格如下：

当自变量互为相反数时，函数值相等。

问题3：根据上面的结论，你觉得这两个函数的图象具备什么特征？

预设答案：函数f(x)=x2的图象关于y轴对称，也是。

问题4：请你用数学符号语言表示函数f(x)的图象关于y轴对称。

【设计意图】此问题串在于让学生通过具体函数，得到偶函数定义，并明确数学符号表达与图象表达的一致性。

【板书】偶函数定义

强调：偶函数定义的自然语言表达：函数f(x)的自变量取互为相反数的两个值时，对应的函数值相等。

理解：偶函数的几何特征

二、概念辨析

例1. 请判断下列函数是否为偶函数，并做出相应的图象。

1.f(x)=x2+1

2.f(x)=|x|

3.f(x)=x2+2x

4.f(x)=x

教师板书第一题，学生自己处理第2题

思考：

①如何说明一个函数不是偶函数？

②以上四个函数的定义域是否关于原点对称？

③“函数的定义域关于原点对称”是“这个函数为偶函数”的什么条件？

（必要不充分条件）

④根据第四个函数的图象，谈谈你的想法？

三、自学提高

问题5：请你根据刚才的学习过程，研究如果函数f(x)的图象关于原点对称，如何用数学符号语言刻画？并请举出两个具体函数的例子。

预设答案：、f(x)=2x

【板书】奇函数定义

强调：奇函数定义的自然语言表达：函数f(x)的自变量取互为相反数的两个值时，对应的函数值互为相反数。

理解：奇函数的几何特征

【板书】如果一个函数是偶函数或者奇函数，那么称这个函数具备奇偶性。

【设计意图】通过对偶函数的学习，把研究问题的方法迁移到学习奇函数上，重点在于培养学生迁移能力。给出足够时间让学生通过类比、猜想，独立地去经历发现、总结奇函数和概念和图象特征的过程。

例2. 判断下列函数的奇偶性 

强调：“函数的定义域不关于原点对称”是“函数不具备奇偶性”的既不充分也不必要条件。

例3. 已知奇函数f(x)的定义域为D，且0∈D，求证：f(0)=0

强调：设函数f(x)在原点有定义，则 “f(0)=0”是“函数f(x)为奇函数”的必要不充分条件。

四、课堂练习

1.课本第109页练习A第1、2、4题

2.课本第110页练习B第3题

3.课本第110页练习B第6题

五、课堂小结

1.函数奇偶性的定义与图像特征；

2.函数奇偶性的自然语言表述。

六、布置作业

1.课本第110页习题3-1A第9题

2.课本第111页习题3-1B第10题

3.学有余力的同学思考：课本第111页习题3-1C第2题