初中数学人教版八年级下册第十六章 二次根式综合与测试课时训练

专题11 二次根式重难点题型分类-高分突破（解析版）

题型一  二次根式的双重非负性

第一层非负性：被开方数

1.（南雅）在函数中，自变量的取值范围是（    ）

A.    B. 且  C. 且  D.

【解答】解：由题意得，x+1≥0且2x﹣1≠0，解得x≥﹣1且x≠．故选：C．

2.（广益）若式子有意义，则的取值范围是         .

【解答】解：x+1≥0，x≠0，解得，x≥﹣1且x≠0，

则式子有意义，则x的取值范围是x≥﹣1且x≠0．

3.（青竹湖）函数中，自变量的取值范围是           .

【解答】解：根据题意得，x﹣2≥0且x≠0，解得x≥2且x≠0，所以，自变量x的取值范围是x≥2．

4.（青竹湖）已知，则的值为（     ）

【解答】解：由题意可得：x＝4，则y＝3，则的值为：．故选：C．

5.（雅礼）已知实数、满足 ，则以、的值为两边长的等腰三角形的周长是          .

【解答】解：根据题意得，x﹣5＝0，y﹣11＝0，解得x＝5，y＝11，

①5是腰长时，三角形的三边分别为5、5、11，不能组成三角形．

②5是底边时，三角形的三边分别为5、11、11，能组成三角形，5+11+11＝27；所以，三角形的周长为：27；故答案为27．

第二层非负性：二次根式的计算结果为非负数

6. （长郡）如果，则（    ）

A.    B.    C.    D.

【解答】解：∵，∴1﹣2a≥0，解得a≤．故选：B．

7.（广益）若，则的值为(   )

A.   B.    C.    D.

【解答】解：由题意可知：x﹣4＜0，x﹣1＞0，∴原式＝﹣（x﹣4）+（x﹣1）＝3，故选：D．

8. （长梅）已知实数，在数轴上的位置如图所示，化简：的结果是(   )

A.      B.          C.      D.

【解答】解：由数轴可得：﹣1＜a＜0，0＜b＜1，则﹣﹣＝﹣a﹣b﹣（1﹣b）

＝﹣a﹣1．故选：B．

9.（长郡）已知、、是三边的长，则的值为(   )

A.    B.    C.    D.

【解答】解：∵三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，∴a﹣b﹣c＜0，a+b﹣c＞0

∴+|a+b﹣c|＝b+c﹣a+a+b﹣c＝2b．故选：B．

10.（青竹湖）实践与探索

（1）填空：           ，           ；

（2）观察第（1）的结果填空：当时，       ，当时，        ；

（3）利用你总结的规律计算：，其中.

【解答】解：（1）＝3； ＝5；故答案为：3，5；

（2）当a≥0时＝a；当a＜0时，＝﹣a；故答案为：a，﹣a；

（3）∵2＜x＜3，∴x﹣2＞0、x﹣3＜0，原式＝（x﹣2 ）﹣（x﹣3）＝1．

题型二 二次根式的乘除

11.（长梅）计算： =          . 

【解答】解：原式=

12. （青竹湖） 计算：           .

【解答】解：原式=

13．（青竹湖）下列各数中，与的乘积是有理数的是（    ）

A． B． C． D．

【解答】解：∵（2+）×（2﹣）＝22﹣＝1，∴2+与2﹣互为有理化因式．故选：B．

14.（广益）化简的结果是（   ）

【解答】解：由﹣x3≥0知x≤0，则原式＝|x|＝﹣x，故选：D．

15.（郡维）把根号外的因式移入根号内得(   )

A.    B.    C.    D.

【解答】解：∵成立，∴﹣＞0，即m＜0，∴原式＝﹣＝﹣．

故选：D．

题型三 最简二次根式

16.（雅礼）下列根式中，不是最简二次根式的是（    ）

A.     B.     C.     D.

【解答】解：C、∵＝＝；∴它不是最简二次根式故选：C．

17.（青竹湖）下列根式中是最简二次根式的是（    ）

A.    B.   C.  D.

【解答】解：（A）原式＝，故A不是最简二次根式；（C）原式＝a，故C不是最简二次根式；

（D）原式＝2，故D不是最简二次根式；故选：B．

18.(郡维）在根式：；；；；；中，最简二次根式有(   )

A.个    B.个    C.个    D.个

【解答】解：最简二次根式有；；，故选：B．

19．（青竹湖）下列二次根式能与合并的是（    ）

A．             B．              C．           D．

【解答】解：的被开方数是3，而、＝2、的被开方数分别是5、2、2，所以它们不是同类二次根式，不能合并，即选项A、B、D都不符合题意．＝2的被开方数是3，与是同类二次根式，能合并，即选项C符合题意．故选：C．

20.（雅礼）与最简二次根式是同类二次根式，则________.

【解答】解：∵＝2，∴a+1＝2，∴a＝1；故答案为：1．

题型四 二次根式的混合运算

21.（广益）已知，，则       .

【解答】解：原式=

22.（雅礼）（1）    （2）.

【解答】解：(1)原式=

（2）原式＝（3×2﹣2×+4）÷＝（6﹣+4）÷＝（6﹣+4）÷＝．

23.（雅实）      

【解答】解：原式=

24.（广益）计算：

【解答】解：原式=

25.（雅境）计算：(1)            (2)计算：.

【解答】解：（1）原式=

（2）原式=

26.（雅实）已知,, 求值：（1）；    （2）.

【解答】解：（1）原式=

（2）原式=

27.（广益）先化简，再求值：，其中，。

【解答】解：原式=

题型五   二次根式的压轴题

28.（长梅）阅读材料：

小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如.善于思考的小明进行了以下探索：

设(其中、、、均为整数)，则有.

∴，.这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法.

请你仿照小明的方法解决下列问题：

(1)当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得_________，_________.

(2)利用所探索的结论，填空：(_____+_____)；

(3)若，且、、均为正整数，求的值？

【解答】解：（1）a+b＝（m+n）2＝m2+3n2+2mn，而a．b．m．n均为正整数，

所以a＝m2+3n2；b＝2mn；故答案为：m2+3n2，2mn．

（2）13+4＝（1+2）2，故答案为：1，2；

（3）a＝m2+3n2；6＝2mn；∴mn＝3，而m、n为正整数，∴m＝1，n＝3或m＝3，n＝1，

∴a＝28或a＝12．

29.（师大）阅读材料：

阅读材料：黑白双雄，纵横江湖，双剑合璧，天下无敌人.这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比，在二次根式中也有这种相铺相成的“对子”，如，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式的除法可以这样解：如，.像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化.

解决问题：

（1）4+的有理化因式是　　，将分母有理化得　　；

（2）已知x＝，y＝，则+＝　　；

（3）已知实数x，y满足（x+）（y+）﹣2017＝0，则x＝　　，y＝　　．

【解答】解：（1）由题意得：4+的有理化因式是：4﹣，＝＝＝，

（2）＝＝＝+＝6+2+4+6﹣2+4＝10，

（3）（x+）（y+）﹣2017＝0，（x+）（y+）＝2017，

∴x+＝＝＝y﹣①，

y+＝＝＝x﹣②，

①+②得：2y＝2x，y＝x，把y＝x代入①得：x+＝x﹣，2＝0，

x2＝2017，x＝，∴y＝，

故答案为：，．

30. （雅礼）阅读材料：（一）如果我们能找到两个实数、使且，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”.

例如：.

（二）在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，那么我们称这个过程为分式的分母有理化.

根据阅读材料解决下列问题：

（1）化简“和谐二次根式”：①           ，②           ；

（2）已知，，求的值；

（3）设的小数部分为，求证：.

【解答】（1）解：①＝＝＝+2；

②＝＝＝＝2﹣．

（2）解：∵m＝＝＝﹣，n＝＝＝+，

∴m﹣n＝﹣﹣（+）＝﹣2，m+n＝﹣+（+）＝2，∴＝＝﹣；

（3）证明：＝＝﹣＝6﹣，∵1＜＜2，

∴﹣2＜﹣＜﹣1，∴b＝2﹣，∴2b+＝2（2﹣）+＝4﹣2+2+＝6﹣，

∴＝2b+．

31. （雅礼）定义：对于任意两个实数、，按规则得到一个新数，我们称是、的“雅系数”.

（1）若，，求、的“雅系数”的值；

（2）已知实数满足，且、互为倒数，求、的“雅系数”的值；

（3）已知正数，，当为何值时，、的“雅系数”有最小值，这个最小值是多少？

【解答】解：（1）

（2）13；（3）16.

32. （青竹湖）定义：对于平面直角坐标系中的任意两点和，我们把它们的横、纵坐标的差的平方和的算术平方根称作这两点的“湘一根”，记作,即.

（1）若和，则=____    __；

（2）若点,，其中为任意实数，求的最小值

（3）若为常数，且，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，求的最小值以及的最大值（用含的代数式表示）

【解答】解：（1）Q[A，B]＝＝2，

（2）如图，由题意，点N在直线y＝x﹣3上运动，

根据垂线段最短可知，当MN⊥直线y＝x﹣3时，MN的值最小，此时N（3，0），∵M（1，2），

∴Q[M，N]的最小值＝＝2．

（3）如图1中，

∵m＞0，A（0，5m），∴B（8m，﹣m）在第四象限，A在y轴的正半轴上，

∴当A，C，B共线时，Q[A．C]+Q[C，B]的值最小，最小值＝＝10m．

如图2中，作点B关于x轴的对称点B′，当点C在AB′的延长线上时，Q[A，C]﹣Q[B，C]的值最大，

最大值＝Q[A，B′]＝＝4m．