人教版八年级上册第十四章 整式的乘法与因式分解综合与测试练习

专题06  整式的乘除重难点题型分类-高分突破（原卷版）

题型一：幂的运算选择题

1．（博才）下列运算正确的是（　　）

A．a2•a3＝a6 B．a3÷a＝a2 C．（a2）3＝a5 D．（3a2）2＝6a4

2．（广益）下列计算正确的是（　　）

A．a3•a4＝a12 B．（2a）2＝2a2 

C．（a3）2＝a9 D．（﹣2×102）3＝﹣8×106

3．（长郡）下列计算正确的是（　　）

A．（a3）2÷a5＝a10                       B．（a4）2÷a4＝a2 

C．（﹣5a2b3）•（﹣2a）＝10a3b3           D．（﹣a3b）3÷b

题型二：幂的逆运算

4．（长郡）已知xm＝3，xn＝2，则x3m+2n的值是（　　）

A．31 B． C．23 D．108

5．（长郡）已知，则的值为      ．

6．（长郡梅溪湖）已知：，，      ．

题型三：负指数幂的计算

7．（雅礼）计算：.

8.（青竹湖）计算：

9.（长郡）

题型四：幂的混合运算

10．（长郡郡维）计算： 

11.（长郡梅溪湖）计算：

12.（中雅）计算：

题型五：平方差公式、完全平方公式与面积问题

13．（长梅）如图，边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，剩下部分正好拼成一个等腰梯形，利用这两幅图形面积，能验证怎样的数学公式？（　　）

A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab 

C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2

14．（雅实）如图①，从边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪拼成一个长方形（如图②），则上述操作所能验证的公式是（　　）

A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 

C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2+ab＝a（a+b）

15．（一中）如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b＝18，ab＝60，则图中阴影部分的面积为（　　）

题型六：先化简后求值

16. 先化简，再求值（a+2b）（a﹣2b）﹣（a+2b）2+4ab，其中a＝1，b＝．

17. 先化简，再求值：（2x+y）2+（x﹣y）（x+y）﹣5x（x﹣y），其中x＝+1，y＝﹣1．

18．（博才）先化简，再求值：[（x﹣2y）2+（x﹣2y）（x+2y）﹣2x（2x﹣y）]÷2x．其中x＝﹣1，y＝2021．

题型七：完全平方公式的配方

19．（中雅）若多项式9x2﹣mx+1（m是常数）是一个关于x的完全平方式，则m的值为　   　

20．（博才）多项式x2﹣2（m﹣1）x+9是完全平方式，则m＝　     　．

21．（麓山）已知代数式x2﹣4x+m是一个完全平方式，则m的值是 　 　．

22．若二次三项式x2﹣8x+m2是一个完全平方式，则m的值是（　　）

A．±4 B．4 C．±8 D．8

题型八：完全平方公式的整体代入法

23．（雅礼）已知m+n＝﹣6，mn＝4，则m2﹣mn+n2的值为　   　．

24．（明德）已知（m+n）2＝11，mn＝2，则（m﹣n）2的值为　 　．

25．（长郡）已知：（a﹣b）2＝4，ab＝，则（a+b）2＝　 　．

26．（博才）若x2y+xy2＝30，xy＝6，求下列代数式的值：

（1）x2+y2       （2）x﹣y．

27．（雅礼）已知（x+y）2＝12，（x﹣y）2＝8，求下列各式的值：

（1）xy；    （2）x3y+xy3．

28．（长郡）已知：x+y＝5，xy＝﹣3，求：

（1）x2+y2的值； （2）（1﹣x）（1﹣y）的值．

题型九：整式乘法的中档文字题与应用题

Ⅰ 不含二次项、三次项类

29．（长培）如果（x2+px+q）（x2﹣5x+7）的展开式中不含x2与x3项，那么p与q的值是（　　）

A．p＝5，q＝18 B．p＝﹣5，q＝18 C．p＝﹣5，q＝﹣18 D．p＝5，q＝﹣18

30．（雅实）要使（2x2﹣x+3）（3x2+ax﹣2）的展开式中不含x2项，则a的值为（　　）

A．5 B．﹣5 C．13 D．﹣13

31．（广益）已知（x2+mx+1）（x2﹣2x+n）的展开式中不含x3项和x项，求mn．

Ⅱ利用整式乘法解决几何面积

32．如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，

（1）求绿化的面积是多少平方米；

（2）并求出当a＝5，b＝3时的绿化面积．

33．（南雅）如图，某市近郊有一块长为60米，宽为50米的矩形荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个矩形（其中三个矩形的一边长均为a米）区域将铺设塑胶地面作为运动场地．

（1）设通道的宽度为x米，则a＝　                　（用含x的代数式表示）；

（2）若塑胶运动场地总占地面积为2430平方米．请问通道的宽度为多少米？

Ⅲ 小马虎类问题

34．（师大）小马、小虎两人共同计算一道题：（x+a）（2x+b）．由于小马抄错了a的符号，得到的结果是2x2﹣7x+3，小虎漏抄了第二个多项式中x的系数得到的结果是x2+2x﹣3．

（1）求a，b的值；

（2）细心的你请计算这道题的正确结果；

（3）当x＝﹣1时，计算（2）中的代数式的值．

35．两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成3（x﹣1）（x﹣9），另一位同学因看错了常数项而分解成3（x﹣2）（x﹣4）．

（1）求原来的二次三项式；

（2）将（1）中的二次三项式分解因式．

题型十：整式乘除的压轴题

36．（博才）阅读下列材料，并解决后面的问题．

材料：一般地，n个相同的因数a相乘：记为an．如23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28＝3）．一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab＝n），如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381＝4）．

问题：（1）计算以下各对数的值：log24＝　 　；log216＝　 　；log264＝　 　．

（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，然后利用4、16、64之间的数量关系猜想log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式？答：log24、log216、log264关系式为　 　．

（3）由（2）的结果，请你能归纳出：logaM+logaN＝　 　（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）．

37．（中雅）阅读材料：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，那么形如a+bi（a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它有如下特点：

①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：

（2+i）+（3﹣4i）＝（2+3）+（1﹣4）i＝5﹣3i；（3+i）i＝3i+i2＝3i﹣1．

②若他们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭，如1+2i的共轭复数为1﹣2i．

根据材料回答：

（1）填空：i3＝　   　，i4＝　   　；

（2）求（2+i）2的共轭复数；

（3）已知（a+i）（b+i）＝1+3i，求a2+b2（i2+i3+i4…+i2020）的值．

38．（明德）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20都是“神秘数”．

（1）28是“神秘数”吗？为什么？

（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数吗？为什么？

（3）根据上面的提示，判断2020是否为“神秘数”？如果是，请写出两个连续偶数平方差的形式；如果不是，说明理由．

（4）两个连续奇数的平方差（取正数）是“神秘数”吗？为什么？

39．（雅礼）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．

如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20这三个数都是神秘数．

（1）28是神秘数吗？为什么？

（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？

（3）①若长方形相邻两边长为两个连续偶数，试说明其周长一定为神秘数．

②在①的条件下，面积是否为神秘数？为什么？

40．（长培）一个正整数m能写成m＝（a﹣b）（a+b）（a、b均为正整数，且a≠b），则称m为“美满数”，a、b为m的一个完美变形，在m的所有完美变形中，若a2+b2最大，则称a、b为m的最佳完美变形，此时F（m）＝a2+b2．例如：12＝（4+2）（4﹣2），12为“完美数”，4和2为12的一个完美变形，32＝（9+7）（9﹣7）＝（6+2）（6﹣2），因为92+72＞62+22，所以9和7是32的最佳完美变形，所以F（32）＝130．

（1）8　 　（填“是”或“不是”）完美数；

10　 　（填“是”或“不是”）完美数；

13　 　（填“是”或“不是”）完美数；

（2）求F（48）；

（3）若一个两位数n的十位数字和个位数字分别为x，y（1≤x≤y≤9），n为“完美数”且x+y能被8整除，求F（n）的最小值．

41．（雅礼）配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．例如：因为3a2≥0，所以3a2+1≥1，即：3a2+1有最小值1，此时a＝0；同样，因为﹣3（a+1）2≤0，所以﹣3（a+1）2+6≤6，即﹣3（a+1）2+6有最大值6，此时a＝﹣1．

（1）当x＝　 　时，代数式2（x﹣1）2+3有最　 　（填写大或小）值为　 　．

（2）当x＝　 　时，代数式﹣x2+4x+3有最　 　（填写大或小）值为　 　．

（3）矩形花园的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度是16m，当花园与墙相邻的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？