人教版九年级上册第二十四章 圆综合与测试一课一练

专题06  垂径定理重难点题型分类

题型一：已知两边，求第三边

1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD＝8，OP＝3，则⊙O的半径为（　　）

A．10 B．8 C．5 D．3

【解答】解：连接OC，∵CD⊥AB，CD＝8，∴PC＝CD＝×8＝4，在Rt△OCP中，

∵PC＝4，OP＝3，∴OC＝＝＝5．故选：C．

2．如图，两个同心圆的半径分别为3cm和5cm，弦AB与小圆相切于点C，则AB的长为（　　）

A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm

【解答】解：连接OC和OB，∵弦AB与小圆相切，∴OC⊥AB，在Rt△OBC中，BC＝＝＝4，∴AB＝2BC＝8cm．

故选：D．

3．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，则蔬菜大棚的高度CD＝　 　m．

【解答】解：∵CD是中间柱，即＝，∴OC⊥AB，∴AD＝BD＝AB＝×16＝8（m），

∵半径OA＝10m，在Rt△AOD中，OD＝＝6（m），∴CD＝OC﹣OD＝10﹣6＝4（m）．

故答案为：4

4．已知P为⊙O内一点，且OP＝2cm，如果⊙O的半径是3cm，那么过点P的最长的弦长为　    　；最短的弦长为　    　．

【解答】解：如图，AB是过点P最长的弦，是圆的一条直径，所以AB＝6cm．CD是过点P最短的弦，CD⊥OP，在Rt△OPD中，PD2＝OD2﹣OP2＝9﹣4＝5，∴PD＝，CD＝2．所以对短的弦长为2cm．

故答案是：6cm，2cm．

5．如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：连接OA，OB，OC，作CH垂直于AB于H．∵AB＝8，CD＝6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，∴BE＝AB＝4，CF＝CD＝3，∴OE＝＝＝3，OF＝＝＝4，∴CH＝OE+OF＝3+4＝7，BH＝BE+EH＝BE+CF＝4+3＝7，

在Rt△BCH中根据勾股定理得到BC＝＝＝7，即PA+PC的最小值为7．

故选：A．

6．如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过格点A、B、C．以点O为原点、竖直和水平方向为轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系，该圆弧所在圆的圆心为点D．

（1）写出点的坐标：C　      　、D　      　；

（2）⊙D的半径＝　      　（结果保留根号）．

【解答】解：（1）C的坐标是（6，2），D的坐标是（2，0）；

（2）在直角△OBE中，OB＝＝2．

题型二：已知一边和一特殊角

7．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是点E，∠CAO＝22.5°，OC＝6，则CD的长为（　　）

A．6 B．3 C．6 D．12

【解答】解：∵CD⊥AB，∴CE＝DE，∵∠BOC＝2∠A＝2×22.5°＝45°，

∴△OCE为等腰直角三角形，∴CE＝OC＝×6＝3，∴CD＝2CE＝6．

故选：A．

8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC，若∠CAB＝22.5°，CD＝8cm，则⊙O的半径为（　　）

  A．8cm B．4cm C．4cm D．5cm

【解答】解：连接OC，如图所示：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CE＝DE＝CD＝4cm，

∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA＝22.5°，∵∠COE为△AOC的外角，∴∠COE＝45°，∴△COE为等腰直角三角形，∴OC＝CE＝4cm，

故选：C．

9．如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE＝1cm，EB＝5cm，∠DEB＝60°．

（1）求点O到弦CD的距离；

（2）求弦CD的长．

【解答】解：（1）设OF的长为点O到弦CD的距离，∵AE＝1cm，EB＝5cm，∴AB＝6cm，∴OA＝OB＝3cm，∴OE＝OA﹣AE＝2cm，∵在Rt△OFE中，∠OFE＝90°，OE＝2cm，∠DEB＝60°，∴∠FOE＝30°，∴EF＝OE＝1cm，OF＝＝＝（cm），

即点O到弦CD的距离是cm；

（2）连接OD，在Rt△OFD中，∠OFD＝90°，OD＝OA＝3cm，OF＝cm，

由勾股定理得：DF＝＝＝（cm），∵OF⊥DC，OF过O，∴DF＝CF，

即CD＝2DF＝2cm．

题型三：已知一边，设半径为，第三边为“几”或“几”，列方程

10．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD＝12，BE＝2，则⊙O的半径为（　　）

A．8 B．10 C．16 D．20

【解答】解：连接OC，如图所示：∵CD⊥AB，∴CE＝CD＝6，

设⊙O的半径为x，则OE＝x﹣2，在Rt△OEC中，由勾股定理得：（x﹣2）2+62＝x2

解得：x＝10，即⊙O的半径为10，故选：B．

11．一种花边是如图的弓形组成的，弓形的高（弧的中点到弦的距离）CD长为2，弦AB＝8，则的半径长为（　　）

A． B． C．6 D．5

【解答】解：设弧ACB所在圆的圆心为O，连接OC、OA，则OC与AB的交点即为D点，如图所示：

在Rt△OAD中，设OA＝x，则OD＝x﹣CD＝x﹣2，AD＝AB＝4，∴OA2＝OD2+AD2，

即x2＝（x﹣2）2+42，解得x＝5；故选：D．

12．如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D．

（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）已知：AB＝16，CD＝4．求（1）中所作圆的半径．

【解答】解：（1）如图所示：

（2）∵AB＝16，CD＝4，CD⊥AB，∴AD＝BD＝8，设半径为x，得：x2＝82+（x﹣4）2，

解得：x＝10．

13．如图，圆柱形油槽内原有积油的水平面宽CD＝60cm，油深为10cm．若油面上升10cm，则此时油面宽AB为多少？（教材124页第10题改编）

【解答】解：作OE⊥CD于点E，交AB于点F．则CE＝DE＝×60＝30（cm），

设半径是r，则OE＝r﹣10．在直角△OCE中，OC2＝OE2+CE2，即r2＝302+（r﹣10）2，

解得：r＝50．则OF＝50﹣10﹣10＝30（cm），

在直角△AOF中，AF＝＝＝40（cm），

又∵OE⊥AB，∴AB＝2AF＝80（cm）．

14．如图，一拱形公路桥，圆弧形桥拱的水面跨度AB＝80米，桥拱到水面的最大高度为20米．求：

（1）桥拱的半径．

（2）现有一轮船宽60米，船舱顶部为长方形并高出水面9米要经过这里，这艘轮船能顺利通过吗？

【解答】解：（1）如图，点E是拱桥所在的圆的圆心，作EF⊥AB于F，延长EF交圆于点D，

则由垂径定理知，点F是AB的中点，AF＝FB＝AB＝40，EF＝ED﹣FD＝AE﹣DF，

由勾股定理知，AE2＝AF2+EF2＝AF2+（AE﹣DF）2，设圆的半径是r，则：r2＝402+（r﹣20）2，

解得：r＝50；

（2）如图，货船能顺利通过这座拱桥．理由：连接EM，设MD＝30米．

∵DE⊥MN，EF＝50﹣20＝30（m），在Rt△DEM中，DE＝＝40（米），

∵DF＝DE﹣EF＝40﹣30＝10（米）∵10米＞9米，

∴货船能顺利通过这座拱桥．