高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数学案，共6页。


1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只，可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已．他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的兔子，澳大利亚人才算松了一口气．
[问题] 想想看，澳大利亚的兔子为什么在不到100年的时间内发展到75亿只？


知识点 三种常见函数模型的增长差异
eq \a\vs4\al()
三种函数模型的再理解
(1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型；
(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型．( )
(2)函数y＝lg2x增长的速度越来越慢．( )
(3)不存在一个实数m，使得当x>m时，1.1x>x100.( )
答案：(1)√ (2)√ (3)×
2．下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是( )
A．y＝ex B．y＝ln x
C．y＝2x D．y＝e－x
答案：A
3．某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是( )
A．y＝ax＋b B．y＝ax2＋bx＋c
C．y＝a·ex＋b D．y＝aln x＋b
解析：选B 由散点图和四个函数的特征可知，可选择的模拟函数模型是y＝ax2＋bx＋c.
[例1] (链接教科书第139页练习1题)四个自变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：
则关于x呈指数型函数变化的变量是________．
[解析] 以爆炸式增长的变量呈指数型函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．
[答案] y2
eq \a\vs4\al()
常见的函数模型及增长特点
(1)线性函数模型：线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变；
(2)指数函数模型：指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”；
(3)对数函数模型：对数函数模型y＝lgax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓；
(4)幂函数模型：幂函数y＝xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．
[跟踪训练]
下列各项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意的序号是________．
①y＝3×1.04x；②y＝20＋x10；
③y＝40＋lg(x＋1)；④y＝80.
解析：结合三类函数的增长差异可知①的预期收益最大．
答案：①
[例2] 函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1(1)请指出示意图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数；
(2)结合函数图象示意图，判断f(6)，g(6)，f(2 021)，g(2 021)的大小．
[解] (1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.
(2)因为f(1)>g(1)，f(2)g(10)，
所以1x2，
从图象上可以看出当x1所以f(6)当x>x2时，f(x)>g(x)，所以f(2 021)>g(2 021)；
又因为g(2 021)>g(6)，
所以f(2 021)>g(2 021)>g(6)>f(6)．
eq \a\vs4\al()
不同函数的变化规律
(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律；
(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律；
(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律．
[跟踪训练]
函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示：
(1)指出曲线C1，C2分别对应题中哪一个函数；
(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．
解：(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x.
(2)当x∈(0，x1)时，g(x)＞f(x)；
当x∈(x1，x2)时，g(x)＜f(x)；
当x∈(x2，＋∞)时，g(x)＞f(x)．
[例3] 某化工厂开发研制了一种新产品，在前三个月的月生产量依次为100 t，120 t，130 t．为了预测今后各个月的生产量，需要以这三个月的月产量为依据，用一个函数来模拟月产量y与月序数x之间的关系．对此模拟函数可选用二次函数y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c均为待定系数，x∈N*)或函数y＝g(x)＝pqx＋r(p，q，r均为待定系数，x∈N*)，现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137 t，则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？
[解] 根据题意可列方程组
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（1）＝a＋b＋c＝100，,f（2）＝4a＋2b＋c＝120，,f（3）＝9a＋3b＋c＝130.))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－5，,b＝35，,c＝70.))
所以y＝f(x)＝－5x2＋35x＋70.①
同理y＝g(x)＝－80×0.5x＋140.②
再将x＝4分别代入①式与②式得
f(4)＝－5×42＋35×4＋70＝130(t)，g(4)＝－80×0.54＋140＝135(t)．
与f(4)相比，g(4)在数值上更为接近第四个月的实际月产量，所以②式作为模拟函数比①式更好，故选用函数y＝g(x)＝pqx＋r作为模拟函数较好．
eq \a\vs4\al()
建立函数模型应遵循的三个原则
(1)简化原则：建立函数模型，原型一定要简化，抓主要因素，主要变量，尽量建立较低阶、较简便的模型；
(2)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论；
(3)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题．
[跟踪训练]
某人对东北一种松树生长进行了研究，收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据，选择h＝mt＋b与h＝lga(t＋1)来刻画h与t的关系，你认为哪个符合？并预测第8年的松树高度．
解：据表中数据作出散点如图．由图可以看出与一次函数模型不吻合，选用对数型函数比较合理．
不妨将(2，1)代入到h＝lga(t＋1)中，得1＝lga3，解得a＝3.
故可用函数h＝lg3(t＋1)来刻画h与t的关系．当t＝8时，求得h＝lg3(8＋1)＝2，
故可预测第8年松树的高度为2米．
1．下列函数中，增长速度越来越慢的是( )
A．y＝6x B．y＝lg6x
C．y＝x6 D．y＝6x
解析：选B D中一次函数的增长速度不变，A、C中函数的增长速度越来越快，只有B中对数函数的增长速度越来越慢，符合题意．
2．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：
则对x，y最适合的拟合函数是( )
A．y＝2x B．y＝x2－1
C．y＝2x－2 D．y＝lg2x
解析：选D 将x＝0.50代入计算，可以排除A；将x＝2.01代入计算，可以排除B、C.故选D.
3.向高为H的水瓶内注水，一直到注满为止，如果注水量V与水深h的函数图象如图所示，那么水瓶的形状大致是( )
解析：选B 水深h为自变量，随着h的增大，A项中V的增长速度越来越快，C项中先慢后快，D项中增长速度不变，只有B项中V的增长速度越来越慢．
4．已知函数f(x)＝3x，g(x)＝2x，当x∈R时，f(x)与g(x)的大小关系为________．
解析：在同一直角坐标系中画出函数f(x)＝3x，g(x)＝2x的图象，如图所示，由于函数f(x)＝3x的图象在函数g(x)＝2x图象的上方，则f(x)＞g(x)．
答案：f(x)＞g(x)
新课程标准解读
核心素养
1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型
数学抽象
2.了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义
逻辑推理
3.能根据具体问题选择合适的函数模型
数学建模
函数
性质
y＝ax
(a>1)
y＝lgax
(a>1)
y＝kx
(k>0)
在(0，＋∞)
上的增减性
增函数
增函数
增函数
图象的变化
随x的增大逐渐变“陡”
随x的增大逐渐趋于稳定
增长速度不变
形象描述
指数爆炸
对数增长
直线上升
增长速度
y＝ax(a>1)的增长速度最终都会大大超过y＝kx(k>0)的增长速度
增长结果
存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>lgax
几类函数模型增长的差异
x
1
5
10
15
20
25
30
y1
2
26
101
226
401
626
901
y2
2
32
1 024
32 768
1.05×106
3.36×107
1.07×109
y3
2
10
20
30
40
50
60
y4
2
4.322
5.322
5.907
6.322
6.644
6.907
几类函数模型的比较
函数模型的选择问题
t(年)
1
2
3
4
5
6
h(米)
0.6
1
1.3
1.5
1.6
1.7
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y
－0.99
0.01
0.98
2.00