高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.2 直线的方程导学案及答案

直线的两点式方程

斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足．若以桥面所在直线为x轴，桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上一点与桥面上一点的直线．

[问题]　(1)怎样表示斜拉索所在的直线方程呢？

(2)能否用直线上两个已知点的坐标来表示直线的方程？

知识点　直线的两点式与截距式方程

1．截距式方程能否表示过原点的直线？

提示：不能，因为ab≠0，即有两个非零截距．

2．所有的直线都可以用两点式方程来表示吗？

提示：与x轴平行或与y轴平行的直线无法用两点式方程来表示．

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示．(　　)

(2)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(　　)

答案：(1)×　(2)√

2．过点A(5，6)和点B(－1，2)的直线的两点式方程是(　　)

A.＝　　　　　　 B.＝

C.＝  D.＝

答案：B

3．在x轴、y轴上的截距分别为2，－3的直线方程为(　　)

A.－＝1  B.＋＝1

C.－＝1  D.＋＝0

答案：A

4．直线x－2y＝4的截距式方程是____________．

解析：求直线的截距式方程，必须把方程化为＋＝1的形式，即右边为1，左边是和的形式．

答案：＋＝1

[例1]　(链接教科书第63页例4)已知A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中：

(1)求BC边的方程；

(2)求BC边上的中线所在直线的方程．

[解]　(1)∵BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)，

∴由两点式得＝，

即2x＋5y＋10＝0.

故BC边的方程为2x＋5y＋10＝0(0≤x≤5)．

(2)设BC的中点为M(x0，y0)，

则x0＝＝，y0＝＝－3.

∴M，

又BC边上的中线经过点A(－3，2)．

∴由两点式得＝，

即10x＋11y＋8＝0.

故BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0.

求直线的两点式方程的策略以及注意点

(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程；

(2)由于减法的顺序性，在使用两点式求直线方程时易将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．　　　　

[跟踪训练]

已知直线经过点A(1，0)，B(m，1)，求这条直线的方程．

解：由直线经过点A(1，0)，B(m，1)，因此该直线斜率不可能为零，但有可能不存在．

①当直线斜率不存在，即m＝1时，直线方程为x＝1；

②当直线斜率存在，即m≠1时，利用两点式，可得直线方程为＝，即x－(m－1)y－1＝0.

综上可得：当m＝1时，直线方程为x＝1；

当m≠1时，直线方程为x－(m－1)y－1＝0.

[例2]　求过点A(5，2)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程．

[解]　法一：①当直线l在坐标轴上的截距均为0时，方程为y＝x，即2x－5y＝0；

②当直线l在坐标轴上的截距不为0时，

可设方程为＋＝1，即x－y＝a，

又∵l过点A(5，2)，∴5－2＝a，a＝3，

∴l的方程为x－y－3＝0，

综上所述，直线l的方程是2x－5y＝0或x－y－3＝0.

法二：由题意知直线的斜率一定存在．

设直线的点斜式方程为y－2＝k(x－5)，

x＝0时，y＝2－5k，y＝0时，x＝5－.

根据题意得2－5k＝－，解得k＝或k＝1.

当k＝时，直线方程为y－2＝(x－5)，即2x－5y＝0；

当k＝1时，直线方程为y－2＝1×(x－5)，即x－y－3＝0.

[母题探究]

(变条件)若将本例中的条件“在坐标轴上的截距互为相反数”变为“在x轴上的截距是y轴上截距的2倍”，其它条件不变，如何求解？

解：①当直线l在两坐标轴上的截距均为0时，方程为y＝x，即2x－5y＝0符合题意；

②当直线l在两坐标轴上的截距均不为0时，可设方程为＋＝1，

又l过点(5，2)，∴＋＝1，解得a＝.

∴l的方程为x＋2y－9＝0.

综上所述，直线l的方程是2x－5y＝0或x＋2y－9＝0.

截距式方程应用的注意事项

(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用直线的截距式方程，用待定系数法确定其系数即可；

(2)选用直线的截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直；

(3)要注意直线的截距式方程的逆向应用．　　　　

[跟踪训练]

1．直线－＝1在两坐标轴上的截距之和为(　　)

A．1　　　　　　　　　 B．－1

C．7  D．－7

解析：选B　直线在x轴上截距为3，在y轴上截距为－4，因此截距之和为－1.

2．求过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程．

解：设直线的截距式方程为＋＝1.

则＋＝1，解得a＝2或a＝1，

则直线方程是＋＝1或＋＝1，

即2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0.

[例3]　A是直线l：y＝3x上位于第一象限内的一点，B(3，2)为定点，直线AB交x轴正半轴于点C，求使△AOC面积最小的点A的坐标．

[解]　如图，设点A的坐标为(m，3m)(m>0)．

(1)当直线AB不垂直于x轴时，由两点式得直线AB的方程为＝.

令y＝0，得xC＝.

因为点C在x轴的正半轴上，

所以>0，即m>.

所以△AOC的面积S＝××3m＝＝×＝×≥×＝×8＝.

当且仅当m＝时等号成立，此时点A的坐标为.

(2)当直线AB与x轴垂直时，点A的坐标为(3，9)，此时S△AOC＝×3×9＝>.

综上所述，△AOC的面积的最小值为，此时点A的坐标为.

直线方程的选择技巧

(1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取直线的点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率；

(2)若已知直线的斜率，一般选用直线的点斜式或斜截式方程，再由其他条件确定直线的一个点或者截距；

(3)若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用直线的截距式方程．

[注意]　不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决．　　　　

[跟踪训练]

已知直线l过点P(3，2)，且与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于A，B两点(如图)．

(1)求△AOB面积的最小值及此时l的方程；

(2)求直线l在两坐标轴上截距之和的最小值．

解：设点A，B的坐标依次为(a，0)，(0，b)(显然a>3，b>2)，则直线l的方程为＋＝1.

把P(3，2)代入得＋＝1，∴b＝.

(1)法一：S△AOB＝ab＝＝＝a－3＋＋6.

令t＝a－3(t>0)，则S△AOB＝t＋＋6，

故当t＝3时，S△AOB取到最小值12.

∴当a－3＝3，即a＝6，b＝4时，△AOB面积的最小值是12，此时直线l的方程为＋＝1，即2x＋3y－12＝0.

法二：由b＝，得S△AOB＝ab＝，去分母，得a2－S△AOBa＋3S△AOB＝0.①

∵a为实数，∴Δ≥0，即S－12S△AOB≥0.

又∵S△AOB>0，∴S△AOB≥12.

将S△AOB的最小值12代入①，

解得a＝6，故b＝4.

此时直线l的方程为＋＝1，即2x＋3y－12＝0.

(2)∵＋＝1，∴a＋b＝(a＋b)＝3＋＋＋2＝5＋＋.

令t＝(t>0)，则a＋b＝5＋3t＋，

故当t＝时，a＋b取到最小值．

由＝，且＋＝1，得a＝3＋，b＝2＋，

此时a＋b＝5＋2.

1．过P1(2，0)，P2(0，3)两点的直线方程是(　　)

A.＋＝0  B.＋＝0

C.＋＝1  D.－＝1

解析：选C　由截距式，得所求直线的方程为＋＝1.

2．已知△ABC三顶点A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在的直线方程为(　　)

A．2x＋y－8＝0  B．2x－y＋8＝0

C．2x＋y－12＝0  D．2x－y－12＝0

解析：选A　点M的坐标为(2，4)，点N的坐标为(3，2)，由两点式方程得＝，即2x＋y－8＝0.

3．若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3，4)的直线上，则m＝________．

解析：由两点式方程得，过A，B两点的直线方程为＝，即x＋y－1＝0.又点P(3，m)在直线AB上，所以3＋m－1＝0，得m＝－2.

答案：－2

4．直线ax＋by＝1(ab≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积是________．

解析：直线在两坐标轴上的截距分别为与，所以直线与坐标轴围成的三角形面积为.

答案：