2021学年第2章 一元二次函数、方程和不等式2.3 一元二次不等式当堂达标检测题

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1．不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≠－\f(1,3)))))
B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)≤x≤\f(1,3)))))
C．∅
D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x＝－\f(1,3)))))
解析：选D 原不等式可化为(3x＋1)2≤0，
∴3x＋1＝0，∴x＝－eq \f(1,3).
2．若不等式ax2＋5x－2＞0的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＜x＜2))))，则a的值为( )
A．－eq \f(3,2) B．2
C．－2 D．eq \f(1,2)
解析：选C 因为不等式ax2＋5x－2＞0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＜x＜2))))，
所以eq \f(1,2)，2为方程ax2＋5x－2＝0的两根，
所以根据根与系数的关系可得
eq \f(1,2)×2＝－eq \f(2,a)，所以a＝－2.
3．不等式eq \f(1＋x,1－x)≥0的解集为( )
A．{x|－1C．{x|－1≤x≤1} D．{x|－1解析：选B 原不等式⇔eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（x＋1）（x－1）≤0，,x－1≠0，))
∴－1≤x<1.
4．在R上定义运算⊗：a⊗b＝ab＋2a＋b，则满足x⊗(x－2)＜0的实数x的取值范围为( )
A．(0，2)
B．(－2，1)
C．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
D．(－1，2)
解析：选B ∵x⊗(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2＜0，
∴x2＋x－2＜0，即(x－1)(x＋2)＜0，解得－2＜x＜1.故选B.
5．已知关于x的不等式ax2－5x＋b＞0的解集为{x|－3＜x＜2}，则关于x的不等式bx2－5x＋a＞0的解集为( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x＜－\f(1,3)或x＞\f(1,2)))))
B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)＜x＜\f(1,2)))))
C．{x|－3＜x＜2}
D．{x|x＜－3或x＞2}
解析：选A ∵不等式ax2－5x＋b＞0的解集为{x|－3＜x＜2}，
∴方程ax2－5x＋b＝0的两根为－3，2，
即－3＋2＝eq \f(5,a)，－3×2＝eq \f(b,a)，
解得a＝－5，b＝30，
则不等式bx2－5x＋a＞0可化为30x2－5x－5＞0，
即6x2－x－1＞0，解得x＜－eq \f(1,3)或x＞eq \f(1,2)，故选A.
6．不等式－x2－3x＋4>0的解集为________．
解析：由－x2－3x＋4>0，
得x2＋3x－4<0，解得－4答案：{x|－47．已知x＝1在不等式k2x2－6kx＋8≥0的解集内，则k的取值范围是________．
解析：x＝1在不等式k2x2－6kx＋8≥0的解集内，
把x＝1代入不等式得k2－6k＋8≥0，
解得k≥4或k≤2.
答案：{k|k≥4或k≤2}
8．若－1＜a＜0，则关于x的不等式(a－x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,a)))＞0的解集是________．
解析：原不等式可化成(x－a)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,a)))＜0，因为－1＜a＜0，所以a＞eq \f(1,a)，故原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＜x＜a)))).
答案：eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＜x＜a))))
9．若关于x的不等式(m－1)x2＋(m－1)x＋2>0的解集是R，求m的取值范围．
解：(1)当m－1＝0，即m＝1时，原不等式可化为2>0，恒成立，满足题意；
(2)当m－1≠0，即m≠1时，只需eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m－1>0，,Δ＝（m－1）2－8（m－1）<0，))
解得1综上所述，m的取值范围是[1，9)．
10．已知一元二次函数y＝ax2＋(b－8)x－a－ab，且y＞0的解集为{x|－3＜x＜2}．
(1)求一元二次函数的解析式；
(2)当关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为R时，求c的取值范围．
解：(1)因为y＞0的解集为{x|－3＜x＜2}，
所以－3，2是方程ax2＋(b－8)x－a－ab＝0的两根，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－3＋2＝－\f(b－8,a)，,－3×2＝\f(－a－ab,a)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－3，,b＝5，))
所以y＝－3x2－3x＋18.
(2)因为a＝－3＜0，所以一元二次函数y＝－3x2＋5x＋c的图象开口向下，要使－3x2＋5x＋c≤0的解集为R，只需Δ≤0，即25＋12c≤0，所以c≤－eq \f(25,12).
所以当c≤－eq \f(25,12)时，－3x2＋5x＋c≤0的解集为R.
[B级 综合运用]
11．若不等式ax2－x－c>0的解集为{x|－2解析：选B 因为不等式的解集为{x|－212．(多选)已知a∈Z，关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，则a的值可以是( )
A．6 B．7
C．8 D．9
解析：选ABC 设y＝x2－6x＋a，其图象为开口向上，对称轴是直线x＝3的抛物线，如图所示．
若关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，因为对称轴为x＝3，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(22－6×2＋a≤0，,12－6×1＋a＞0，))
解得5＜a≤8.
又a∈Z，故a可以为6，7，8.故选A、B、C.
13．(2021·泰州中学月考)若不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为________．
解析：由于x2－2x＋5＝(x－1)2＋4的最小值为4，所以x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4.
答案：[－1，4]
14．若不等式(1－a)x2－4x＋6＞0的解集是{x|－3＜x＜1}．
(1)解不等式2x2＋(2－a)x－a＞0；
(2)b为何值时，ax2＋bx＋3＞0的解集为R?
解：(1)由题意知1－a＜0，且－3和1是方程(1－a)x2－4x＋6＝0的两根，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－a＜0，,\f(4,1－a)＝－2，,\f(6,1－a)＝－3，))
解得a＝3.
∴不等式2x2＋(2－a)x－a＞0，
即为2x2－x－3＞0
解得x＜－1或x＞eq \f(3,2).
∴所求不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x＜－1或x＞\f(3,2))))).
(2)ax2＋bx＋3＞0，即为3x2＋bx＋3＞0，
若此不等式解集为R，
则Δ＝b2－4×3×3＜0，∴－6＜b＜6.
[C级 拓展探究]
15．已知函数y＝x2－2ax＋a＋2，a∈R.
(1)若方程y＝0有两个小于2的不等实根，求实数a的取值范围；
(2)若不等式y≥－1－ax对任意的x∈R恒成立，求实数a的取值范围．
解：(1)因为方程y＝0，即x2－2ax＋a＋2＝0有两个小于2的不等实根，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4a2－4（a＋2）＞0，,4－4a＋a＋2＞0，,a＜2，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＞2或a＜－1，,a＜2，,a＜2，))
所以a＜－1，
故实数a的取值范围为(－∞，－1)．
(2)由y≥－1－ax可得x2－2ax＋a＋2≥－1－ax，
所以x2－ax＋a＋3≥0对任意x∈R恒成立，
所以Δ＝a2－4(a＋3)≤0，
即a2－4a－12≤0，解得－2≤a≤6.
故实数a的取值范围为[－2，6]．