2021学年4.2.2 对数运算法则学案

对数运算法则

知识点一　对数的运算性质

若a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：

(1)loga(M·N)＝____________，

(2)＝____________，

(3)logaMn＝____________(n∈R).

状元随笔　对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立 . 例如，log2[(－3)·(－5)]＝log2(－3)＋log2(－5)是错误的．

知识点二　对数换底公式

logab＝____________(a＞0，a≠1，c＞0，c≠1，b＞0).

特别地：logab·logba＝________(a＞0，a≠1，b＞0，b≠1).

状元随笔　对数换底公式常见的两种变形

(1)logab·logba＝1，即＝logba ，此公式表示真数与底数互换，所得的对数值与原对数值互为倒数 .

(2)＝logNM，此公式表示底数变为原来的n次方，真数变为原来的m次方，所得的对数值等于原来对数值的倍．

1.下列等式成立的是(　　)

A．log2(8－4)＝log28－log24　B．＝

C．log28＝3log22    D．log2(8＋4)＝log28＋log24

2.的值为(　　)

A．　　　　　B．2　　　　　C．　　　　　D．

3．2log510＋log50.25＝(　　)

A．0    B．1    C．2    D．4

4．已知ln 2＝a，ln 3＝b，那么log32用含a，b的代数式表示为________.

题型1　对数运算性质的应用[教材P22例2]

例1　计算下列各式的值：

 (1)lg 4＋lg 25；

(2)；

(3)log2(47×25)；

(4)(lg 2)2＋lg 20×lg 5.

利用对数运算性质计算．

【解析】　(1)lg 4＋lg 25＝lg (4×25)＝lg 100＝2.

(2)＝＝lg 100＝.

(3)log2(47×25)＝log247＋log225＝7log24＋5log22＝7×2＋5×1＝19.

(4)(lg 2)2＋lg 20×lg 5＝(lg 2)2＋lg (10×2)×

＝(lg 2)2＋(1＋lg 2)×(1－lg 2)

＝(lg 2)2＋1－(lg 2)2

＝1.

教材反思

1．对于同底的对数的化简，常用方法是：

(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；

(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差).

2．对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式，要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，lg 2＋lg 5＝1在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式．

跟踪训练1　(1)计算：＋2lg 2－＝________．

(2)求下列各式的值．

①log53＋

②(lg 5)2＋lg 2·lg 50

③lg 25＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.

利用对数运算性质化简求值．

题型2　对数换底公式的应用[经典例题]

例2　(1)已知2x＝3y＝a，＋＝2，则a的值为(　　)

A．36　　　B．6

C．2    D．

(2)计算下列各式：

①log89·log2732.

②2lg 4＋lg 5－lg 8－.

③＋lg 4＋2lg 5.

状元随笔　1.先把指数式化为对数式，再用换底公式，把所求式化为同底对数式，最后用对数的运算性质求值．

2．先用换底公式将式子变为同底的形式，再用对数的运算性质计算并约分．

方法归纳

(1)换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一般来讲，对数的底越小越便于化简，如an为底的换为a为底．

(2)换底公式的派生公式：logab＝logac·logcb；loganbm＝logab.

跟踪训练2　(1)式子log916·log881的值为(　　)

A.18　　　B．

C．    D．

(2)(log43＋log83)(log32＋log98)等于(　　)

A．    B．

C．    D．以上都不对

利用换底公式化简求值．

　用已知对数表示其他对数

例3　已知log189＝a，18b＝5，用a，b表示log3645.

状元随笔　方法一　对数式化为指数式，再利用对数运算性质求值．

方法二　先求出a、b，再利用换底公式化简求值．

方法归纳

用已知对数的值表示所求对数的值，要注意以下几点：

(1)增强目标意识，合理地把所求向已知条件靠拢，巧妙代换；

(2)巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键；

(3)注意一些派生公式的使用．

跟踪训练3　(1)已知log62＝p，log65＝q，则lg 5＝________；(用p，q表示)

(2)①已知log147＝a，14b＝5，用a，b表示log3528.

②设3x＝4y＝36，求＋的值．

(1)利用换底公式化简．

(2)利用对数运算性质化简求值．

4．2.2　对数运算法则

新知初探·自主学习

知识点一

(1)logaM＋logaN　(2)logaM－logaN　(3)nlogaM

知识点二

　1

[基础自测]

1．解析：由对数的运算性质易知C正确．

答案：C

2．解析：原式＝log39＝2.

答案：B

3．解析：原式＝log5102＋log50.25

＝log5(102×0.25)＝log525＝2.

答案：C

4．解析：log32＝＝.

答案：

课堂探究·素养提升

跟踪训练1　解析：(1)＋2lg 2－＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2＝(lg 5＋lg 2)－2＝1－2＝－1.

(2)①log53＋＝＝log51＝0.

②(lg 5)2＋lg 2·lg 50

＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)lg 2

＝(lg 5)2＋lg 2＋lg 2·lg 5

＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2

＝lg 5＋lg 2＝lg 10＝1.

③原式＝lg 25＋＋·lg (10×2)＋(lg 2)2

＝lg 25＋lg 4＋(lg 10－lg 2)(lg 10＋lg 2)＋(lg 2)2

＝lg 100＋(lg 10)2－(lg 2)2＋(lg 2)2＝2＋1＝3.

答案：(1)－1　(2)见解析

例2　【解析】　(1)因为2x＝3y＝a，

所以x＝log2a，y＝log3a，

所以＋＝＋＝loga2＋loga3＝loga6＝2，

所以a2＝6，解得a＝±.

又a＞0，所以a＝.

(2)①log89·log2732＝·

＝·＝·＝.

②2lg 4＋lg 5－lg 8－＝lg 16＋lg 5－lg 8－＝－＝1－＝.

③＋lg 4＋2lg 5＝4＋lg (4×52)＝4＋2＝6.

【答案】　(1)D　(2)见解析

跟踪训练2　解析：(1)原式＝log3224·log2334＝2log32·log23＝.

(2)原式＝（）·（）

＝（）·（）

＝×log32＝.

答案：(1)C　(2)B

例3　【解析】　方法一　因为log189＝a，所以9＝18a.

又5＝18b，所以log3645＝log2×18(5×9)＝log2×1818a＋b＝(a＋b)·log2×1818.

又因为log2×1818＝＝＝＝＝，所以原式＝.

方法二　∵18b＝5，∴log185＝b.

∴log3645＝＝＝＝＝＝.

跟踪训练3　解析：(1)lg 5＝＝＝.

(2)①∵log147＝a，14b＝5，

∴b＝log145.

∴log3528＝＝

＝＝.

②∵3x＝36，4y＝36，

∴x＝log336，y＝log436，

∴＝＝＝log363，

＝＝＝log364，

∴＋＝2log363＋log364＝log36(9×4)＝1.

答案：(1)　(2)①　②1